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2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（四）
学生版 1
教师版 22
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.57（计算过程：5×0.85 + 5×0.80 + 5×0.65 + 5×0.75 + 5×0.70 + 5×0.65 + 5×0.45 + 5×0.40 + 6×0.75 + 6×0.55 + 6×0.45 + 5×0.75 + 5×0.55 + 5×0.45 + 13×0.70 + 15×0.65 + 15×0.45 + 17×0.45 + 17×0.40 = 86.05 ÷ 150 ≈ 0.57）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 若集合 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·江西·联考） 已知复数 满足 ，则 的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·河北承德·一模） 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，运动员小华以球杆击球，使冰球从点 出发，沿 运动至点 ，已知 ，且 ，则冰球位移的大小是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
4.（2026·江西宜春·模拟） 在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ 　　）
A. 4 B. 2 C. D.
5.（2026·安徽铜陵·模拟） 抛物线 的焦点坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知 ，则（ 　　）
A. B.
C. D.
7.（2026·福建宁德·适应性练习） 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ 　　）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 200
8.（2026·河南·适应性考试） 在 中，，，则 的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 若 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·山东日照·模拟） 设复数 满足 ，则（ 　　）
A.
B. 存在复数 ，使得 为纯虚数
C. 存在 ，关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ，则 的最小值为
11.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·四川南充·二诊） 的展开式中 的系数为________.
13.（2026·安徽池州·二模） 已知随机变量 ，且 ，若 ( 为有理数)，则 ________________.
14.（2026·广东江门·一模） 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为 .若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·福建宁德·适应性练习） 在 中，.
（1） 若 ，求 的面积；
（2） 点 在边 上，， 为 中点，且 ，求角 的大小.
16.（15分）（2026·河北·一模） 在三棱柱 中， 为 的三等分点，侧面 为正方形，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 证明： 平面 ；
（3） 正方形 边长为3，，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.（15分）（2026·江西赣州·一模） 现有一种不断分裂的 细胞，在每个分裂周期中，一个 细胞以 的概率分裂成一个新的 细胞，以 的概率分裂成两个新的 细胞，分裂后原来的 细胞消失，新的 细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个 细胞， 个分裂周期后， 细胞的数目为 .
（1） 求 的分布列和数学期望；
（2） 求概率 ；
（3） 证明：.
18.（17分）（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模） 设 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为3，记点 的轨迹为 ， 为坐标原点.
（1） 求轨迹 的方程；
（2） 过点 的动直线 与 的左、右支交于 两点，且与直线 交于点 .过点 作直线 ，直线 与直线 分别交于点 .
（i） 证明： 为定值；
（ii） 若 的面积与 的面积之比为 ，求点 的坐标.
19.（17分）（2026·江苏南京、盐城·一模） 已知函数 ，直线 与曲线 相切.
（1） 求实数 的值；
（2） 若 是函数 的极大值点，求实数 的取值范围.
答案解析
一、单项选择题
1.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）
【答案】D
【详解】由 解得 ，故 .由 解得 ，故 .所以 .
【易错警示】常见错误：求解集合 时，忽略根号下 的条件，错误地解出 .防错方法：牢记求解定义域或解不等式时，必须考虑所有限制条件.
【规律总结】集合运算的步骤：①分别解出每个集合的具体范围（注意定义域）；②利用数轴画出各集合表示的区域；③根据交集、并集、补集的定义求出结果.
2.（2026·江西·联考）
【答案】D
【详解】，故 .则 .所以 的虚部为 .
【易错警示】常见错误：复数模的计算公式 与实数绝对值的概念混淆，错误地写成 .防错方法：明确复数模的定义，即复数对应点到原点的距离.
【规律总结】复数运算的通法：①利用模长公式计算 ；②通过等式变形解出 ；③遇到分式时，分子分母同乘分母的共轭复数进行化简；④分离实部和虚部，得出答案.
3.（2026·河北承德·一模）
【答案】D
【详解】由题意，冰球位移 .由 ，得 ，即 ，所以 .因为 ，所以 .
代入数值，注意 ，.所以 .故位移大小为 .
【易错警示】常见错误：向量夹角判断错误，将 与 的夹角当作 .防错方法：求两向量夹角时，必须将向量平移至共起点.此处 与 的夹角为 的补角，即 .
【规律总结】求多个向量和的模长通法：对和向量的平方进行展开，转化为各分向量模长及它们之间数量积的运算.关键是准确判断各向量之间的夹角.
4.（2026·江西宜春·模拟）
【答案】A
【详解】由终边过点 ，得 .根据二倍角公式和同角三角函数关系：
【易错警示】常见错误：二倍角公式记忆混淆，或不能熟练运用“1”的代换.防错方法：熟记 .看到分子分母中的 ，应联想到升幂或降幂公式.
