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2026年湖南省长沙市初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷仿真卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．年“湘超”联赛吸引超万人到现场观赛，将万用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差，则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据的众数是7
6．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．“菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．获得年和年“菲尔兹奖”的位数学家获奖时的年龄分别为，，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，以点C为圆心、为半径作圆，交于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．因式分解：_______．
12．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
13．一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______．
14．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______．
15．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌点考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得95分，精神面貌获得89分．则该参赛队的最终成绩是______分．
16．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
20．2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年．为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三（1）班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：
(1)初三（1）班总人数为________人，________；
(2)射中“1次”对应的扇形圆心角为________；
(3)在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率．
21．如图，在四边形中，，是的中点，，，于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
23．如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，连接，若，求的长．
(3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值．
25．我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m，则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数．请根据该约定，解答下列问题：
(1)求正比例函数与二次函数的定积系数m；
(2)若点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数为关于的“定积函数”，当时，求代数式的值；
(3)若一次函数与二次函数（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为和，且，满足
①求m的值；
②如图，已知O为坐标原点，若M为函数的图象上位于第四象限的一个动点，连接、、，且交于点C，过点M作交于点N，记的面积依次为，，，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D A B B A D
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．91.7
16．
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：
，
当时，
原式．
19．【详解】（1）证明：连接，
由作图知，，
在与中，
，
，
平分．
（2）过点D作交于点H．
，
，
平分，
，
在中，，
在中，，
．
20．【详解】（1）解：初三（1）班的学生人数为（人），
射中3次的比例为，所以；
（2）解：扇形统计图中“1次”的比例为，
对应的圆心角的度数为；
（3）解：列表法如下：
男1 男2 男3 女
男1 男1、男2 男1、男3 男1、女
男2 男2、男1 男2、男3 男2、女
男3 男3、男1 男3、男2 男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名女生和1名男生的情况有6种，
，
答：恰好抽到1名女生和1名男生的概率是．
21．【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于点，如图所示，
，，，
，
的面积，
，
点是的中点，四边形是菱形，
，
，
．
22．【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，
则，
解得，
答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元．
（2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元．
则，
，
解得，
又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，
∴且为整数．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∵m为整数，
∴当时，w最小，
此时，
故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少．
23．【详解】（1）证明：连接，
在和中，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【详解】（1）解：∵点E为的内心，
∴和是的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：连接交于，连接，过作于，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴当即与重合时，最大．
25．【详解】（1）解：解方程组，得或，
∴正比例函数与二次函数的图象的交点为，，
．
（2）令，得，
∴，
∵反比例函数与一次函数为关于的“定积函数”，
∴，即，
∵点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，
∴，
．
（3）①令，得
，
，
．
，
∴，解得．
②，
，
的图象与轴的交点坐标为，
设，
∵，
，
，
过点作轴交直线于点，则，
由得直线与轴的交点坐标为，
∴，
，
，
，
．
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