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(共16张PPT)
第19章 四边形
习题19.2
沪科版·八年级下册
【教材P91习题19.2 T1】
1.填空:
(1)在□ABCD中，∠A-∠B=60°，则
∠A=______，∠B=______；
(2)在□ABCD中，∠A+∠C= 120°，则
∠A=______，∠B=______；
(3)如果□ABCD的周长为35cm，AB∶BC=3∶4，那么AB =_____cm，BC=_____cm.
120°
60°
60°
120°
7.5
10
【教材P92习题19.2 T2】
2.求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.
证明:设平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD，垂足为E，OF⊥BC，垂足为F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，则∠DAC=∠BCA。
∴△AOE≌△COF ，∴OE=OF，
即平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.
A
D
B
C
O
E
F
【教材P92习题19.2 T3】
3.以不在同一直线上的三点为三个顶点作平行四边形，能作几个
A
B
C
3个
4.已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以哪两条为对角线、其余一条为边，可以画出平行四边形
【教材P92习题19.2 T4】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的一半与边可构成三角形，需满足三角形三边关系:两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
当22、16为对角线时，11+8=19>18，满足三边关系，可以画平行四边形.
当22、18为对角线时，11+9=20>16，满足三边关系，可以画平行四边形.
当16、18为对角线时，8+9=17<22，不满足三边关系，不能画平行四边形.
【教材P92习题19.2 T5】
5.如图，在□ABCD中，EF//BC，分别交AB，CD于点E，F. GH∥ AB，分别交AD，BC于点G，H. EF，GH的交点 Р 在BD上.图中面积相等的平行四边形有哪几对 为什么
A
D
B
C
P
E
F
G
H
图中面积相等的平行四边形有3对:
S□AEPG=S□ CFPH，
S□ ABHG=S □ BCFE，
S□ ADFE=S□ CDGH.
A
D
B
C
P
E
F
G
H
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD。
又∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC.
∴四边形EBHP，四边形GPFD，
四边形ABHG，四边形AEPG，四边形EBCF，
四边形CFPH，四边形CDGH都是平行四边形.
∵平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，∴S△ABD =S△BCD，S△EBP =S△HBP，S△GPD=S△FPD。
∵S□ AEPG =S△ABD-S△EBP-S△GPD，
S□ CFPH=S△BCD-S△HBP-S△FPD，
∴S□ AEPG=S□ CFPH.
A
D
B
C
P
E
F
G
H
又∵S□ABHG=S□AEPG＋S□EBHP，
S□BCFE=S□CFPH＋S□EBHP，
∴S□ABHG=S□BCFE.
同理，S□ADFE=S□AEPG＋S□GPFD，
S□CDGH=S□CFPH＋S□GPFD，
∴S□ADFE=S□CDGH.
∴图中面积相等的平行四边形有3对:
S□AEPG=S□ CFPH，
S□ ABHG=S □ BCFE，
S□ ADFE=S□ CDGH.
【教材P92习题19.2 T6】
6.如图，在□ABCD的边BC上任取一点P，过点P作PQ//BD交CD于点Q，连接PA，PD，QA，QB，则与△ABP面积相等的三角形是哪几个 并说明理由.
A
D
B
C
Q
P
与△ABP面积相等的三角形有3个，分别是△BPD、△BDQ、△ADQ。
△ABP与△BPD有公共底边BP，且顶点A和D都在平行于BC的直线上，∴△ABP与△BPD同底等高。
∴S△ABP=S△BPD .
同理：S△BPD=S△BDQ S△BDQ=S△ADQ
【教材P92习题19.2 T7】
7.判断下列说法是否正确.
(1)一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形. ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ( )
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形. ( )
(4)对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形. ( )
(5)一组对角相等、一组邻角互补的四边形是平行四边形. ( )
(6)相邻两角都互补的四边形是平行四边形. ( )
√
√
×
×
√
√
【教材P92习题19.2 T8】
8.已知:如图，在□ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，CF平分∠BCD交AB于点F.