【规律总结】已知角终边上一点求三角函数式的值，通常有两种方法：①直接求出 的值代入；②利用同角关系和倍角公式将所求式化简为关于 的表达式.
5.（2026·安徽铜陵·模拟）
【答案】C
【详解】将抛物线方程化为标准形式：.可得 ，即 .抛物线开口向上，焦点在 轴正半轴，坐标为 .
【易错警示】常见错误：误认为抛物线焦点在 轴上，或将 值计算错误.防错方法：先将方程化为标准形式 或 ，再确定焦点位置和 值.
【规律总结】求抛物线焦点和准线的步骤：①将方程化为标准形式；②根据标准方程形式确定焦点所在坐标轴和开口方向；③由方程系数求出 ；④代入焦点坐标公式.
6.（2026·八省八校T8联考·湖北版）
【答案】A
【详解】构造函数 ，求导得 .当 时，， 单调递减.因为 ？不，这里 均小于 .需要比较 ：，.比较 和 ，即比较 和 .设 ，在 上 ，单调递增.因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 .同理可比较 和 ：，，显然 ，即 .综上，.
【易错警示】常见错误：直接比较底数和指数，没有统一的标准.防错方法：比较指数式大小时，常采用取对数的方法，将其转化为对数式或构造统一函数利用单调性比较.
【规律总结】比较形如 和 大小的方法：①若能化成同底数或同指数，则直接利用指数函数或幂函数单调性比较；②若不能，通常两边取对数，转化为 和 的大小比较，再构造辅助函数研究单调性.
7.（2026·福建宁德·适应性练习）
【答案】B
【详解】设等差数列 的公差为 .由 ，得 ，所以 .由 ，将 代入得 ，即 .所以公差 .由 ，得 .所以前10项和 .
【易错警示】常见错误：等差数列性质 （当 ）使用错误.防错方法：牢记等差数列中，与首末两项等距离的两项之和相等，等于首末两项之和.
【规律总结】求解等差数列问题的通法：①利用通项公式 和求和公式 ；②巧妙运用性质，如 （当 为偶数），可简化计算.
8.（2026·河南·适应性考试）
【答案】B
【详解】由正弦定理，将角的关系化为边的关系：.又由余弦定理 ，代入得 ，化简得 .已知 ，故 .
三角形的面积 .由 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号.此时 ，为等边三角形，.所以 .
【易错警示】常见错误：未能将已知条件正确转化为边的关系，或最值条件判断失误.防错方法：对于涉及边的平方及乘积的表达式，优先考虑余弦定理和基本不等式.
【规律总结】三角形面积最值问题的一般思路：①利用正余弦定理将已知条件转化为边的关系；②利用基本不等式（如 ）建立不等式，求出边或角的范围；③代入面积公式，求出最值，并检验等号成立条件.
【一题多解】
解法一（边化角）：由正弦定理 等，代入条件化角，但计算较繁琐.
解法二（边的关系）：如【详解】所示，直接利用正余弦定理化边，结合基本不等式，最为简洁.
对比：本题条件直接化边更为高效.
二、选择题
9.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考）
【答案】ABC
【详解】对于A，由于 ，则 .故 ，A正确.
对于B，.由于 ，等号取不到，故B正确.
对于C，由于 ，而 ，故 ，C正确.
对于D， 与 同号，故 ，D错误.
【易错警示】常见错误：忽视对数函数底数在 时的单调性，错误判断对数值的正负和大小.防错方法：处理对数问题时，首先确定底数范围，明确其单调性.
【规律总结】对数值比较大小问题，常利用：①单调性；②与特殊值（如0，1）比较；③化为同底.
10.（2026·山东日照·模拟）
【答案】ABC
【详解】复数 满足的等式表示点 到两定点 和 的距离之和为 .故点 的轨迹是椭圆，且 .
A选项： 表示点 到原点距离，最小值为短半轴长 .故 ，A正确.
B选项：存在 ，则 为实数，但 时， 为纯虚数.只要实部绝对值等于虚部绝对值即可，显然存在，B正确.
C选项：方程表示过原点的射线，显然与椭圆有交点（除原点外），故C正确.
D选项： 表示椭圆上的点到圆 上点的距离.最小距离为椭圆上点到点 的最短距离减去圆半径1.点 在椭圆内部.求椭圆上点到 的最短距离，设 .距离平方为 .当 时取最小值3，故最短距离为 .则 的最小值为 ，D错误.
【易错警示】常见错误：将复数模的等式错误理解为双曲线或线段，或计算最值时忽略参数范围.防错方法：牢记椭圆、双曲线定义，注意区分距离之和（差）与两定点距离的大小关系.求二次函数最值时，注意定义域.
