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11.2 课时2 一元一次不等式
第十一章 不等式与不等式组
1.学会寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型.
2.掌握用一元一次不等式解决实际问题的步骤，会用一元一次不等式解简单的实际问题.
整理一批图书，由一人做需40 h完成，现在计划先由一些人整理4h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作 ，假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理
解：设先安排 人整理4h.
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程
=1
解方程，得
=2
答：应先安排2人进行整理.
问题 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的答案．
例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
分析 “初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式．
答对的得分-答错或不答的得分＞90.
例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设初赛答对了x道题. 根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式
10x-5(20-x)>90
去括号，得 10x-100+5x>90
移项，合并同类项，得 15x>190
系数化为1，得 x>
由x应为正整数，可得x至少为13.
例1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
数学问题
(一元一次不等式)
实际问题
设未知数
列不等式
解不
等
式
不等式的性质
数学问题的解
(一元一次不等式的解集)
实际问题的答案
检验
利用一元一次不等式解决实际问题的基本思路
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
分析 “今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即
5%
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤．
根据题意，列得不等式 5%
去分母，得 0.3205%
移项，合并同类项，得 0.304
系数化为，得 x≤0.304
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤．
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
思考 通过前面的学习，试着总结一下列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是什么？
（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的不等关系．
（2）设：设出适当的未知数．
（3）列：根据题中的不等关系列出不等式．
（4）解：解不等式．
（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
例3 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费. 顾客到哪家超市购物花费较少
分析 在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠，因此，需要分三种情况讨论:
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元.
来看本章引言中的问题．
根据题意，如果购物款累计达到元，你能用含的式子分别表示顾客在两家超市花费的钱数吗
例3 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费. 顾客到哪家超市购物花费较少
来看本章引言中的问题．
购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 花费较少超市
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
一样
乙超市
？
问题1 你能从表格中看出在哪家超市花费少吗？
(1)当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，且两超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费一样.
(2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲超市的购物优惠，因此到乙超市购物花费少.
购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 花费较少超市
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
一样
乙超市
？
当购物超过100元时，需要分三种情况进行讨论：
①什么情况下，到甲超市购物花费少
②什么情况下，到乙超市购物花费少
③什么情况下，到两超市购物花费一样
问题2 如果累计购物超过100元，在两家超市的花费情况如何
购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 花费较少超市
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
一样
乙超市
？
①若到甲超市购物花费较少，则
100+0.9(-100)＜50+0.95(-50).
解得 ＞150. 即＞150时，到甲超市购物花费较少.
②若到乙超市购物花费较少，则
100+0.9(-100)＞50+0.95(-50).
解得＜150. 即100＜＜150时，到乙超市购物花费较少.
③若到两超市购物花费相同，则
100+0.9(-100)=50+0.95(-50).
解得 =150. 即=150时，到甲、乙两超市购物花费相同.
问题2 如果累计购物超过100元，在两家超市的花费情况如何
购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 比较
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
一样
乙超市
综合上面分析，我们能够给出一个合理化的消费方案：
100< x ≤150
x =150
x >150
乙超市
一样
甲超市
这就是说当累计购物不超过50或等于是150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费少；而累计购物超过50元但不超过150元时，到乙超市购物花费少，
①当出现决策型问题时，常考虑分类讨论；
②分类时要不重、不漏任何一种情况；
③分类时每种可能的情况都按照同一标准进行讨论.
分类讨论解决不等式问题的三点注意事项：
列一元一次不等式解决实际问题
一般步骤
基本思路
①审②设③列④解⑤验⑥答
1.某市举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛共20道题，答对一道得10分，若答错或不答，则倒扣2分，要使总得分不少于80分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为（ ）
A． B．
C． D．
B
2.某人要去 2.1 km 远的某地办事，要求在 18 min 内到达．已知他走路的速度为 90 m/min，跑步前进的速度为 210 m/min，若想不迟到，则他至少要跑步多少分钟？
解：设他跑步的时间为 min．2.1 km＝2 100 m．
由题意，得 ＋≤18，解得 ≥4．
答：他至少要跑步 4 min．
3.在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
(1)若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
(2)若书架上已摆放了本数学书，那么最多还
可以摆多少本语文书？
解：（1）设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得： ，解得 ，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
4.某商店 5 月 1 日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案.方案一：用 168 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的 8 折优惠.方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的 9.5 折优惠.已知小敏 5月 1 日前不是该商店的会员.请帮小敏算一算，采用哪种方案更合算？
解：设所购买的商品的价格为 x 元时，
若采用方案一更合算，则 0.95x＞0.8x+168，解得 x>1 120.
若采用方案二更合算，则 0.95x<0.8x+168，解得 x<1 120.
若采用两种方案一样，则 0.95x=0.8x+168，解得 x=1 120.
所以小敏所购买商品的价格超过 1 120 元时，采用方案一更合算.

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