资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年湖南省长沙市初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷全真模拟卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作米，那么跳1.7米应记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称的图像是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．一组数7、9、，若将每个数都加，下列不会改变的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．如图，是的外角，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上 一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度至处，使得点恰好在线上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图，给出下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______．
12．如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______．
13．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
14．如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______．
15．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______
16．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中a从、0、1中选择一个合适的数代入求值．
19．“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
(1)求点D转动到点的路径长；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：）
20．我校数学教研组为了迎接学校第四届学科素养节游园活动，准备了四个数学活动项目，分别是：A．数学跳棋，B．数学积木方块，C．数学华容道，D．数独．每名学生只选择其中一个活动参与，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
项目 选择人数 频率
A．数学跳棋 16 a
B．数学积木方块 b 0.25
C．数学华容道 56 c
D．数独 48 0.3
(1)填空：________，________；扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为________；
(2)若该中学共有1200名九年级学生，那么估计该中学九年级学生中选择“B（数学积木方块）”活动意向的学生有________人；
(3)学校要从甲、乙、丙、丁四位志愿者家长中选取两位家长去协助数学教研组完成这四项活动，请利用画树状图或列表的方法，求选中甲、乙两位家长的概率．
21．如图，在中，D是的中点，过点D作的垂线交于点E，延长到点F，使得，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的值．
22．“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话：
(1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？
(2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？
23．2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计．
(1)求攀登难点N的高度（即的长）；
(2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）．
24．如图1，是的内接三角形，点A为劣弧的中点，直径，弦，点P为射线上一点，点E为弧上一动点，与交于点D，连接与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)设，且．
①求y关于x的函数关系式（不需写自变量取值范围）；
②如图2，若与交于点Q，作于点H，交于点M，当时，求x的值．
25．如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点．
(1)求点和点的坐标（用含的式子表示）：
(2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：；
(3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B D B B C C C
二、填空题
11．9
12．12
13．13
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：原式
，
，
据题意可知，a只能取0．
∴当时，原式．
19．【详解】（1）解：，且，
．
，
．
，
，
点转动到点的路径长为．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）知，
，
是等边三角形．
，
．
，，
．
点到直线的距离约为．
20．【详解】（1）解：调查的学生人数为（人），
∴，
，
扇形统计图中C（数学华容道）活动所对应的圆心角的度数为；
（2）解：估计选择“”活动的人数为（人）；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
由列表法可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和乙的有2种结果，
所以选中甲和乙的概率为．
21．【详解】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）如图，过点作于，
则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
，
即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
，
∵， ，
∴，
，即，
解得：
，
，
，
∴．
22．【详解】（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，
根据题意，得，
∴．
故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元．
（2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元，
根据题意得：．
∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，
∴，
∴．
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，最小，最小值为1760，此时，．
故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元．
23．【详解】（1）解：∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米．
（2）解：如图，过点作交于点，交于点，
又，
∴四边形是矩形．
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得．
故观察点B的铅直高度为米．
24．【详解】（1）证明：点A为劣弧的中点，
，
，
又，
．
（2）解：如图1，连接，
，
，，
∵直径为，
半径为5，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
（负值舍去），
，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：①由（2）得，
，且两三角形同高，
，
设，
由（2）得，
，
，
，
；
②如图2，过点M作于T，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
设，
，
（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
，
解得，
经检验是原方程的根，
．
25．【详解】（1）解：∵抛物线
∴当时，
解得或
∴；
联立和得，
解得或
将代入得，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于点B，
∵直线
∴
∵的内心在轴上，
∴
∴
∵为的中点，
∴
∴
∵轴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴；
∵
∴所在直线表达式为
联立和得，
解得或
∴
∵，为的中点，
∴，即
∵
∴轴
∴
∵
∴
∵
∴；
（3）解：如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D，
设，则
∴
∵，
∴
∵与直线相切于点B，
∴
∴
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值
∵的最大半径为
∴
由（2）得，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴为定值．
答案第1页，共2页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