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11.1.2 课时1 不等式的性质
第十一章 不等式与不等式组
1.理解并掌握不等式的性质.会用不等式（组）表示简单的不等关系.
2.理解两个实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小.
完成下列填空：
(1)如果2 =5- ，那么2 +____=5;
(2)如果 +2 =5+2 ，那么 =____;
(3)如果 =-4，那么_____· =28；
(4)如果3 =4 ，那么 =____· .

5
-7
2
问题1 上面填空的依据是什么？
依据等式的性质
问题2 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
项目 文字语言 符号语言
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc．
如果a＝b，c≠0，那么 ＝
不等式是否也有类似的性质呢？
不等式
不等式的解
方程的解
等式（方程）
等式的性质
不等式的性质
（不等式的解集）
类比
　　对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式 x＋4＞10 的解集是 x＞6，不等式 2x＜6 的解集是 x＜3. 但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式.
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质. 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实：
(1)交换不等式两边，不等号的方向改变：
如果a＞b，那么b＜a.
例如，由5＞x，可得x＜5.
(2)不等关系可以传递：
如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
例如，由y＞x，x＞-3，可得y＞-3.
我们知道，等式两边加或减同一个数（或式子），乘或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等．不等式是否也有类似的性质呢？
探究1 用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
(1) 5＞3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2，
② 5 + 0______ 3 + 0，
③ 5 + (-2)______ 3 + (-2)；
(2) -1＜3，
① -1 + 4 ______ 3 + 4，
② -1 + 0______ 3 + 0，
③ -1 +（-7）______ 3 + (-7).
>
>
<
<
>
<
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向_________．
不变
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立．
(1) 5＞3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2，
② 5 + 0______ 3 + 0，
③ 5 + (-2)______ 3 + (-2)；
(2) -1＜3，
① -1 + 4 ______ 3 + 4，
② -1 + 0______ 3 + 0，
③ -1 +（-7）______ 3 + (-7).
>
>
<
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<
符号语言：
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
如果 a＜b，那么 a±c＜b±c.
不等式性质1：
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
一般地，不等式有如下性质：
　　类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？
探究2 用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
(1) 6 > 2，
① 6×5 ______ 2×5.
② 6×(-5) ______ 2×(-5).
(2) -2 < 3，
① -2×4 ______ 3×4.
② -2×(-0.5) ______ 3×(-0.5).
>
<
<
>
根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向_______ ； 不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 _______．
不变
改变
由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立．
(1) 6 > 2，
① 6×5 ______ 2×5.
② 6×(-5) ______ 2×(-5).
(2) -2 < 3，
① -2×4 ______ 3×4.
② -2×(-0.5) ______ 3×(-0.5).
>
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不等式性质2：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；
符号语言：
一般地，不等式还有如下两个性质：
符号语言：
如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc ．
思考 如果不等式两边乘0，结果如何？如果两边都除0结果又如何呢？
注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；
两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
思考 等式的性质与不等式的性质的主要区别是什么？
项目 等式的性质 不等式的性质
两边加（或减）同一个数（或式子）
两边乘（或除以）同一个正数
两边乘（或除以）同一个负数
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系改变
例 已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
（1）a+3与b+3； （2）-2a与-2b.
解：（1）因为a>b，所以a+3>b+3（不等式的性质1）
（2）因为a>b，所以-2a<-2b（不等式的性质3）
设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 7____b - 7；
（2） a÷6____b÷6
（3） 0.1a____0.1b;
（4） -4a____-4b
（5） 2a+3____2b+3;
（6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数).
＞
＞
＞
＞
＞
＜
→不等式的性质1
→不等式的性质2
→不等式的性质2
→不等式的性质3
→不等式的性质1、2
→不等式的性质2
不等式的性质
对称性：如果a>b，那么b传递性：如果a>b，b>c，那么a>c
性质1：如果a>b，那么a±c>b±c
性质2：如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或)
性质3：如果 a>b，c<0，那么 ac基本事实
A.若，则 B.若，则
C.若，,则 D.若，则
A
1.下列说法不正确的是( )
2.已知a、b、c、d是有理数.若a>b，c=d，则下列结论正确的是(　　)
A. a+c>b+d B. a+b>c+d
C. a+c>b-d D. a+b>c-d
A
3. 设 a>b，用“<”或“>”填空.
(1) a+2____b+2；
(2) a-3____b-3；
(3) -4a____-4b；
(4) ____ .
>
>
<
>
加同一个数，不等号方向不变
减同一个数，不等号方向不变
乘同一个负数，不等号方向改变
除以同一个正数，不等号方向不变
4．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
②
解：（2）因为，所以，
故．

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