【规律总结】复数模的几何意义问题，常转化为平面内动点轨迹问题.利用圆锥曲线定义判断轨迹类型，再利用其几何性质求解最值、范围等.
11.（2026·八省八校T8联考·湖北版）
【答案】ABC
【详解】由题， 是方程 的三个根.
A选项：，A正确.
B、C选项：由 ，且和为负，积为负，知 .构造函数 .由 ，结合极值点分布，可得 和 的范围.具体推导可得 ，，B、C正确.
D选项：.利用 ，可化为关于 的表达式，进而求其范围.经计算其最小值不为-30，D错误.
【易错警示】常见错误：不能正确利用三次方程的韦达定理，或在判断根的范围时缺乏依据.防错方法：熟练掌握一元三次方程的韦达定理.利用导数研究三次函数图象，根据极值点和函数值符号确定根的范围.
【规律总结】处理多个变量满足的对称等式问题，通法是将其视为某个高次方程的根，利用韦达定理建立联系.对于根的范围问题，常构造函数，利用导数研究其单调性和极值点.
【一题多解】
解法一（三次函数法）：如【详解】所示，将 视为三次方程的三个根，利用导数分析函数 的图象，通过极值点的位置确定根的范围.
解法二（消元法）：利用 消去 ，代入 ，得到关于 的等式.再结合 和判别式等条件求范围.
对比：解法一更为系统，是处理此类对称问题的通用方法.解法二计算量较大，技巧性强.
三、填空题
12.（2026·四川南充·二诊）
【答案】15
【详解】原式 .其通项为 .令 ，得 .故 的系数为 .
【易错警示】常见错误：直接展开 ，计算量巨大且易错.防错方法：注意观察代数式结构，先利用完全平方公式化简，再使用二项式定理.
【规律总结】求复杂多项式展开特定项系数的步骤：①观察式子能否化简（如本题化为完全平方式）；②应用二项式定理写出通项公式；③令 的指数等于所求项次数，解出 ；④代入通项公式求系数.
13.（2026·安徽池州·二模）
【答案】2
【详解】由正态分布的对称性知， 是分布曲线的对称轴.由 ，得 ，即 ，解得 .
将 代入 .展开左边：.所以 .故 .
【易错警示】常见错误：正态分布对称性使用错误，或二项式展开时系数和符号出错.防错方法：熟记正态分布曲线关于 对称，即 .二项式展开注意正负号和组合数计算.
【规律总结】正态分布求参数问题，核心是利用对称轴 建立方程.二项式展开问题，可利用二项式定理或直接使用组合数公式.
14.（2026·广东江门·一模）
【答案】8
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 .由侧面积 ，解得 .圆锥的高 .能放入圆锥且可自由旋转的最大正方体，其外接球即为圆锥的内切球.设圆锥内切球半径为 ，利用轴截面三角形面积关系：，即 ，解得 .设正方体棱长为 ，其外接球半径即为 ，故 ，即 ，解得 .正方体体积 .
【易错警示】常见错误：误以为圆锥内能放的最大正方体是其底面在圆锥底面上的情况.防错方法：能“任意方向自由旋转”的正方体，其最大尺寸取决于其外接球能放入圆锥内部，即外接球是圆锥的内切球.
【规律总结】几何体内接最大球或外接球问题，关键是找到关键的轴截面，将立体问题转化为平面三角形问题，利用面积或相似等几何关系求解.正方体与球的关系：正方体外接球直径等于体对角线长.
【一题多解】
解法一（等体积法）：如【详解】所示，利用圆锥轴截面三角形的面积等于周长乘以内切圆半径的一半.
解法二（相似三角形法）：在轴截面内，利用直角三角形相似，求出内切圆半径.
对比：解法一（面积法）计算更为简洁，不易出错.
四、解答题
15.（2026·福建宁德·适应性练习）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1） 设 .在 中，由余弦定理：，即 ，得 .解得 （负值舍去）.所以 .
（2） 因为 ， 为 中点，所以 .在 中，.在 中，由正弦定理 .即 .整理得 .展开得 ，即 .因为 ，所以 .
【易错警示】常见错误：第(1)问中未舍去负根；第(2)问中角的关系 判断错误.防错方法：解出二次方程的根后，根据几何量（如边长）的实际意义判断正负.在较复杂的三角形图形中，仔细利用外角定理和等腰三角形性质确定角度关系.
【规律总结】解三角形问题的通法：①根据已知条件，选择合适的定理（正弦、余弦）；②当已知两边及其一边对角时，用余弦定理求第三边需注意解的个数；③涉及到边角混合关系式，通常边化角或角化边，统一变量后求解.
