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四川省泸州高级中学校2024—2025学年下学期期中考试七年级数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．实数9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是．
故选：A．
【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个且互为相反数。由 ( 3)2 = 9，可得9的平方根为 3。
2．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0为整数，属于有理数，排除；B、为分数，属于有理数，排除；
C、3.14为有限小数，属于有理数，排除；
D、为无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查无理数的判定。解题的关键在于明确无理数与有理数的区别：无理数是不能表示为两个整数之比的无限不循环小数；而有理数则包括整数、分数以及有限小数或无限循环小数。据此对各选项逐一辨析即可得出正确答案。
3．若，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式 m < n 两边同时乘以 2（正数），不等号方向不变，应得 2m < 2n，原选项错误；
B、在不等式 m < n 两边同时减去 2，不等号方向不变，应得 m - 2 < n - 2，原选项错误；
C、在不等式 m < n 两边同时乘以 -3（负数），不等号方向改变，应得 -3m > -3n，原选项正确；
D、在不等式 m < n 两边同时除以 4（正数），不等号方向不变，应得 ，原选项错误。
故选：C。
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题关键在于准确把握不等式两边进行加、减、乘、除运算时对不等号方向的影响：当两边同加或同减一个数（或式子）时，不等号方向保持不变；当两边同乘或同除以一个正数时，不等号方向也不变；而当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，据此逐项判断即可得出正确选项。
4．如果点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点P(a，b)位于第二象限，
∴ 根据象限内点的坐标特征可知 a < 0，b > 0。
由此可推导出：
对于点Q的横坐标 a - 3：因为 a < 0，一个负数减去3结果仍为负数，即 a - 3 < 0；
对于点Q的纵坐标 -b：因为 b > 0，其相反数必为负数，即 -b < 0。
综上，点Q(a - 3， -b)的横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征。
故选：C。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内点的坐标符号规律，解题的关键在于根据已知点所在的象限确定其横、纵坐标的正负性，进而通过不等式的性质推导目标点横、纵坐标的符号，最后依据“横、纵坐标均为负数的点位于第三象限”这一判定标准得出结论。
5．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
①；②；③；④．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵，∴；
②∵，∴；
③∵，∴；
④∵，∴；
综上可知能判断的有①③④；
故选：A．
【分析】本题考查平行线的判定定理，需根据图形中角的位置关系逐一判断。①∠1与∠2是内错角，相等则AB∥CD；②∠3与∠4是内错角，相等则BD∥AC，不能判定AB∥CD；③∠A与∠DCE是同位角，相等则AB∥CD；④∠D与∠ABD是同旁内角，互补则AB∥CD。故能判定AB∥CD的是①③④。
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．平行于同一直线的两直线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．若不是负数，则一定大于0
D．等角的补角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A. 平行于同一直线的两直线应互相平行，而非垂直，故为假命题。B. 仅当两直线平行时，被第三条直线所截的同位角才相等，故为假命题。
C. 若a不是负数，则a可为0或正数，不一定大于0，故为假命题。
D. 等角的补角相等，符合补角定义，为真命题。
故选：D．
【分析】本题考查命题真假的判断，需结合平行线的性质、有理数的分类及补角的定义逐一分析选项：平行于同一直线的两直线互相平行，故A错误；只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故B错误；若a不是负数，则a可以是0或正数，不一定大于0，故C错误；根据补角的定义，等角的补角相等，故D正确。
7．一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：选项A：将该图形的边进行平移后，可以发现它的周长就等于长为12米、宽为8米的长方形的周长。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。选项B：该图形是平行四边形，平行四边形的高是8米，底是12米。根据平行四边形的性质，斜边长度大于高（8米），所以平行四边形的周长大于2(12 + 8)=40米，因此该设计不能用40米长的木条围出来。
选项C：该图形是长方形，长为12米，宽为8米。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。
选项D：将该图形的边进行平移后，可以发现它的周长就等于长为12米、宽为8米的长方形的周长。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。
故选：B．
【分析】本题的关键在于利用平移的思想，将不规则图形的边进行平移，转化为我们熟悉的长方形或平行四边形，然后根据相应的周长公式进行计算或判断。对于选项A、C、D，通过平移后都可以转化为长12米、宽8米的长方形，其周长为40米；而选项B的平行四边形，由于斜边长度大于高，所以其周长大于40米。
