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数学试题
本试卷共 19 题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 A={x|x >4},B={x|x(x-2)<3},则 A∩B=
A.{x|-22.若复数 z=(a+i)(i-2)(a∈R)为纯虚数,则 a=
A. - 2 B.2 C. D.
3.某数字档案馆为推进古籍数字化，引进了一套基于图像处理的扫描仪，专门用于扫描古籍页面。该
扫描仪配备了实时数据采集系统，能够自动记录每次扫描的页面数量与扫描时间。为了建立扫描页
面数量与时间之间的预测模型并优化扫描仪参数设置，技术员进行了5次扫描，收集数据如下表所
示： 扫描页面数量x 100 200 300 400 500
扫描时间 y/ min 8 15 24 30 38
由上表数据求得y关于x的经验回归方程为 据此估计扫描1 000 页古籍所需时间
为
A.70.5m in B.72.5m in C.73.5m in D.75.5m in
4.已知函数 则曲线 y=f(x)在点( - 1,f(-1))处的切线在y轴上的截距为
A.ln2 B.ln2-2 C.1-ln2 D. - ln2
5.已知公差大于 0的等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 的前 n项和为 Tn，则
A.38 B. C. D.
6.某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这 5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不
安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为
A.36 B.72 C.90 D.144
7.在平面直角坐标系 xOy 中，F，A分别为椭圆 的右焦点和下顶点，B是 x
轴上一点，且|OF|=|BF|，过点 B且与 AF平行的直线 l与 C有唯一公共点，则l的斜率为
A. B. C. D.
8.已知 f(x)的定义域为 R,f(x)的图象关于点(1,2)对称,g(x)=f(x﹣2)+3x,且 g(x)的图象关于点(1,0)
对称,则 g(19)=
A.99 B.78 C.66 D.52
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数. 在区间(0，1)上有两个不同的零点，则
A.01 C.2m10.将函数.f(x)= sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π/4个单位长度后得到函数 g(x)= cos
(2x-2φ)的图象，则下列说法正确的是
A.直线 是曲线y=f(x)的一条对称轴
B.点 是曲线y=g(x)的一个对称中心
C.若 f(x)和 g(x)在(0,α)上的单调性相同,则α的最大值为π/6
D. f(x)-g(x)的最大值为
11.如图，圆台 OO'的高为 上底面圆 O的半径为 1，下底面圆 O'的半径为 ，P是圆 O上
一点，△ABC 是圆 O'的内接正三角形，则下列说法正确的是
A. PA 的最小值为
B.直线 PA 与平面 ABC 所成角的最小值为
C.圆台 OO'的外接球的表面积为16π
D. 为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。
12.已知向量 a=(-2,x),b=(-1,1),若 b⊥(a+b),则:
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 A 在 E 的右支上，若
且直线AF 与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为 。
14.设 a>0,函数. 的极小值为0，则 a的取值范围是 。
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是梯形,AB∥CD,BC⊥CD,PB⊥BC。
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PBC;
(2)若 求平面 PBD 与平面
ABCD 所成二面角的正弦值。
16.(15 分)
已知在 中， ,D 是 BC边上一点,AD 是. 的平分线，
且 AD=AC。
(1)求
(2)设 当λ为何值时， 取得最大值
17.(15 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到直线 的距离的平方比点 P到点 O 的距离的平方
大 记动点 P 的轨迹为Γ。
(1)求Γ的方程。
(2)已知 A ,A ,A 为Γ上不同的三点。
(i)若线段 A A 的中点坐标为(1,3),求△A OA 的面积;
(ii)若直线 A A 和直线 A A 均与圆 相切，证明：直线 与圆 C
相切。
18.(17 分)
已知某不透明盒子中有 3 个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完
全相同。现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出 1个球记下颜色，不放回盒子中，然后
从盒子外的黑球中拿 1个放入盒子中为一次操作。重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终
止。
(1)经过 2 次操作后，记盒子中红球的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望。
(2)记 n 次操作后游戏终止的概率为 Pn。
(i)求 P。关于 n 的表达式;
(ii)求 Pn 的最大值。
19.(17 分)
已知函数 c是自然对数的底数)。
(1)若 a=1,b=e,,求 f(x)的最小值;
(2)若 当 x>1 时 f(x)>0,，求 a的取值范围；
(3)若 f(x)>0,证明；

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