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10.4 课时1 三元一次方程组的解法
第十章 二元一次方程组
1.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想.
2.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
问题1：什么是二元一次方程组？
有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组
代入消元法、加减消元法
问题2：解二元一次方程组有哪几种方法？解二元一次方程的基本思路是什么？
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
前面我们通过列二元一次方程组解决了一些问题．实际上，有不少问题含有更多的未知数，类比二元一次方程组的研究方法，我们来解决这样的问题．
问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
分析：(1)问题中共有几个未知量？
胜的场次
平的场次
负的场次
三个未知量
因此设三个未知数：设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z.
问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
①胜的场数+平的场数+负的场数=22；
②胜场积分+平场积分+负场积分=47；
③胜的场数=负的场数×4+2.
????+????+????=22.
?
?
3????+????=47.
?
?
????=4????+2.
?
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分析：(2)问题中有哪些等量关系？请列出方程.
问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
????+????+????=22.
?
?
3????+????=47.
?
?
????=4????+2.
?
?
①方程组中一共有三个整式方程
②方程组中一共含有三个未知数
③每个方程中含未知数的项的次数都是1.
三元一次方程组必须同时满足三个条件：
A. B.
C. D.
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
四个未知数
不是整式方程
次数为2
A
????+????+????=22.
?
?
3????+????=47.
?
?
????=4????+2.
?
?
探究：如何解这个三元一次方程组：
分析：仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含?????， ????的方程：
?
&????+5????=20&????+12????=41
?
解这个二元一次方程组，可以求出????和?????，进而可以求出?????．
?
你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
2?????????=25，????=4????+2．
?
解这个二元一次方程组，可以求出????和?????，进而可以求出????．
?
????+????+????=22.
?
?
3????+????=47.
?
?
????=4????+2.
?
?
探究：如何解这个三元一次方程组：
分析：也可以用加减法，②-①，得 2????- ????=25. ④，③与④组成得到两个只含????， ???? 的方程：
?
解：将③代入①②，得
解这个方程组，得y=5，z=3．
?
4????+2+????+????=22，3（4????+2）+????=47．
?
即
????+5????=20，????+12????=41．
?
把 z=3 代入③，得 x=14.
因此，这个三元一次方程组的解为
x=14，y=5，z=3．
?
答：这个球队胜14场，平5场，负3场．
????+????+????=22.
?
?
3????+????=47.
?
?
????=4????+2.
?
?
三元一次方程组
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
解三元一次方程组的基本思路：
例1 解三元一次方程组3????+4????=7???????????①2????+3????+????=9???②5?????9????+7????=8?③
?
分析：方程①只含????，????，因此，可以由②③消去????，得到一个只含????，????的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
?
解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35 ④
　　①与④组成方程组
3????+4????=7???????11????+10????=35
?
解这个方程组，得
????=5???????=?2
?
把 x＝5，z＝－2 代入②，得
2×5＋3y－2＝9，解得y＝ 13，
?
因此，这个三元一次方程组的解为
&????=5，&????=13，&????=?2.
?
你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
解：由①+②-③，得12y-2z=8. ④
由①，得x=7?4z3. ⑤
由④，得y=4+z?6. ⑥
把⑤与⑥代入②，得2×7?4z3 + 3×4+z?6+z=9,
解得z=-2.
把z=-2分别代入⑤和⑥，得x=5，y=13.
所以，这个三元一次方程组的解为x=5,y=13,z=?2.
?
通过比较可以发现，例题解法更简便，因为只运用一次“消元”就转化成了二元一次方程组，而运用代入消元法时运算量较大.
方法二：
三元一次方程组
概念：含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
三元
消元
消元
一元
二元
1.下列方程组中不是三元一次方程组的是( )
A.x＋y＝7，?????x＋y＋z＝5，x－y－z＝1???? B.3x＋y＝－7，?????y＋4z＝3，?????????2x－2z＝－5???????
C.x＝1＋y，???????x＋y＋z＝14，x－y－2a＝5???? D.x＋y＝1，?????y＋z＝2，?????x＋z＝3?????????
?
C
2．将三元一次方程组2????+????=10?????2????+????=43??????????????=1消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ．
?
&2????+????=10&4?????3????=5
?
3．解方程组2x－y＋3z＝1，3x＋y－7z＝2，5x－y＋3z＝3，如果要使运算简便，那么消元时最好应( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
?
B
4．解方程组：3????+?????4????=13①5?????????+3????=5??②????+?????????=3???????③
?
解：根据题意：
由①+②得8?????????=18④，
由②+③得6????+2????=8⑤，
④×2+⑤得22????=44，
得????=2，
把????=2代入④得16?????=18，
?
得????=?2，
把????=2、????=?2代入③得
2+?????(?2)=3，
得????=?1，
?
∴原方程组的解为????=2????=?1????=?2．
?
5.已知|x+y-5|+(y+z+2)2+(z+x-3)2=0,则x+y+z的值为(　 　)
A. 2 B. -5 C. 3 D. -3
C
6.如果方程组x+y?z=3,y+z?x=5,z+x?y=7的解满足kx+2y-z=7,那么k的值为　　　.?
?
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