8．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ OECD ，
∴ COE = 90。
又∵ AOE = 26 ，
∴ AOC = COE - AOE = 90 - 26 = 64。
∵AOC 与BOD 是对顶角，
∴ BOD = AOC = 64 。
∵ OF 平分 BOD ，
∴DOF =BOD = 64 = 32。
∵ COF 与DOF 互为邻补角，
∴COF = 180 -DOF = 180- 32 = 148 。
故选 B。
【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等、角平分线的定义以及邻补角的性质。解题的关键在于从垂直关系入手，结合已知角的度数求出 ∠AOC 的大小，再利用对顶角相等得到∠BOD 的度数，进而通过角平分线求出 ∠ DOF ，最后根据邻补角互补的性质计算出 angle COF 的度数。整个过程需要准确识别图中角与角之间的位置关系和数量关系。
9．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
即．
故选：B．
【分析】本题主要考查从几何图形中提取等量关系列二元一次方程组。观察拼图可知：大长方形的长由一个小长方形的长加两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 22；同时，大长方形的长也可以由两个小长方形的长叠加而成，但图中隐含的上下对齐关系表明一个小长方形的长等于三个小长方形的宽，即 x = 3y。联立即可得方程组。
10．已知为实数，且，则的算术平方根为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】由题意，，可得，即。
因此，x-4 = -(2x+1)，解得 x = 1。
将 x = 1 代入，得。
4 的算术平方根为 2。
故选：C．
【分析】本题考查立方根的性质与算术平方根的求解。解题核心在于利用“互为相反数的立方根相等”这一性质，将方程转化为x-4=-(2x+1)，从而求出x的值。接着将x代入计算其值，最后根据“算术平方根是非负数”的定义，求出该值的算术平方根。整个过程需熟练掌握立方根的运算性质和算术平方根的概念。
11．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，min{、x、} =，且x0。 当时，此时最小值为。
令=，解得x =（舍负值），符合题意。
当x1时，，此时最小值为。
令=，解得x =，但x 1，故舍去。
综上，x =。
故选：B
【分析】本题考查实数大小比较与函数性质的应用，解题关键在于根据x的取值范围分类讨论、x、的大小关系。需分0x < 1和x 1两种情况，结合“最小值为”的条件，分别分析哪个表达式取到最小值，再求解x并验证是否符合取值范围。通过分类讨论，确保所有可能情况都被覆盖，最终确定符合条件的x值。
12．如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知
作，
，
，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定，平行线的性质，以及相关角度的和差计算，逐项进行推理判断求值，即可得出答案。
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．实数，，中，最大的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；乘方的相关概念；实数的绝对值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：将各数化简： |-2| = 2， = 1
比较大小： 1 < 2 < (因 4 < 7， 故 2 <)
因此，最大的数是。
故答案为；．
【分析】本题考查实数大小的比较，核心思路是先将含有绝对值、乘方的数化为最简形式，再通过估算无理数的范围或比较平方数的大小，来判断各数的大小关系。具体来说，需先分别计算|-2|、的值，再通过比较2和的平方数（或直接估算的范围）来确定与2的大小，最后综合比较三个数，得出最大值。
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为　 　；
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案为：1．
【分析】将方程组的两个方程相减，建立关于m的方程，求解即可．
15．如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点，再沿折叠纸片，点分别落在点处，设，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由，得。
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题核心是折叠性质与平行线性质的综合应用。解题时，先利用平角定义和折叠性质，推导 MPN与的关系；再结合ADBC的平行线性质，通过同旁内角互补求出DMP，进而利用折叠性质得到 DMN的表达式；最后通过平行线的内错角相等和角的和差关系，推导MN的度数。整个过程需紧扣折叠前后角相等、平行线同旁内角互补/内错角相等的性质，逐步转化角的关系。
16．如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点，，的位置，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，正方形边长为 1 ，初始点 P 坐标为 (0，1) 。根据翻转规律，点 P 的坐标依次为：，，，，，，，…，可见每 4 次翻转为一个循环。计算 2025 4 = 506 .....1 ，
在次循环后位置与对应，
由，，…可知，其横坐标即为翻转次数，
的横坐标为：，
则坐标为：，
故答案为：．
【分析】本题考查规律探索与坐标计算，核心是通过分析点 P 的翻转轨迹，找出循环周期和坐标规律。解题时，先根据图形和翻转规则，列出前几个点 P 的坐标，观察发现每 4 次翻转为一个循环，且循环内点的坐标存在特定规律。然后通过除法运算确定 2025 次翻转对应的循环位置，结合循环内点的坐标规律，推导出的横纵坐标。关键在于准确识别循环周期，并利用周期规律简化计算。
