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2026年湖南省初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷拔尖卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．2026的相反数是（ ）
A． B． C． D．2026
2．“大国点名 没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　）
A．平分 B．
C． D．
7．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7
C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
9．如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（ ）

A． B．1 C．2 D．4
10．如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于A、两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于的方程有实数解，则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 ________平方厘米．
12．二次函数的最小值是_________．
13．方程的解为_____．
14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
15．若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为___________．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为_____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．梅溪湖城市岛如图1，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小溪同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图2，她先在离地面高（即）矩形平台上的点A处用测角仪测得观景台顶部D的仰角为，然后前进到B处，测得观景台顶部D的仰角为．根据以上测量数据求城市岛的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
20．某中学欲开设A实心球、B立定跳远、C跑步、D足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的选择意向，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2，请结合图中的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形C的圆心角的度数；
（4）某班喜欢“跑步”的学生有3名，其中有2名男生，1名女生，现从这3名学生中选取2名，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率．
21．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接．
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
23．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，且，求的长．
24．定义：在平面直角坐标系中，如果点满足 （k是常数），我们称点P为“k级和值点”．例如：满足，则称为“2级和值点”．
(1)请判断下列说法是否正确（在相应的横线处，正确的打“√”，错误的打“×”；
①函数的图象上存在“1级和值点”；______；
②函数的图象上存在两个“1级和值点”；_______；
③函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．______；
(2)关于x的二次函数（m，n是常数）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值；
(3)已知关于x的二次函数（a，b，c是常数且）的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，，求线段的取值范围．
25．如图，在中，，为的直径，连接并延长至点，使得．连接并延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图，连接，交于点．
①记的面积分别为、、，若，求；
②记，，求关于的函数关系式（不需要考虑的取值范围）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D A C D D D C
二、填空题
11．
12．1
13．x＝6
14．
15．
16．30°
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：
，
当时，
原式.
19．【详解】解：延长交于，则，
在中，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴城市岛的高度
（）．
答：城市岛的高度约为m．
20．【详解】解：（1）15÷10%＝150（人），
故答案为：150；
（2）150﹣15﹣45﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：

（3）360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%）＝144°
答：扇形C的圆心角的度数为144°；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果数，其中一男一女的有4种，
因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．
21．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
．
，
．
∵是的切线
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．【详解】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时．
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，
且，即，且为非负整数，
根据题意，得，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为，
∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元．
23．【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴．
24．【详解】（1）解：①∵，
∴，令，解得，
∴点在直线上且满足，
∴函数的图象上存在“1级和值点”；√；
②联立得，，
∴方程组有两个实数解，
∴函数的图象上存在两个“1级和值点”；√；
③联立，得，，
∴方程组没有实数解，
∴函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．×；
故答案为：①√；②√，③×；
（2）解：设反比例的图象上的“3级和值点”为，则．
∴或，
∵二次函数 （m，n是常数且）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，
∴该“3级和值点”为，
将代入得：，
∴，
∵二次函数的图象与坐标轴只有2个交点，
∴分两种情况讨论：
①当抛物线与x轴只有1个交点时，
∴，解得：，
此时抛物线为；
∴当时，，
∴与y轴交于．
∴当时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点；
②当抛物线与x轴有2个交点时，则必过，
∴，解得：，
此时抛物线为：；
∴时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点；
综上所述：或；
（3）解：∵，
∴
∵抛物线（a，b，c是常数且）上存在两个不同的“1级和值点”、，
∴联立，
整理得，
∴，
，
∴
，
令，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴．
25．【详解】（1）证明：，，
是的中位线，
，
，
；
（2）解：①为直径，
，
，
，
，
，
，即,即，
令，则，
解得：，（舍去）
，
，
，
，，
，
，
又垂直平分，
，
，
；
②∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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