16.（2026·河北·一模）
【答案】（1） 证明见解析；（2） 证明见解析；（3） .
【详解】
（1） 由四边形 是正方形，可知 .又 ，， 平面 ，则 平面 .而 平面 ，故平面 平面 .
（2） 因为 ，，， 平面 ，则 平面 .而 平面 ，则 .由(1)知平面 平面 ，且交线为 平面 ，且 ，故 平面 .
（3） 以 为原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系.在 中，，则 .可得各点坐标：.设平面 法向量为 ，由 ，取 .设直线 与平面 所成角为 ，则 .
【易错警示】常见错误：建系时不能准确写出各点坐标，或法向量计算错误.防错方法：建系前充分分析几何体中的垂直关系，将尽量多的点放在坐标轴上.利用已知边长和几何关系准确计算各点坐标.求法向量时，验算其是否与平面内两个不共线向量垂直.
【规律总结】立体几何证明与求角通法：①证明面面垂直，先证线面垂直；证明线面垂直，先证线线垂直；②求空间角，优先选择建立空间直角坐标系，利用法向量求解，避免复杂的几何构造.
17.（2026·江西赣州·一模）
【答案】（1） 分布列见解析，期望为 ；（2） ；（3） 证明见解析.
【详解】
（1） 的可能取值为1，2，3，4.；；；.
（2） 个周期结束后共有2个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.不妨设细胞在第 个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞.则 .所以 .
（3） 考虑第 个周期结束时细胞总数为3.这要求在此前某个周期 细胞数达到2，然后其中1个分裂成2个..经过复杂的概率求和与化简，可证得 .（具体证明过程见原文档）
【易错警示】常见错误：不能正确建立递推关系，或对“分裂”过程理解有误.防错方法：仔细分析细胞数量变化的各种可能路径，利用全概率公式逐步推导.对于复杂的概率求和，注意检查项数和公比.
【规律总结】与过程相关的概率问题（如随机游走、分裂、传染等）的通用解法是：①明确状态和状态转移规则；②利用全概率公式或递推关系建立相邻时期或不同状态概率之间的联系；③通过解递推数列或求和得到最终概率.
18.（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模）
【答案】（1） ()；（2） （i） 定值为1，证明见解析；（ii） .
【详解】
（1） 设 ，由题意得 ，整理得 ().
（2） （i） 设直线 方程为 ，，则 .联立 与 方程，由韦达定理得 .由 得 方程为 .分别联立 与 方程，求得 .计算 .故 ，即点 是线段 的中点， 为定值.
（ii） 设 .利用 及 为 中点，通过面积比例关系，可得 .由 ，解得 ，代入双曲线方程得 .
【易错警示】常见错误：不能利用 及 为 中点将面积比转化为线段比.防错方法：熟练掌握相似三角形或同高三角形面积比与边长比的转化.在解析几何中，注意利用几何性质简化计算.
【规律总结】解析几何中的定值、定点问题通法：①设出直线方程和交点坐标；②联立方程组，利用韦达定理得到坐标关系；③将待证几何量用交点坐标表示，代入韦达定理化简，消去参数，得到定值.对于最值或范围问题，通常最后转化为函数问题求解.
【一题多解】
解法一（坐标法）：如【详解】所示，直接设直线方程，通过坐标运算求解.
解法二（参数法）：利用双曲线的参数方程或极坐标方程，设出点 的坐标，进行求解.
对比：解法一是通法，思路直接，对运算能力要求高.解法二有时能简化计算，但需要根据曲线类型选择合适的参数方程，技巧性更强.
19.（2026·江苏南京、盐城·一模）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1） 设切点为 .由切线斜率为1，得 ，即 .切点为 .代入直线方程 ，得 ，解得 .
（2） 由(1)得 .则 .求导得 的根为 和 .
当 时，，；， 是极小值点，不符合.
当 时，，；，；， 是极小值点，不符合.
当 时，，无极值点，不符合.
当 时，，；，；， 是极大值点，符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【易错警示】常见错误：第(1)问中混淆导数值与切线斜率；第(2)问中分类讨论不全面，尤其是忽略 的情况.防错方法：牢记导数的几何意义 .对于含参的极值点问题，必须全面考虑参数对导数符号变化的影响，按极值点大小分类讨论.
【规律总结】利用导数求切线方程的步骤：①设切点；②求导得切线斜率；③写出切线方程；④代入已知点或条件解出切点坐标.已知极值点求参数范围的通法：①求导；②令导数为0，求出极值点（含参数）；③根据极值点大小关系分类讨论，判断各区间导数符号，从而确定极值情况；④根据题意列不等式或等式求解参数范围.
【一题多解】
解法一（分类讨论法）：如【详解】所示，直接对 的不同取值进行分类，分析导函数的符号变化.