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，核心是依据实数运算法则逐步化简。需先分别计算平方根、立方根、乘方及绝对值|-2|，再按“先乘除、后加减”的顺序依次运算，最后合并同类项得到结果。关键在于准确掌握各类实数运算的定义与符号规则，确保每一步化简的准确性。
18．解方程组
【答案】解：，①×4-②得：，
将代入①得：，解得：．
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的求解方法。通过观察方程组中x项系数的倍数关系，可利用加减消元法消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x。掌握加减消元法的操作步骤是解题的关键。
19．x取哪些正整数时，代数式3－的值不小于代数式的值？
【答案】解：依题意可列不等式，
解这个不等式得x≤4，
所以x的正整数值为1，2，3，4.
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的应用。关键是根据“不小于”的数量关系正确列出不等式，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1的步骤求解，最后结合x为正整数的条件，确定其取值范围内的所有正整数解。准确求解不等式并筛选正整数解是核心。
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：（请把以下过程补充完整）
证明：（已知）
且（___________），
___________（等量代换），
（___________），
+___________（___________），
（已知）
___________（___________），
．
【答案】证明：（已知）
且（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知）
（两直线平行，内错角相等），
．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用。解题思路是先利用对顶角相等和已知条件∠ 1=∠ 2，通过等量代换得到∠ BFD=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定CBDE，再结合AB CD，利用“两直线平行，内错角相等”得到 B= C，最后通过等量代换和“两直线平行，同旁内角互补”完成证明。关键是准确运用平行线的判定定理和性质定理，理清角之间的转化关系。
21．如图，三角形中，、，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为．
（1）作出平移之后的图形；
（2）求的面积；
（3）轴上有一点，使的面积与的面积相同，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图，△为所作，、两点的坐标分别为，；
（2）解：的面积；
（3）解：设点的坐标为，
的面积与相同，
，
解得或，
点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】首先根据点和点的坐标得到平移的方向与距离，然后再求出A，B平移之后的点A'，B'的坐标，描点，顺次连接O'，A'，B'，即可得出；
（2）根据面积割补发，从一个矩形的面积中减去三个直角三角形的面积，即可得到的面积；
（3）因为点Q在x轴上，可设点的坐标为，由（2）知的面积为4，然后利用三角形面积公式得到，再解方程即可得到的值，从而得到点的坐标．
（1）解：如图，△为所作，、两点的坐标分别为，；
（2）解：的面积；
（3）解：设点的坐标为，
的面积与相同，
，
解得或，
点的坐标为或．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．如图，已知AB∥CD，∠B＝70°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，求∠DCN的度数．
【答案】解：，
，
平分，
，
，
．
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及平角的应用。由 ABCD 得同旁内角互补，即 ∠BCE = 180- B = 110；根据角平分线定义得 MCE =BCE = 55；最后利用平角 180 列式 DCN = 180 -MCE - MCN = 35
23．学校组织部分师生前往“冰雪大世界”开展社会实践活动．据了解，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元．
（1）共去了几名老师，几名学生？
（2）若另有5名老师和24名学生，与这批师生一起去“冰雪大世界”开展社会实践活动，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱？
【答案】（1）解；设共去了x名老师，y名学生，
由题意得，
解得，
答：共去了3名老师，20名学生；
（2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元），
若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元）；
若两个班合起来全部购买团体票，共需门票费元，
因为，
所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；有理数乘法的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与有理数运算的实际应用，核心在于准确理解题意并建立数学模型。（1）设老师人数为x，学生人数为y，根据“总人数23人”和“总票价3120元”两个等量关系，列出二元一次方程组求解，即可确定师生人数。
（2）需对比三种购票方案的费用：①原师生与新增师生分别购票；②所有师生统一购买团体票；③部分师生与学生组合购买团体票，其余学生购学生票。分别计算各方案总费用，通过比较大小确定最省钱方案。关键在于合理规划团体票的使用范围，以实现费用最小化。
（1）解；设共去了x名老师，y名学生，
由题意得，
解得，
答：共去了3名老师，20名学生；
（2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元），