求证:四边形AFCE是平行四边形．
D
C
A
B
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD，∠BAD=∠BCD
又∵ AE平分∠DAB， CF平分∠BCD
∴ ∠EAF=∠FCE
∵ AF∥CE，∴ ∠EAF+∠AEC=180°
∴ ∠FCE+∠AEC=180°
∴ AE∥CF，∴ 四边形ABCD是平行四边形
【教材P93习题19.2 T9】
9.已知:如图，点A，C是直线 l 同侧的两点，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别是点 B，D，并且 AB = CD.
求证: 直线 AC // l.
D
C
A
B
l
证明：∵ AB⊥l，CD⊥l，
∴ AB∥CD.
又∵AB=CD
∴ AB CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AC ∥ BD
即直线AC ∥ l.
∥
=
【教材P93习题19.2 T10】
10.如图，以线段AB，BC为邻边，用尺规作出平行四边形ABCD，并说明运用了平行四边形的哪种判定方法.(保留作图痕迹)
C
A
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【教材P93习题19.2 T11】
11.求证: 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
D
C
A
B
H
E
F
G
证明:设四边形ABCD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，连接对角线AC。
在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，则EF是△ABC的中位线，
∴ EF∥ AC且EF= AC；
在△ADC中，H、G分别是AD、CD的中点，则 HG是△ADC的中位线，
∴ HG∥ AC 且 HG= AC.
∴EF∥ HG且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
即顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【教材P93习题19.2 T12】
12.已知:点E，F分别是□ABCD的边AD，BC上的点，且AE=BF，点G是AF与BE的交点，点H是CE与DF的交点. 求证: GH//BC，GH= BC.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥ BC，AD=BC，
又∵AE=BF，则ED=FC，
∴四边形AEFB、四边形EDCF是平行四边形，∴点G是BE的中点，点 H 是 EC 的中点，
∴GH是△EBC的中位线，
∴GH∥ BC，GH= BC.
D
C
A
B
E
F
G
H
【教材P93习题19.2 T13】
13.已知:AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，BE 的延长线与 AC 交于点 F. 求证: AF= FC.
证明:过点D作DG∥ BF，交AC于点G。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ D为BC的中点。
∵ DG∥ BF，∴G是FC的中点，
即 FG=GC= FC.
又∵点E是AD的中点，DG∥ BF，
∴ F是AG的中点，即AF=FG.
∴ AF=FG= FC，即AF= FC.
D
A
B
C
E
F
G(共17张PPT)
第19章 四边形
习题19.3
沪科版·八年级下册
【教材P107习题19.3 T1】
1.已知:矩形的两条对角线所成的钝角是120°.求证: 矩形较短边长等于对角线长的一半.
证明:设矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O.
∵矩形的对角线相等且互相平分，
∴OA=OB= AC= BD.
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=180°-∠AOB=60°.
又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA.∵OA= AC，∴AD= AC，
即矩形较短边长等于对角线长的一半.
A
B
D
C
O
【教材P107习题19.3 T2】
2.如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点E.
(1) 若∠DAE = 2∠BAE，求 ∠EAC 的度数；
(2) 若 BE ∶ ED = 1 ∶ 3，AB = 1，求 AD 的长.
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.
又∵∠DAE=2∠BAE，
∠DAE+∠BAE=∠BAD = 90°，
∴∠BAE=30°，∠DAE=60°.
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=60°
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB=60°.
B
C
A
D
O
E
∴∠EAC= ∠OAB-∠BAE= 30°.
【教材P107习题19.3 T2】
2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD 于点E.
(1)若 ∠DAE = 2∠BAE，求∠EAC的度数；
(2)若BE ∶ ED = 1 ∶ 3，AB = 1，求 AD 的长.