解法二（分离参数法）：由 为极大值点，则在 左侧 ，右侧 .即存在 ，使 时 ，因 ，故 ； 时 ，因 ，故 .综合得在 附近 恒成立，即 ，故 .再检验 的情况，舍去，得 .
对比：解法二利用极值点的局部性质，更为快捷，但对思维严谨性要求较高.解法一通法性强，不易遗漏情况，推荐在解答题中使用.
2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（四）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.57（计算过程：5×0.85 + 5×0.80 + 5×0.65 + 5×0.75 + 5×0.70 + 5×0.65 + 5×0.45 + 5×0.40 + 6×0.75 + 6×0.55 + 6×0.45 + 5×0.75 + 5×0.55 + 5×0.45 + 13×0.70 + 15×0.65 + 15×0.45 + 17×0.45 + 17×0.40 = 86.05 ÷ 150 ≈ 0.57）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 若集合 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由 解得 ，故 .由 解得 ，故 .所以 .
【易错警示】常见错误：求解集合 时，忽略根号下 的条件，错误地解出 .防错方法：牢记求解定义域或解不等式时，必须考虑所有限制条件.
【规律总结】集合运算的步骤：①分别解出每个集合的具体范围（注意定义域）；②利用数轴画出各集合表示的区域；③根据交集、并集、补集的定义求出结果.
2.（2026·江西·联考） 已知复数 满足 ，则 的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，故 .则 .所以 的虚部为 .
【易错警示】常见错误：复数模的计算公式 与实数绝对值的概念混淆，错误地写成 .防错方法：明确复数模的定义，即复数对应点到原点的距离.
【规律总结】复数运算的通法：①利用模长公式计算 ；②通过等式变形解出 ；③遇到分式时，分子分母同乘分母的共轭复数进行化简；④分离实部和虚部，得出答案.
3.（2026·河北承德·一模） 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，运动员小华以球杆击球，使冰球从点 出发，沿 运动至点 ，已知 ，且 ，则冰球位移的大小是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】由题意，冰球位移 .由 ，得 ，即 ，所以 .因为 ，所以 .
代入数值，注意 ，.所以 .故位移大小为 .
【易错警示】常见错误：向量夹角判断错误，将 与 的夹角当作 .防错方法：求两向量夹角时，必须将向量平移至共起点.此处 与 的夹角为 的补角，即 .
【规律总结】求多个向量和的模长通法：对和向量的平方进行展开，转化为各分向量模长及它们之间数量积的运算.关键是准确判断各向量之间的夹角.
4.（2026·江西宜春·模拟） 在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ 　　）
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【详解】由终边过点 ，得 .根据二倍角公式和同角三角函数关系：
【易错警示】常见错误：二倍角公式记忆混淆，或不能熟练运用“1”的代换.防错方法：熟记 .看到分子分母中的 ，应联想到升幂或降幂公式.
【规律总结】已知角终边上一点求三角函数式的值，通常有两种方法：①直接求出 的值代入；②利用同角关系和倍角公式将所求式化简为关于 的表达式.
5.（2026·安徽铜陵·模拟） 抛物线 的焦点坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】将抛物线方程化为标准形式：.可得 ，即 .抛物线开口向上，焦点在 轴正半轴，坐标为 .
【易错警示】常见错误：误认为抛物线焦点在 轴上，或将 值计算错误.防错方法：先将方程化为标准形式 或 ，再确定焦点位置和 值.
【规律总结】求抛物线焦点和准线的步骤：①将方程化为标准形式；②根据标准方程形式确定焦点所在坐标轴和开口方向；③由方程系数求出 ；④代入焦点坐标公式.
6.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】构造函数 ，求导得 .当 时，， 单调递减.因为 ？不，这里 均小于 .需要比较 ：，.比较 和 ，即比较 和 .设 ，在 上 ，单调递增.因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 .同理可比较 和 ：，，显然 ，即 .综上，.
【易错警示】常见错误：直接比较底数和指数，没有统一的标准.防错方法：比较指数式大小时，常采用取对数的方法，将其转化为对数式或构造统一函数利用单调性比较.
【规律总结】比较形如 和 大小的方法：①若能化成同底数或同指数，则直接利用指数函数或幂函数单调性比较；②若不能，通常两边取对数，转化为 和 的大小比较，再构造辅助函数研究单调性.
7.（2026·福建宁德·适应性练习） 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ 　　）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 200
【答案】B
【详解】设等差数列 的公差为 .由 ，得 ，所以 .由 ，将 代入得 ，即 .所以公差 .由 ，得 .所以前10项和 .
【易错警示】常见错误：等差数列性质 （当 ）使用错误.防错方法：牢记等差数列中，与首末两项等距离的两项之和相等，等于首末两项之和.
