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10.2.1 课时1 代入消元法
第十章 二元一次方程组
1.掌握代入消元法的意义.
2.会用代入法解简单的二元一次方程组.
新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用了6台采棉机，1小时完成了8公顷棉田的采摘.已知大型采棉机1小时完成2公顷棉田的采摘，小型采棉机1小时完成1公顷棉田的采摘.如果设大型采棉机有x台，那么小型采棉机有多少台？
上节课我们提到可以分别用一元一次方程和二元一次方程组解决这个问题：
设这个种棉大户租用了????台大型采棉机，y台小型采棉机
?
????＋y＝6 ①
?
2????＋y＝8 ②
?
2????+6?????=8
?
设大型采棉机有????台
?
????＋y＝6 ①
?
2????＋y＝8 ②
?
【思考】上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
2x＋(6－x)＝8
y＝6－x
二元
一元
x＝2
y＝6－x
y＝4
先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想．
????＋y＝6 ①
?
2????＋y＝8 ②
?
2x＋(6－x)＝8
y＝6－x
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程.
????＋y＝6 ①
?
2????＋y＝8 ②
?
通过前面的分析解该方程组：
解：由①， 得 y＝6- x ③
把③代入②，得 2x＋(6－x)＝8
解这个方程，得 x ＝2
把????＝2 代入③，得 y ＝4
所以这个方程组的解为&????=2&????=4
?
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
解：由①， 得 x＝y+3 ③
把③代入②，得 3(y+3) ? 8y＝14．
解这个方程，得 y＝?1
把 y＝? 1代入③，得 x＝2
所以这个方程组的解为&????=2&????=?1
?
把③代入①可以吗？试试看？
把③代入①，得 y+3?????=3
再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入①.
例1 用代入法解方程组&?????????=3??????????????????????????????????????????????①&3?????8????=14????②
?
把y＝?1代入①或②可以吗？
得到一个未知数的值后，把它代入①②③都能得到另一个未知数的值，其中代入方程③更简捷.
例1 用代入法解方程组&?????????=3??????????????????????????????????????????????①&3?????8????=14????②
?
解：由①， 得 x＝y+3 ③
把③代入②，得 3(y+3) ? 8y＝14．
解这个方程，得 y＝?1
把 y＝? 1代入③，得 x＝2
所以这个方程组的解为&????=2&????=?1
?
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二元一次方程组
?????????=3
?
????=????+3
?
3?????8????=14
?
????=2
?
????=?1
?
一元一次方程
3(????+3)?8????=14
?
用????+3代替x，消去未知数????
?
变形
解得????
?
解得????
?
消去????
?
代入
通过上面的图试着总结一下代入法解二元一次方程组的一般步骤
回代
例1 用代入法解方程组&?????????=3??????????????????????????????????????????????①&3?????8????=14????②
?
代入法解二元一次方程组的一般步骤
(1)变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
(2)代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
(5)写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
分析：方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便.
①
②
解：由②，得
y=2x-16 ③
把③代入①，得
3x-5(2x-16)=3
解这个方程得
x=11
把x=11代入是③，得
y=6
例2 用代入消元法解方程组
所以这个方程组的解是:
x=11?y=6
?
3x?5y=3?2x?y=16?
?
变形
代入
求值
回代
写解
基本思想
基本方法
解二元一次方程组
消元思想
基本步骤
把方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示，再代入另一方程，实现消元，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法.
（1）变形（2）代入（3）求值
（4）回代（5）写解
1．把方程2????+?????1=0改写成含x的式子表示y的形式为（　　）
A．????=12(1?????) B．????=1?2????
C．????=2(1?????) D．????=2?????1
?
B
2．在解方程组3?????????=7????①????=????+1???????②的过程中，将②代入①可得（????）
A．3????+1?????=0 B．3????+1?????=0
C．3?????????+1=7 D．3?????????+1=7
?
C
3．解下列二元一次方程组：
&3x+2y=3,①&x?2y=1；②
?
解：由②得 x＝2y+1 ③
将③代入①，得3(2y+1)+2y=3,
解得y=0.
将y=0 代入③，得x=2×0+1=1 ,
所以方程组的解为&x=1,&y=0.
?
4．如果关于????、????的方程组????=????+52?????????=5的解是方程2?????3????+????=5的解，那么????的值是（? ??）
A．?10 B．?15 C．5 D．20
?
A
5．由方程组????+????=?4，?????3=????，??可得出x与y之间的关系是（　　）．
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
?
B

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