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2026年湖南省初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷全真模拟卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示我国国土面积约为（ ）
A．平方千米 B．平方千米
C．平方千米 D．平方千米
5．古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．科学用眼，保护视力．在一次视力检查中，某班7位学生的左眼视力检查结果为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．已知一次函数，则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．图象经过第一、二、四象限
C．该函数图象一定过点，
D．当时，
9．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为（ ）寸．
A．6.5 B．12.5 C．13 D．15
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；
②二次函数图象与轴的另一个交点是；
③；
④三点都在该二次函数的图象上，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____．
12．如图，点都在上，，则的度数等于______．
13．如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．
14．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则______．
15．若，则的值为________．
16．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中
19．为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号）
20．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动，学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别 类 类 类 类
阅读时长（小时）
频数
请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
(1)此次调查共抽取了________名学生，________，________；
(2)扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角是________度；
(3)已知在类的学生有名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
(1)每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式，并求出最少购买金额．
22．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
23．如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得．
(1)求证：与相切；
(2)若，且，求阴影部分的周长（结果保留）．
24．我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数．
(1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空：
① ；②若，则 ；③ ；
(2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式；
(3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值．
25．已知：内接于，，点E是上的一个动点．
(1)如图1，若，的半径为2，求的长；
(2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数；
(3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A A D D C B
二、填空题
11．4
12．
13．
14．6
15．3
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：原式
，
当时，原式
19．【详解】解：已知，，
无人机在处观测的俯角分别为和，
在中：，，
∴
在中：，，
∴，即，
解得：，
∴．
答：观测点之间的距离为．
20．【详解】（1）解：（名），
（名），
∴（名），
故答案为：，，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
（2）解：由题意得，购买型机器人台，则购买型机器人台，
∴，
由题意可得：，
解得：，
∵为非负整数，且，即，
∴且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，即为（万元），
∴与的函数关系式为，最少购买金额为万元．
22．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴四边形是菱形．
23．【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：如图，
∵
∴设，则
∴，
∴，
∴
∴
由（1）知，
∴
∴半径，
∴的长度，
∴阴影部分的周长为．
24．【详解】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称，
二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，
两个二次函数图象关于原点对称，
，，，
解得：，，
，
，
综上所述，，，．
故答案为：；1；0．
（2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为，
联立，
整理得：，
互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，
，
，
，
二次函数为，其“旗开得胜”函数为，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴两个交点间的距离为，
二次函数，
二次函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，
其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，
，
，
二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，
顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半，
，
解得：或，
当时，，无解，舍去；
当时，，解得，此时二次函数的解析式为或；
当，，解得，不符合题意，舍去；
综上所述，二次函数的解析式为或．
（3）解：由题意得，，
令，则，
，
，
，
轴，
，
，
，
联立，则，
直线与图象交于A、B两点，
，，
，
同理可得，，
线段、、可构成以为斜边的直角三角形，
，
，
解得：，
，，，
，，，
该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，
，，
．
25．【详解】（1）解：连接，如图，
∵，，
，
∵的半径为2，
∴，
∴在等腰中，；
（2）解：在上截取，连接，如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
，
，即；
（3）解：结论：，理由如下：
连接，并延长交于点N．
设，
∵，
∴，，
在中，， ，
∴，
在中， ，
∴，
①若与不共线时，
在中，
∵
∴，
过点C作于点Q，于点H，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，又，
∴，
∴；
②若与共线时，
同理，
∴，
∴，
∴，
解得（舍），，
∴，
∴；
综上，．
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