【规律总结】求解等差数列问题的通法：①利用通项公式 和求和公式 ；②巧妙运用性质，如 （当 为偶数），可简化计算.
8.（2026·河南·适应性考试） 在 中，，，则 的面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由正弦定理，将角的关系化为边的关系：.又由余弦定理 ，代入得 ，化简得 .已知 ，故 .
三角形的面积 .由 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等号.此时 ，为等边三角形，.所以 .
【易错警示】常见错误：未能将已知条件正确转化为边的关系，或最值条件判断失误.防错方法：对于涉及边的平方及乘积的表达式，优先考虑余弦定理和基本不等式.
【规律总结】三角形面积最值问题的一般思路：①利用正余弦定理将已知条件转化为边的关系；②利用基本不等式（如 ）建立不等式，求出边或角的范围；③代入面积公式，求出最值，并检验等号成立条件.
【一题多解】
解法一（边化角）：由正弦定理 等，代入条件化角，但计算较繁琐.
解法二（边的关系）：如【详解】所示，直接利用正余弦定理化边，结合基本不等式，最为简洁.
对比：本题条件直接化边更为高效.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·湖南新高考教研联盟·第二次联考） 若 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【详解】对于A，由于 ，则 .故 ，A正确.
对于B，.由于 ，等号取不到，故B正确.
对于C，由于 ，而 ，故 ，C正确.
对于D， 与 同号，故 ，D错误.
【易错警示】常见错误：忽视对数函数底数在 时的单调性，错误判断对数值的正负和大小.防错方法：处理对数问题时，首先确定底数范围，明确其单调性.
【规律总结】对数值比较大小问题，常利用：①单调性；②与特殊值（如0，1）比较；③化为同底.
10.（2026·山东日照·模拟） 设复数 满足 ，则（ 　　）
A.
B. 存在复数 ，使得 为纯虚数
C. 存在 ，关于 的方程 有解
D. 若复数 满足 ，则 的最小值为
【答案】ABC
【详解】复数 满足的等式表示点 到两定点 和 的距离之和为 .故点 的轨迹是椭圆，且 .
A选项： 表示点 到原点距离，最小值为短半轴长 .故 ，A正确.
B选项：存在 ，则 为实数，但 时， 为纯虚数.只要实部绝对值等于虚部绝对值即可，显然存在，B正确.
C选项：方程表示过原点的射线，显然与椭圆有交点（除原点外），故C正确.
D选项： 表示椭圆上的点到圆 上点的距离.最小距离为椭圆上点到点 的最短距离减去圆半径1.点 在椭圆内部.求椭圆上点到 的最短距离，设 .距离平方为 .当 时取最小值3，故最短距离为 .则 的最小值为 ，D错误.
【易错警示】常见错误：将复数模的等式错误理解为双曲线或线段，或计算最值时忽略参数范围.防错方法：牢记椭圆、双曲线定义，注意区分距离之和（差）与两定点距离的大小关系.求二次函数最值时，注意定义域.
【规律总结】复数模的几何意义问题，常转化为平面内动点轨迹问题.利用圆锥曲线定义判断轨迹类型，再利用其几何性质求解最值、范围等.
11.（2026·八省八校T8联考·湖北版） 已知三个不同的实数 满足 ，且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【详解】由题， 是方程 的三个根.
A选项：，A正确.
B、C选项：由 ，且和为负，积为负，知 .构造函数 .由 ，结合极值点分布，可得 和 的范围.具体推导可得 ，，B、C正确.
D选项：.利用 ，可化为关于 的表达式，进而求其范围.经计算其最小值不为-30，D错误.
【易错警示】常见错误：不能正确利用三次方程的韦达定理，或在判断根的范围时缺乏依据.防错方法：熟练掌握一元三次方程的韦达定理.利用导数研究三次函数图象，根据极值点和函数值符号确定根的范围.
【规律总结】处理多个变量满足的对称等式问题，通法是将其视为某个高次方程的根，利用韦达定理建立联系.对于根的范围问题，常构造函数，利用导数研究其单调性和极值点.
【一题多解】
解法一（三次函数法）：如【详解】所示，将 视为三次方程的三个根，利用导数分析函数 的图象，通过极值点的位置确定根的范围.
解法二（消元法）：利用 消去 ，代入 ，得到关于 的等式.再结合 和判别式等条件求范围.
对比：解法一更为系统，是处理此类对称问题的通用方法.解法二计算量较大，技巧性强.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·四川南充·二诊） 的展开式中 的系数为__.
【答案】15
【详解】原式 .其通项为 .令 ，得 .故 的系数为 .