(2)设BE=x，∵BE:ED=1:3，∴ED=3x，
则BD=BE+ED=4x.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OD=2x.
∴OE=OB-BE=2x-x=x，即BE=OE.
又∵AE⊥BD，∴AE垂直平分OB，
∴AB =AO=1.∵AO=2x=1，∴x=0.5，∴BD=4x=2.
在Rt△ABD中，根据勾股定理
B
C
A
D
O
E
【教材P107习题19.3 T3】
3. (1)求证: 邻边不等的平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形；
证明:设平行四边形ABCD，AB≠AD，
∠DAB与∠ABC的平分线分别为AE和BF，
AE与BF相交于点M；
∠BCD与∠ADC的平分线分别为CG和DH，
CG与DH相交于点N，AE与DH相交于点P，
BF与CG相交于点Q.
A
B
D
C
E
F
M
G
Q
H
N
P
【教材P107习题19.3 T3】
3. (1)求证: 邻边不等的平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ABC =180°，
又AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠BAE+∠ABF= (∠DAB＋∠ABC) =90°，∴∠AMB=90°.同理可得∠BQC=90°，
∠CND=90°，∠APD=90°.
∵四边形MQNP的四个内角均为90°，
∴四边形MQNP是矩形，即邻边不等的平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形。
A
B
D
C
E
F
M
G
Q
H
N
P
【教材P107习题19.3 T3】
3. (2)求证: 邻边不等的矩形四个内角的平分线围成的四边形是正方形.
A
B
D
C
E
F
G
H
证明:设矩形ABCD，AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，CG平分∠BCD，DH平分∠CDA，围成四边形EFGH.
∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角为90°，
角平分线分角后得到多个 45°角，
进而推出∠AEB=∠BFC=∠CGD=∠DHA=90°，
∴四边形EFGH是矩形；又∵△ABE≌△CDG，△BCF≌△DAH，可得EF=FG，
即矩形EFGH有一组邻边相等，
∴四边形EFGH是正方形。
4.已知:在□ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，且AF=DE. 求证: □ABCD是矩形.
【教材P107习题19.3 T4】
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ CD，AB=CD，
又∵点E，F分别是AB，CD的中点，则AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AF=DE，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形。
A
B
D
C
F
E
【教材P107习题19.3 T5】
5.从菱形的钝角顶点向对边引垂线，如果垂线平分对边，求菱形的钝角度数.
解:设菱形为ABCD，∠ADC为钝角，过点D作DE⊥AB于点E，且E为AB中点.连接BD.
∵DE⊥AB，E为AB中点，
∴AD=BD.又∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BD.∴△ABD是等边三角形.
∴∠A=60°，∵菱形的邻角互补，
∴∠A+∠ADC= 180°，
∴∠ADC=180°-∠A= 180°-60°=120°，
即菱形的钝角度数为120°.
A
B
C
D
E
【教材P107习题19.3 T6】
6.在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，求AB与CD之间的距离.
B
C
D
A
O
解:∵菱形的对角线互相垂直且平分，
在菱形ABCD中，AC = 6 cm，BD = 8cm，
∴OA = 3 cm，OD = 4 cm.
根据勾股定理，
菱形的面积
设 AB 与 CD 之间的距离为 h，∵ AB = CD = 5 cm，
且菱形面积 S=CD·h，即 24=5×h，解得 h= cm.
【教材P107习题19.3 T7】
7.求证: 依次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
A
B
D
C
F
E
G
H
证明:已知矩形ABCD，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
连接AC、BD，
∵矩形ABCD，∴AC=BD.
由三角形中位线定理可得
EF= AC，HG= AC，EH= BD，FG= BD，
∴EF=FG=GH=HE，
根据四边相等的四边形是菱形，
可知四边形EFGH是菱形.
【教材P107习题19.3 T8】
8.已知: 在□ABCD中，∠BAC = ∠DAC.
求证: □ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB =∠DAC.
