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10.3 课时1 实际问题与二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.
回顾一下用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
解 方程
一元一次方程的解(????=????)
?
实际问题的答案
检验
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题．
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
（二元一次方程）
探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
分析：(1)如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
估算会产生一定误差，对于估算的结果要通过精确求值来检验为此需要求出每头大牛、小牛1天所需要的饲料.
未知量：每头大牛1天需用的饲料；每头小牛1天需用的饲料.
等量关系：30头大牛和15头小牛1天约用饲料675 kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为?????kg和?????kg.
?
先分析问题中的数量关系，再列方程组，
分析：(2)题中有哪些未知量，有哪些等量关系？如何设未知数？
探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组.
30x+15y=675, (30+12)x+(15+5)y=940.?
?
如何解这个方程组比较简便？
先化简，整理得&2????+????=45，???????????①&21????+10????=470；?②
由①得 ????＝45-2???? ③
把 ③代入②，得21????+10×45?2????=470，
解这个方程得????=20,
?
把 ????=20代入③，得????＝5
所以这个方程组的解是&????=20，&????=5．
?
答：每头大牛1天约需饲料20kg.每头小牛1天约需饲料5kg.
探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
饲养员李大叔的估计正确吗？
饲养员李大叔对大牛的食量估计_______
对小牛的食量估计_______
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
估算值
实际值
大牛食量
18~20kg
20kg
小牛食量
7~8kg
5kg
较准确
偏高
(1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系.
(2)设：恰当地设未知数.
(3)列：依据题中的等量关系列出方程组.
(4)解：解方程组，求出未知数的值.
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义.
(6)答：写出答.
回顾解决问题的过程，总结列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
例1 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元.
根据题意，列得方程组
解得
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
3????+5????＝5012????+4????＝88
?
????＝5????＝7
?
例2 学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅. 第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
解：设每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为x元，y元.
根据题意，列得方程组
解得
答：每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为29元，31元.
2????+3????＝1514????+2????＝178
?
????＝29????＝31
?
例3 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元， 原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t，建筑垃圾清运费的收费标准由150元/t上调为180元/t．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
解：设这家公司去年的餐厨垃圾为x t，建筑垃圾为y t.
根据题意，列得方程组
解得
答：这家公司去年的餐厨垃圾为8 t，建筑垃圾为34 t.
240????+150????＝7 020300????+180????＝8 520
?
????＝8????＝34
?
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路.
（消元）
1.2台大收割机和6台小收割机同时工作2 h共收割水稻4 hm2，3台大收割机和4台小收割机同时工作5 h共收割水稻9 hm2，设1台大收割机和1台小收割机每小时收割水稻分别是x hm2，y hm2，则下列方程组正确的是( )
A.2(2x－6y)＝4，5(4x－3y）＝9???? B.2(6x＋2y)＝4，5(4x＋3y)＝9????
C.2x＋6y＝4，3x＋4y＝9????? D.2(2x＋6y)＝4，5(3x＋4y)＝9?????
?
D
2．“五一”小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船. 小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人. 则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( )
A．30 B．26 C．24 D．22
B
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）．
A．&????3=????+2，&????2+9=????B．&????3=?????2，&?????92=????C．&????3=????+2，&?????92=????D．&????3=?????2，&????2?9=????
?
B
4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试，开放1个大餐厅和2个小餐厅，可同时容纳1 680名学生就餐；开放2个大餐厅和1个小餐厅，可同时容纳2 280名学生就餐. 如果7个餐厅都开放，能否同时容纳全校的5 300名学生就餐？
解：设1个大餐厅可同时容纳x名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳y名学生就餐.
根据题意，得&????+2????=1?680，&2????+????=2?280.解得&????=960，&????=360.
所以1个大餐厅可同时容纳960名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳360名学生就餐.
因为960×5＋360×2＝5 520＞5 300，
所以如果7个餐厅都开放，能同时容纳全校的5 300名学生就餐．

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