若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元）；
若两个班合起来全部购买团体票，共需门票费元，
因为，
所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
【答案】（1）答：点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下：∵时，；
时，；
时；
∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，得，又∵，解得，
∵为非负整数，
，
，
；
答：的平方根为；
（3）解：根据题意，得，解得，
∵是整数，
或，
∵是整数，
或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）根据“理想点”的概念把各点坐标分别代入指定方程检验即可；
（2）根据题意先联立关于和的二元一次方程组，再利用和的取值范围分别求出和的值，则的值可求，其平方根亦可求；
（3）先把看作常数解关于和二元一次方程组，得出，再根据“理想点”的坐标特征及的取值范围分别求出和的值即可.
25．如图，直线，一副三角尺，中，，，，．
（1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分；
（2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数；
（3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．
【答案】（1）证明：在中，，，，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图3，过点作，则
分别平分和
；
答：的度数为；
（3）解：如图， 过点作，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
旋转时间为；
②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作，
，
，
，
旋转时间为；
③当时，如图，过点E作，延长交于点K，
则，
，
这时在上停止运动，
旋转时间为；
④时，如图，延长交于，
，
，
，
，
旋转时间为；
⑤时，如图，延长交于，
，
，
，
旋转时间为；
答：当运动或或或或时，的一边与的一边平行
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】
（1）由两直线平行同旁内角互补知，与互补，则这两个角的一半互余；由角平分线的概念知，等于的一半，又由直角三角形两况角互余知，与互余；显然可得等于的一半，结论得证；
（2）如图， 求的度数，可先求出和的度数，由于已知是30度，则由邻补角的概念可求出的度数，此时可过点作，利用平行线性质可把已知转化到上从而可求出的度数；再由平行公理可知，再由平行线的性质定理求出的度数，再由角平分线的概念可分别求出和的度数即可；
（3）如图， 过点作，利用平行线性质即可求得；下来可分五种情况讨论：①当时，同时， ②当时， ③当时，④时，⑤时，分别求出旋转角度求解即可．
1 / 1四川省泸州高级中学校2024—2025学年下学期期中考试七年级数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．实数9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
2．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
①；②；③；④．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．平行于同一直线的两直线互相垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．若不是负数，则一定大于0
D．等角的补角相等
7．一个木匠想用一根40米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用40米长的木条围出来的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，直线，相交于点，，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知为实数，且，则的算术平方根为（　　）
A． B． C．2 D．4
11．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．实数，，中，最大的数是　 　．
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为　 　；
15．如图，长方形纸片，点，分别在，边上，将纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点，再沿折叠纸片，点分别落在点处，设，则的度数为　 　．
16．如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点，，的位置，则的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．解方程组
19．x取哪些正整数时，代数式3－的值不小于代数式的值？
四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）
20．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：（请把以下过程补充完整）
证明：（已知）
且（___________），
___________（等量代换），
（___________），
+___________（___________），
（已知）
___________（___________），
．
21．如图，三角形中，、，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为．
（1）作出平移之后的图形；
（2）求的面积；