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴ABCD是菱形.
A
B
C
D
【教材P107习题19.3 T9】
9.已知: 如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着.求证: 重叠部分ABCD为菱形.
证明:∵ 纸条的对边平行，
即 AD∥ BC，AB∥ CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵ 两纸条宽度相同，则 AE = AF.
又∵ 平行四边形ABCD的面积 S = AE·CD = BC·AF，
∴ CD = BC.
∴ 平行四边形ABCD为菱形.
E
F
【教材P107习题19.3 T10】
10. (1)如图，在△ABC中，求作菱形BDEF，使点D，E，F分别在边BC，AC，AB上；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).
A
B
C
【教材P107习题19.3 T10】
10. (2)若(1)中∠A=80°，∠C=30°，求所作菱形BDEF中∠BED的度数.
A
B
C
D
E
F
(2)∵在△ABC中，∠A=80°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-80°-30°=70°.
又∵四边形BDEF为菱形，菱形的对角相等，
∴∠DEF=∠ABC=70°.
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴∠BED= ∠DEF= ×70°= 35°.
【教材P107习题19.3 T11】
11.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点，过点Р作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接PA，EF.
(1)求证:PA=EF；(2)当AB=6时，EF的最小值为多少
(1)证明:连接PC.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，
∠ADP=∠CDP，又∵DP = DP，∴△ADP≌△CDP，∴PA=PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF.
∵PA=PC，PC=EF，∴PA=EF.
【教材P107习题19.3 T11】
11.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一动点，过点Р作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接PA，EF.
(1)求证:PA=EF；(2)当AB=6时，EF的最小值为多少
(2)由(1)可知EF=PA，∴求EF的最小值就是求PA的最小值.
∵点P在对角线BD上运动，根据垂线段最短可知，
当PA⊥BD时，PA最短.
此时△ABP是等腰直角三角形，∵AB=6，PA= AB，
∴PA= .∵EF=PA，
∴EF的最小值为 .(共9张PPT)
第19章 四边形
习题19.1
沪科版·八年级下册
【教材P78习题19.1 T1】
1. 求十边形的内角和.
解：由题意得，十边形的内角和为
(10 – 2)·180°= 1440°.
【教材P78习题19.1 T2】
2. 已知一个多边形的每个外角都是它相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n – 2)·180°= 5×360°.
解得 n = 12.
因此这个多边形的边数为 12.
【教材P78习题19.1 T3】
3. 若一个多边形的边数与对角线的条数相等，求这个多边形的内角和.
解：设这个多边形的边数为 n.
解得 n = 5.
因此这个多边形的内角和为
根据题意，得
(5 – 2)·180°= 540°.
4.如图，有一个长、宽分别为a，b的长方形和两个三边长分别为a，b，c的直角三角形.请你用这三个图形无缝拼成新的四边形(不能重叠)，并直接写出形状不同的四边形的周长.(要求画出示意图形)
【教材P78习题19.1 T4】
2a+4b
4b+2c
4b+2c
4a+2b
4a+2c
4a+2c
【教材P78习题19.1 T5】
5. 如图，一个正 n 边形纸片被撕掉了一部分，延长 AB 和 DC 两边后交于点 P，若∠BPC = 100°，那么 n 等于多少？
A
B
C
D
P
解：在这个正多边形中，∠ABC = ∠DCB，
∴180°–∠ABC = 180°–∠DCB，
即∠PBC =∠PCB.
又∠BPC = 100°，∴∠PBC =∠PCB = 40°.
即这个正多边形的每个外角都为40°.
∴n = 360°÷40°= 9.
【教材P78习题19.1 T6】
6. 如图，把一张五边形纸片剪去一个角，得到几边形？得到的多边形内角和是多少？
①剪去一个角得到六边形，内角和为720°
②剪去一个角得到五边形，内角和为540°
③剪去一个角得到四边形，内角和为360°

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