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2026年湖南省长沙市初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷押题卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．最新数据显示，长沙市2025年总量为亿元，在全国29座万亿城市中排名第15位．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列调查适合抽样调查的是（ ）
A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B．对搭乘飞机的旅客进行安检
C．了解某小组10名学生的跳远成绩 D．检查“神舟二十二号”零件质量
5．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示，这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是
尺码/ 24 25 26
销售量/双 1 3 10 4 2
A．，25 B．25，25 C．25， D．，26
6．2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
7．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象经过第二、三、四象限
C．随的增大而增大 D．当时，
8．如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
10．如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．因式分解：__________．
12．如果点与点关于原点对称，那么_____．
13．若关于的方程的一个根为3，则的值为______．
14．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____．
15．如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°．
16．如图，若菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图像过点和菱形的对称中心，则的值为__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．化简求值：，其中，．
18．计算：
19．先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值．
20．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．
(1)求的度数；
(2)求．（结果精确到个位，参考数据：，，）
21．国庆期间成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对、、、四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
(1)本次参加抽样调查的游客有_____，根据题中信息补全条形统计图；
(2)若某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有_____；
(3)旅游景点举行游客有奖问答活动．现有2男3女共5名游客回答对了问题．现从这5名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率．
22．为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元．
(1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？
(2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？
23．如图，在中，对角线，交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的最大面积．
24．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫“垂美四边形”．请解答以下问题：
(1)下列四边形一定是“垂美四边形”的是_______（填序号）
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图1，若“垂美四边形”内接于．求证：．
(3)在（2）条件下，以O为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立直角坐标系，如图2．
①若，过点E作，垂足为点H，求EH的长：
②若，记为，且，，若，求的值．
25．已知关于的二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于，两点（在左侧），顶点为点，直线．
(1)若点，求的值．
(2)对于二次函数，无论为何值，和时的函数值都相等，点为轴下方一定点，且点到直线的距离的最大值为，函数的图象是否经过定点？若是，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．
(3)过点作轴交直线于点，交轴于点，若四边形为菱形，且三条长度分别与，，相等的线段能组成一个含有的三角形，且，求的最大值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B C A B A A
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
原式，
，
当，时，原式．
18．【详解】解：
．
19．【详解】解：
，
且，
代入，原式．
20．【详解】（1）解：如图所示，将延长交于点
，
，
，
，
（2）过点作于点，
，
，，
，
答：的长为米．
21．【详解】（1）解：本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600人，
补全条形统计图如下：
（2）解：某批次游客有8000人，请你估计选择作为最佳旅游景点的有：（人）
故答案为：3200人；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3
女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2
那么一共有20种等可能的情况，其中抽到一男一女的情况有12种，那么获得此次纪念品的是一男一女的概率为．
22．【详解】（1）解：设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元．
（2）解：设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，依题意，得：
，
解得：．
答：本次至少可以购买套类演出服装．
23．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵在平行四边形中，对角线，
∴四边形是菱形，
设，则，
在中，，
∴，
由得，
则，即，
∴，
当且仅当时，四边形的面积取得最大值．
答：四边形的最大面积为．
24．【详解】（1）解：①平行四边形：对角线互相平分，不一定垂直，不是垂美四边形；
②矩形：对角线相等且平分，不一定垂直，不是垂美四边形；
③菱形：对角线互相垂直，是垂美四边形；
④正方形：对角线互相垂直且相等，是垂美四边形．
综上，是“垂美四边形”的是③④；
（2）证明：如图，连接，，
∵四边形是垂美四边形，
∴，设垂足为O，
在中，；
在中，；
∴；
同理，在中，；
在中，；
∴；
∴；
（3）解：①∵四边形内接于，∴，
又∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为．将代入得：
解得．∴直线的解析式为，∵圆心是弦与的垂直平分线的交点，∴点的横坐标为，纵坐标为．
如图，连接．

，
，
，
，
在中，．
，
，
，
；
②∵，如图，
∴，
∵，
∴；
；
；
；
∵
∴，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
代入得
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得，
∴，
又，
∴，
∴；
∴．
25．【详解】（1）解：∵点是二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：由题意可知，二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
当时，为定值，
∴直线过定点，
设点为点，点到直线的距离为，
由勾股定理可得，，
根据垂线段最短可知，，
∴的最大值为，即，
∴，
解得，
∵点在轴下方，即
∴，即
∴，
当或，为定值，
∴二次函数的图象过定点和；
（3）解：∵四边形是菱形，
又∵与交于点，
∴，，
如图，以、为边构造，且，作于点，
由题意可知，，
∵，，
∴，，
在直角中，，
∴，
∴，
如图，
∴顶点的坐标为，
∵轴，
∴，
∵点在直线，
∴点的坐标为，
∵函数图象与轴有两个交点，
∴判别式，
∴点在轴下方，点在轴上方，
∴，，
∵，
∴，
化简，得，
∵，
又∵，
∴，
∴点的坐标为，
将代入，得，
，
化简，得，
∵，
∴，
化简，得，
将代入，得，
，
化简，得，
∵，
∴，即
∵，
∴，解得，
，
∵，
又∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值为．
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