【易错警示】常见错误：直接展开 ，计算量巨大且易错.防错方法：注意观察代数式结构，先利用完全平方公式化简，再使用二项式定理.
【规律总结】求复杂多项式展开特定项系数的步骤：①观察式子能否化简（如本题化为完全平方式）；②应用二项式定理写出通项公式；③令 的指数等于所求项次数，解出 ；④代入通项公式求系数.
13.（2026·安徽池州·二模） 已知随机变量 ，且 ，若 ( 为有理数)，则 __.
【答案】2
【详解】由正态分布的对称性知， 是分布曲线的对称轴.由 ，得 ，即 ，解得 .
将 代入 .展开左边：.所以 .故 .
【易错警示】常见错误：正态分布对称性使用错误，或二项式展开时系数和符号出错.防错方法：熟记正态分布曲线关于 对称，即 .二项式展开注意正负号和组合数计算.
【规律总结】正态分布求参数问题，核心是利用对称轴 建立方程.二项式展开问题，可利用二项式定理或直接使用组合数公式.
14.（2026·广东江门·一模） 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为 .若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体(圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为__.
【答案】8
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 .由侧面积 ，解得 .圆锥的高 .能放入圆锥且可自由旋转的最大正方体，其外接球即为圆锥的内切球.设圆锥内切球半径为 ，利用轴截面三角形面积关系：，即 ，解得 .设正方体棱长为 ，其外接球半径即为 ，故 ，即 ，解得 .正方体体积 .
【易错警示】常见错误：误以为圆锥内能放的最大正方体是其底面在圆锥底面上的情况.防错方法：能“任意方向自由旋转”的正方体，其最大尺寸取决于其外接球能放入圆锥内部，即外接球是圆锥的内切球.
【规律总结】几何体内接最大球或外接球问题，关键是找到关键的轴截面，将立体问题转化为平面三角形问题，利用面积或相似等几何关系求解.正方体与球的关系：正方体外接球直径等于体对角线长.
【一题多解】
解法一（等体积法）：如【详解】所示，利用圆锥轴截面三角形的面积等于周长乘以内切圆半径的一半.
解法二（相似三角形法）：在轴截面内，利用直角三角形相似，求出内切圆半径.
对比：解法一（面积法）计算更为简洁，不易出错.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·福建宁德·适应性练习） 在 中，.
（1） 若 ，求 的面积；
（2） 点 在边 上，， 为 中点，且 ，求角 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1） 设 .在 中，由余弦定理：，即 ，得 .解得 （负值舍去）.所以 .
（2） 因为 ， 为 中点，所以 .在 中，.在 中，由正弦定理 .即 .整理得 .展开得 ，即 .因为 ，所以 .
【易错警示】常见错误：第(1)问中未舍去负根；第(2)问中角的关系 判断错误.防错方法：解出二次方程的根后，根据几何量（如边长）的实际意义判断正负.在较复杂的三角形图形中，仔细利用外角定理和等腰三角形性质确定角度关系.
【规律总结】解三角形问题的通法：①根据已知条件，选择合适的定理（正弦、余弦）；②当已知两边及其一边对角时，用余弦定理求第三边需注意解的个数；③涉及到边角混合关系式，通常边化角或角化边，统一变量后求解.
16.（15分）（2026·河北·一模） 在三棱柱 中， 为 的三等分点，侧面 为正方形，，.
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 证明： 平面 ；
（3） 正方形 边长为3，，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1） 证明见解析；（2） 证明见解析；（3） .
【详解】
（1） 由四边形 是正方形，可知 .又 ，， 平面 ，则 平面 .而 平面 ，故平面 平面 .
（2） 因为 ，，， 平面 ，则 平面 .而 平面 ，则 .由(1)知平面 平面 ，且交线为 平面 ，且 ，故 平面 .
（3） 以 为原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系.在 中，，则 .可得各点坐标：.设平面 法向量为 ，由 ，取 .设直线 与平面 所成角为 ，则.
【易错警示】常见错误：建系时不能准确写出各点坐标，或法向量计算错误.防错方法：建系前充分分析几何体中的垂直关系，将尽量多的点放在坐标轴上.利用已知边长和几何关系准确计算各点坐标.求法向量时，验算其是否与平面内两个不共线向量垂直.
【规律总结】立体几何证明与求角通法：①证明面面垂直，先证线面垂直；证明线面垂直，先证线线垂直；②求空间角，优先选择建立空间直角坐标系，利用法向量求解，避免复杂的几何构造.
17.（15分）（2026·江西赣州·一模） 现有一种不断分裂的 细胞，在每个分裂周期中，一个 细胞以 的概率分裂成一个新的 细胞，以 的概率分裂成两个新的 细胞，分裂后原来的 细胞消失，新的 细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个 细胞， 个分裂周期后， 细胞的数目为 .
