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11.1.2 课时2 不等式的性质
第十一章 不等式与不等式组
1.进一步了解不等式的性质，会用不等式的性质解简单的不等式.
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，初步认识不等式的应用价值．
解：合并同类项，得
系数化为1，得
问题1 解下列方程：
(1)
(2)
解：合并同类项，得
系数化为1，得
6
问题2 解一元一次方程的目的和依据是什么？
解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为 =（为常数）的形式. 这个过程主要依据等式的性质和运算律等这种逐步变形体现了化归的思想方法
问题3 类似于解一元一次方程，我们该如何解不等式呢？
与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为＞或＜(为常数)的形式.
例 利用不等式的性质解下列不等式.
（1） x －7＞26 ； （2）3x＜2x＋1 ；
（3） x＞50 ； （4）－4x＞3.
解未知数为 x 的不等式
化为 x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a） （a为常数）的形式
目标
依据：不等式的性质1~3
分析
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以
x-7+7＞26+7，
x＞33.
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变，所以
3x-2x＜2x+1-2x，
x＜1.
例 利用不等式的性质解下列不等式.
（1） x －7＞26 ； （2）3x＜2x＋1 ；
（3） x＞50 ； （4）－4x＞3.
解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以
x＞50，
x＞75.
(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以 -4，不等号的方向改变，所以
，
x＜ .
例 利用不等式的性质解下列不等式.
（1） x －7＞26 ； （2）3x＜2x＋1 ；
（3） x＞50 ； （4）－4x＞3.
还可以在数轴上直观地表示题目中不等式的解集：
解：(1) x＞33. (2) x＜1.
解集在数轴上的表示如图所示. 解集在数轴上的表示如图所示.
（1） x – 7＞26 ； （2）3x＜2x＋1 ；
0
33
0
1
解：(3) x＞75. (4) x＜ .
解集在数轴上的表示如图所示. 解集在数轴上的表示如图所示.
0
75
0
还可以在数轴上直观地表示题目中不等式的解集：
（3） x＞50； （4）– 4x＞3.
(1) 用不等式的性质1“移项”将不等式变成ax>b 或ax(2) 用不等式的性质2、性质3 将不等式未知数的系数化为 1变成x> 或x<的形式.
注意：解不等式的步骤(2)中，先通过判断a 的符号，以确定不等号方向是否变化，然后再在两边同时除以 a.
用不等式的性质解不等式的步骤
除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.
问题：“≥”“≤”这两个符号表示什么意思？
x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.
符号“≥”读作“大于或等于”也可以说是“不小于”；
符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.
符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式.
生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示．
如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h. 如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100.
a≥b或a≤b的形式的式子同样具有不等式的性质.
例如：如果a≥b，那么-2a≤-2b.
由上节课探究已知，一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速v应满足v＞105.
如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速v应满足什么条件？
v＞105且v≤120
即：105例 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示．
分析 问题中的不等关系是：
已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积.
解：因为“已有水的体积+新注入水的体积≤鱼缸的容积”，
所以 10×3.5×1＋V≤10×3.5×7
解得 V≤210
又由于新注入水的体积不能是负数，所以V 的取值范围是
在数轴上表示V 的取值范围如图所示：
0≤V≤210
在表示0和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数.
不等式
不等式性质的应用
解不等式
不等式解集的表示
利用不等式解决实际问题
用不等“<”“>”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子
定义
0
a
0
a
0
a
0
a
1.不等式x>2与不等式x≥3的解集在同一个数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
C
2.利用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示其解集：
(1)2x≥x－2； (2)－ x≤－2.
解：（1）x≥－2，其解集在数轴上表示如图所示．
（2）x≥4，其解集在数轴上表示如图所示．
3.某长方体容器长5cm，宽4cm，高12cm.容器内原有水的高度为2cm，现准备继续往里面注水，新注入水的体积为Vcm3，求V的最大值.
解：由于新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的容积，
即V＋4×5×2≤4×5×12，
∴ V≤200.
∴ V的最大值为200