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10.3 课时3 实际问题与二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
1.能够借助图表分析题目中的各个量之间的关系，学会利用二元一次方程组解决图文信息问题.
2.能够根据具体的数量关系，设间接未知数列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题.
填一填：
（1）某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是______________万元；
（2）若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是______________万元；
（3）若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合（1）（2）可列方程为_________________________________.
(1+20%)x
(1-10%)y
(1+20%)x-(1-10%)y=(1+50%)(x-y)
探究 如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连. 这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂制成纺织面料运往 B 地. 已知长绒棉的进价为3.08万元／t，纺织面料的出厂价为4.25万元／t，公路运价为0.5元／( t.km )，铁路运价为0.2元／( t.km )，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
分析：(1)题目中有哪些已知量？
长绒棉的进价：3.08万元／t
纺织面料的出厂价：4.25万元／t
公路运价：0.5元／( t.km )
铁路运价：0.2元／( t.km )
A地→工厂
工厂→B地
铁路运价：0.2×120元/t
公路运价：0.5×10元/t
铁路运价：0.2×110元/t
公路运价：0.5×20元/t
分析：(2)两个铁路运价和公路运价，代表的含义是一样的吗?
不一样.
A地→工厂的铁路运价：每吨长绒棉从A地运到工厂的运价为0.2×120元/t.
工厂→B地的铁路运价：每吨纺织面料从工厂运到B地的运价为0.2×110元/t.
两个公路运价同理.
分析：(3)应该如何设未知数?
问题：这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元?
销售额
与产品数量有关
原料费
与原料数量有关
运输费
与产品数量和原料数量都有关
设购买?????t长绒棉，制成?????t纺织面料.
?
x t长绒棉
y t纺织面料
合计
公路运费／元
0.5×10x
0.5×20y
0.5(10x+20y)
铁路运费／元
0.2×120x
0.2×110y
0.2(120x+110y)
价值／元
30800x
42500y
解：设购买 x t 长绒棉， 制成 y t 纺织面料．根据题中数量关系填写表
等量关系是什么？如何求解？
根据题目所求的是：____________________________，为此需先解出____与____，由上表，列得方程组
0.5(10x+20y)?=5200， 0.2×(120x+110y)=16640．
?
42500y?(30800x+5200+16640)
y
x
解：设购买 x t 长绒棉， 制成 y t 纺织面料．
根据题意，列得方程组
0.5(10x+20y)?=5200， 0.2×(120x+110y)=16640．
?
解这个方程组，得
????=400，????=320．
?
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多125816元．
42500y?(30800x+5200+16640)=1258160
思考：你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点?
能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决，但随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组将更加简单直接．
相同点：都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解，这一过程就是建模的过程，
例1 某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t．3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大货车一次可以运货x t，1辆小货车一次可以运货y t.
根据题意，列得方程组
解得
所以3x+5y=24.5.
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨.
2????+3????=15.55????+6????=35
?
????＝?1????＝1
?
例2 七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如右表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？
解：设他们购买的往返票和单程票分别为x张，y张.
根据题意，列得方程组
解得
答：他们购买的往返票和单程票分别为8张，12张.
????+????=20 80????+45????=1 180
?
????＝8????＝12
?
例3 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需54 min，从乙地骑到甲地需42 min. 甲地到乙地全程是多少千米？
解：设甲地到乙地上坡路为x km，平路为y km，则乙地到甲地下坡路为x km，
平路为y km.根据题意，列得方程组

答：甲地到乙地全程是31千米.
所以x+y=31.
????30+????40=5460????50+????40=4260
?
????＝15????＝16
?
解得
实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
利用二元一次方程组解决图文信息问题
列表将所有的数量关系进行整理
(1)审 (2)设 (3)列
(4)解 (5)验 (6)答
1．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购A，B两种图书，已知采购2本A种图书和3本B种图书共需110元，采购1本????种图书和5本B种图书共需160元，则A，B两种图书的单价分别为（ ????）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
?
A
2．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
C
3．某一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/千克）
5
3
零售价/（元/千克）
7
4
他卖完这些黄瓜和茄子共赚了 元．
100
4．李强总理代表国务院在第十四届全国人大二次会议上作《政府工作报告》，报告中指出要“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”．新能源汽车作为一种新兴的低碳出行方式，受到越来越多的人们青睐．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆????型新能源汽车和2辆????型新能源汽车的进价共计70万元；3辆????型新能源汽车和5辆????型新能源汽车的进价共计145万元．
(1)求????、????两种型号的新能源汽车每辆的进价分别是多少万元？
(2)若某公司计划正好用170万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请通过计算求出共有几种不同的购买方案．
?
解：（1）设A型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B型号的新能源汽车每辆进价为y万元．
2????+2????=703????+5????=145?
解得 ????=15????=20
答：A型号的汽车每辆进价为15万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．
?
4．2辆????型新能源汽车和2辆????型新能源汽车的进价共计70万元；3辆????型新能源汽车和5辆????型新能源汽车的进价共计145万元．
(1)求????、????两种型号的新能源汽车每辆的进价分别是多少万元？
?
（2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆．
则15????+20????=170，即 ????=34?4????3，????=34?3????4.
∵ 两种型号的新能源汽车均购买，∴a、b 均为正整数．
∴????=2????=7或????=6????=4?或????=10????=1
答: 共有3种不同的购买方案：方案1：A型号购进2辆，B型号购进7辆； 方案2：A型号购进6辆，B型号购进4辆；
方案3：A型号购进10辆，B型号购进1辆．
?
(2)若某公司计划正好用170万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请通过计算求出共有几种不同的购买方案．

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