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(共24张PPT)
沪科版·八年级下册
20.3 数据的离散趋势
20.3.1 离差平方和与方差
情景导入
问题 两台机床都生产直径为（20±0.2）mm 的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下（单位：mm）：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？
我们常用平均数、中位数、众数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的走时误差，还需要用一个新的数来刻画一组数据的波动情况.
要比较零件的精度，首先想到比较两组数据的平均值：
，它们的中位数也都是 20.0 mm，
从数据的集中趋势这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性. 这时需要考察数据的离散程度.
推进新课
数据是由一个标准基数+浮动值构成的，这样可以减小计算量
将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示.
零件直径的平均数所处的位置
偏离平均数0.2mm
偏离平均数0.1mm
6个
2个
2个
4个
直观上，容易看出机床 B 比机床A 生产的零件的精度更稳定.
将 称为这组数据的方差，记作 s2 .
设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 .
将 称为这组数据的离差平方和，可以简记为 .
离差平方和：
方差：
当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中.
离差平方和：
方差：
离差平方和与方差都具有如下性质：
（1）最小值为0；
（2）数据的离散程度大，它们的值也大.
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
问题
离差平方和：
MA = （20－20）2 + （19.8 －20）2 + … + （19.8－20）2 = 0.26.
MB = （20－20）2 + （20 －20）2 + … + （19.8－20）2 = 0.12.
方差：
离差平方和0.26 > 0.12，方差0.026 > 0.012，可知机床 A 生产的 10 个零件直径比机床 B 生产的 10 个零件直径波动要大.
机床 B 生产的零件精度更稳定
操作步骤：
（1）设定 SD 模式：打开计算器后，先按键 MODE 2 ，将其设定至开始状态；
（2）按键 SHIFT CLR 1 （SCL）= ，清除计算器原先在 SD 模式下所储存的数据；
（3）依次按键：20.0 DT 19.8 DT 20.1 DT 20.2 DT 19.9 DT 20.0 DT 20.2 DT 19.8 DT 20.2 DT 19.8 DT 输入数据；
用计算器计算
操作步骤：
（4）按键 SHIFT S-VAR 2 = ，显示方差的算式平方根为 0.161 245 155 ；
（5）按键 x2 = ，显示方差为 0.026 .
因此， = 0.026.
用计算器计算
用电子表格软件计算
1. 如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为 ，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 .
s2
2. 如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为 4，方差为 ，那么另一组数据 的平均数为 ，方差为 .
2
1. 将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
2. 将一组数据中的每一个数据都变为原来的 k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k2 倍.
随堂练习
1.已知一个样本的方差
，
则这个样本的容量为 ，平均数为 .
10
26
2.甲、乙两名运动员进行了 5 次跳远的成绩测试，且知 s2甲 = 0.016，s2乙 = 0.025，由此可知 的成绩比
的成绩稳定.
甲
乙
3.九年级两名男同学在体育课上各练习 10 次立定跳远，平均成绩均为 2.20 m，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学立定跳远成绩的 （ ）
A.方差 B.众数
C. 平均数 D.中位数
A
4. 求下列每题中两组数据的离差平方和及方差，并说明哪组数据的离散程度较小.
（1）A：11，12，13，14，15；B：11，13，13，14，14；
【教材P148 练习 T1】
MA= (11－13)2+(12－13)2+(13－13)2 +(14－13)2 +(15－13)2 = 10.
MB= (11－13)2+(13－13)2+(13－13)2 +(14－13)2 +(14－13)2 = 6.
B组数据的离散程度较小.
4. 求下列每题中两组数据的离差平方和及方差，并说明哪组数据的离散程度较小.
（2）A：30，50，50，50，60；B：30，44，50，56，60.
MA= (30－48)2+(50－48)2+(50－48)2 +(50－48)2 +(60－48)2 = 480.
MB= (30－48)2+(44－48)2+(50－48)2 +(56－48)2 +(60－48)2 = 552.
A组数据的离散程度较小.
【教材P148 练习 T1】
5. 考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗，测得苗高(单位：cm)如下：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
计算甲、乙两组数据的离差平方和及方差，并说明哪种小麦长得较整齐.
【教材P148 练习 T2】
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
M甲= (12－13)2+(13－13)2+…+(15－13)2 +(11－13)2 = 36.
M乙= (11－13)2+(16－13)2+…+(10－13)2 +(16－13)2 = 158.
甲种小麦长得更整齐.
6. 已知如下两组数据：
A：20，21，22，23，24，25，26；
B：20，20，23，23，23，26，26.
用计算器或电子表格软件分别求出它们的方差，并说明哪组数据的波动较大.
【教材P149 练习 T3】
B组数据的波动较大.
7. 两名跳远运动员在10次测验中的成绩(单位：m)如下：
【教材P149 练习 T4】
甲：5.85，5.93，6.07，5.91，5.99，6.13，5.89，6.05，6.00，6.19；
乙：6.11，6.08，5.83，5.92，5.84，6.18，6.17，5.81，5.85，6.21.
用计算器或电子表格软件分别计算两组数据的方差，并根据计算说明哪名运动员的成绩较稳定.
运动员甲的成绩较稳定.
课堂小结
可以用__________________来衡量一组数据的离散程度.
离差平方和、方差
离差平方和：
方差：
最小值为0
数据的离散程度大，它们的值也大
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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