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2026年湖南省初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷训练卷（一）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
2．下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．无理数的发现，引发了首次数学危机，也引发了数学家们对无理数的深入研究．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径， 若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，13 B．4.7，4.8 C．13，4.8 D．4.8，4.8
8．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．二次根式有意义，则x的取值范围是________．
12．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
13．在中，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线交于点D，连接，则的周长为__．
14．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．
15．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是_______．
16．如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
18．先化简再求值：，其中．
19．坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）
(1)求证：；
(2)若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到）
20．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；
(2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；
(3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，且平分，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的面积．
22．近年来，全球对可再生能源的需求日益增长，（光伏建筑一体化）技术渐渐广受关注，某社区拟修建，两种光伏车棚，已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元．
(1)求修建个种光伏车棚，种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
23．如图，在矩形中，E为的中点，，垂足为E，并与交于点F，连接（）．
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分．
24．如图，在中，已知，D为上一动点，连接．直线与直线相交于点E．
(1)若，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)点D在劣弧上，
(i)记 ，，的面积分别为S、、，且，求；
(ii)若，，，试用含m，n，p的式子表示．
25．我们规定：若二次函数的图象恰好经过一次函数的图象与坐标轴的两个交点，则称这个二次函数为一次函数的“高阶函数”．
(1)下列二次函数中：①，②，③为一次函数的“高阶函数”有______；（填序号）
(2)已知一次函数的“高阶函数”的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，求此“高阶函数”的解析式；
(3)一次函数（n为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点D，以A，B，D为顶点作矩形．若函数（n为常数，）的“高阶函数”的顶点P在矩形的边上，求b的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D B C D D D C
二、填空题
11．
12．
13．
14．2
15．或
16．
三、解答题
17．【详解】解：原式
．
18．【详解】解：
，
当时，原式．
19．【详解】（1）证明：由题意可知，，，
，
，
；
（2）解：由题意可知，，
，
由（1）可知，，
在中，，
，
即该雕塑的高度约为．
20．【详解】（1）解：（名）．
C等级学生人数为：（人）．
补全条形图如图：
故答案为：50．
（2）解：测试结果为等级的学生数为20名，
．
故答案为：．
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
21．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，，
，
，
的面积为36．
22．【详解】（1）解：设修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元，根据题意得：
，解得，
答：修建个种光伏车棚需投资万元，修建个种光伏车棚需投资万元；
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，
根据题意得：，解得，
设修建，两种光伏车棚共投资万元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值为，
答：修建种光伏车棚个时，投资总额最少，最少投资总额为万元．
23．【详解】（1）解：四边形为矩形，且，
，，，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
；
（2）证明：设，，
为的中点，
，
由（1）可得：，
，
，
，
，
由（1）可得：，
又，，
，
即：，
，
，
即：平分．
24．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
当点D 在优弧上时，
∴；
当点D 在劣弧上时，
∵点A、B、D、C四点都在上，
∴四边形内接于，
∴，
∴，
综上，或．
故答案为：或．
（2）解：过点A作于F，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当点D 在优弧上时，
则四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D 在优弧上时，如图，
同理可证得，
∴，
∴；
当点D 在劣弧上时，如图，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，．
故答案为：16．
（3）解：（i）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的边与的边上的高相同，
∴，
∴，
（i i）∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由得：，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点，
只经过点，不经过点，故①不符合题意；
同时经过点和点，故②符合题意；
既不经过点，也不经过点，故③不符合题意；
故答案为：②．
（2）解：一次函数与轴的交点为，与轴交点为，
又一次函数的“高阶函数” 的图象与轴交于点，，与轴交于点，
，
，
则，从而一次函数的“高阶函数” 与轴的两个交点坐标为、或、，
当过、、时，由待定系数法可得；
当过、、时，由待定系数法可得，
综上，此“高阶函数”的解析式为或．
（3）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点，
由点与点关于轴对称可得．
一次函数的“高阶函数” 经过点、，
可设，
四边形为矩形，则，．
Ⅰ：当时，如图1，的顶点与点重合，
即，
，整理得：，
又，则．
Ⅱ：当时，在边上时，可设，如图
，化简整理消去、后可得：，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，则，
∴．
当P在边上时，即可设，如图，
∴，化简整理可得，
解得：．
综上，b的值为1或或．
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