（1） 求 的分布列和数学期望；
（2） 求概率 ；
（3） 证明：.
【答案】（1） 分布列见解析，期望为 ；（2） ；（3） 证明见解析.
【详解】
（1） 的可能取值为1，2，3，4.；；；.
（2） 个周期结束后共有2个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.不妨设细胞在第 个周期时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞.则 .所以 .
（3） 考虑第 个周期结束时细胞总数为3.这要求在此前某个周期 细胞数达到2，然后其中1个分裂成2个..经过复杂的概率求和与化简，可证得 .（具体证明过程见原文档）
【易错警示】常见错误：不能正确建立递推关系，或对“分裂”过程理解有误.防错方法：仔细分析细胞数量变化的各种可能路径，利用全概率公式逐步推导.对于复杂的概率求和，注意检查项数和公比.
【规律总结】与过程相关的概率问题（如随机游走、分裂、传染等）的通用解法是：①明确状态和状态转移规则；②利用全概率公式或递推关系建立相邻时期或不同状态概率之间的联系；③通过解递推数列或求和得到最终概率.
18.（17分）（2026·浙江湖州、衢州、丽水·二模） 设 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为3，记点 的轨迹为 ， 为坐标原点.
（1） 求轨迹 的方程；
（2） 过点 的动直线 与 的左、右支交于 两点，且与直线 交于点 .过点 作直线 ，直线 与直线 分别交于点 .
（i） 证明： 为定值；
（ii） 若 的面积与 的面积之比为 ，求点 的坐标.
【答案】（1） ()；（2） （i） 定值为1，证明见解析；（ii） .
【详解】
（1） 设 ，由题意得 ，整理得 ().
（2） （i） 设直线 方程为 ，，则 .联立 与 方程，由韦达定理得 .由 得 方程为 .分别联立 与 方程，求得 .计算 .故 ，即点 是线段 的中点， 为定值.
（ii） 设 .利用 及 为 中点，通过面积比例关系，可得 .由 ，解得 ，代入双曲线方程得 .
【易错警示】常见错误：不能利用 及 为 中点将面积比转化为线段比.防错方法：熟练掌握相似三角形或同高三角形面积比与边长比的转化.在解析几何中，注意利用几何性质简化计算.
【规律总结】解析几何中的定值、定点问题通法：①设出直线方程和交点坐标；②联立方程组，利用韦达定理得到坐标关系；③将待证几何量用交点坐标表示，代入韦达定理化简，消去参数，得到定值.对于最值或范围问题，通常最后转化为函数问题求解.
【一题多解】
解法一（坐标法）：如【详解】所示，直接设直线方程，通过坐标运算求解.
解法二（参数法）：利用双曲线的参数方程或极坐标方程，设出点 的坐标，进行求解.
对比：解法一是通法，思路直接，对运算能力要求高.解法二有时能简化计算，但需要根据曲线类型选择合适的参数方程，技巧性更强.
19.（17分）（2026·江苏南京、盐城·一模） 已知函数 ，直线 与曲线 相切.
（1） 求实数 的值；
（2） 若 是函数 的极大值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1） 设切点为 .由切线斜率为1，得 ，即 .切点为 .代入直线方程 ，得 ，解得 .
（2） 由(1)得 .则 .求导得 的根为 和 .
当 时，，；， 是极小值点，不符合.
当 时，，；，；， 是极小值点，不符合.
当 时，，无极值点，不符合.
当 时，，；，；， 是极大值点，符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【易错警示】常见错误：第(1)问中混淆导数值与切线斜率；第(2)问中分类讨论不全面，尤其是忽略 的情况.防错方法：牢记导数的几何意义 .对于含参的极值点问题，必须全面考虑参数对导数符号变化的影响，按极值点大小分类讨论.
【规律总结】利用导数求切线方程的步骤：①设切点；②求导得切线斜率；③写出切线方程；④代入已知点或条件解出切点坐标.已知极值点求参数范围的通法：①求导；②令导数为0，求出极值点（含参数）；③根据极值点大小关系分类讨论，判断各区间导数符号，从而确定极值情况；④根据题意列不等式或等式求解参数范围.
【一题多解】
解法一（分类讨论法）：如【详解】所示，直接对 的不同取值进行分类，分析导函数的符号变化.
解法二（分离参数法）：由 为极大值点，则在 左侧 ，右侧 .即存在 ，使 时 ，因 ，故 ； 时 ，因 ，故 .综合得在 附近 恒成立，即 ，故 .再检验 的情况，舍去，得 .
对比：解法二利用极值点的局部性质，更为快捷，但对思维严谨性要求较高.解法一通法性强，不易遗漏情况，推荐在解答题中使用.
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