（3）轴上有一点，使的面积与的面积相同，求点的坐标．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．如图，已知AB∥CD，∠B＝70°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，求∠DCN的度数．
23．学校组织部分师生前往“冰雪大世界”开展社会实践活动．据了解，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元．
（1）共去了几名老师，几名学生？
（2）若另有5名老师和24名学生，与这批师生一起去“冰雪大世界”开展社会实践活动，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱？
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
25．如图，直线，一副三角尺，中，，，，．
（1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分；
（2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数；
（3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是．
故选：A．
【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个且互为相反数。由 ( 3)2 = 9，可得9的平方根为 3。
2．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、0为整数，属于有理数，排除；B、为分数，属于有理数，排除；
C、3.14为有限小数，属于有理数，排除；
D、为无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查无理数的判定。解题的关键在于明确无理数与有理数的区别：无理数是不能表示为两个整数之比的无限不循环小数；而有理数则包括整数、分数以及有限小数或无限循环小数。据此对各选项逐一辨析即可得出正确答案。
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式 m < n 两边同时乘以 2（正数），不等号方向不变，应得 2m < 2n，原选项错误；
B、在不等式 m < n 两边同时减去 2，不等号方向不变，应得 m - 2 < n - 2，原选项错误；
C、在不等式 m < n 两边同时乘以 -3（负数），不等号方向改变，应得 -3m > -3n，原选项正确；
D、在不等式 m < n 两边同时除以 4（正数），不等号方向不变，应得 ，原选项错误。
故选：C。
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题关键在于准确把握不等式两边进行加、减、乘、除运算时对不等号方向的影响：当两边同加或同减一个数（或式子）时，不等号方向保持不变；当两边同乘或同除以一个正数时，不等号方向也不变；而当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，据此逐项判断即可得出正确选项。
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点P(a，b)位于第二象限，
∴ 根据象限内点的坐标特征可知 a < 0，b > 0。
由此可推导出：
对于点Q的横坐标 a - 3：因为 a < 0，一个负数减去3结果仍为负数，即 a - 3 < 0；
对于点Q的纵坐标 -b：因为 b > 0，其相反数必为负数，即 -b < 0。
综上，点Q(a - 3， -b)的横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征。
故选：C。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内点的坐标符号规律，解题的关键在于根据已知点所在的象限确定其横、纵坐标的正负性，进而通过不等式的性质推导目标点横、纵坐标的符号，最后依据“横、纵坐标均为负数的点位于第三象限”这一判定标准得出结论。
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵，∴；
②∵，∴；
③∵，∴；
④∵，∴；
综上可知能判断的有①③④；
故选：A．
【分析】本题考查平行线的判定定理，需根据图形中角的位置关系逐一判断。①∠1与∠2是内错角，相等则AB∥CD；②∠3与∠4是内错角，相等则BD∥AC，不能判定AB∥CD；③∠A与∠DCE是同位角，相等则AB∥CD；④∠D与∠ABD是同旁内角，互补则AB∥CD。故能判定AB∥CD的是①③④。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A. 平行于同一直线的两直线应互相平行，而非垂直，故为假命题。B. 仅当两直线平行时，被第三条直线所截的同位角才相等，故为假命题。
C. 若a不是负数，则a可为0或正数，不一定大于0，故为假命题。
D. 等角的补角相等，符合补角定义，为真命题。
故选：D．
【分析】本题考查命题真假的判断，需结合平行线的性质、有理数的分类及补角的定义逐一分析选项：平行于同一直线的两直线互相平行，故A错误；只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故B错误；若a不是负数，则a可以是0或正数，不一定大于0，故C错误；根据补角的定义，等角的补角相等，故D正确。
7．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：选项A：将该图形的边进行平移后，可以发现它的周长就等于长为12米、宽为8米的长方形的周长。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。选项B：该图形是平行四边形，平行四边形的高是8米，底是12米。根据平行四边形的性质，斜边长度大于高（8米），所以平行四边形的周长大于2(12 + 8)=40米，因此该设计不能用40米长的木条围出来。
选项C：该图形是长方形，长为12米，宽为8米。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。
选项D：将该图形的边进行平移后，可以发现它的周长就等于长为12米、宽为8米的长方形的周长。根据长方形周长公式C = 2(长 + 宽)，可得周长为2(12 + 8)=220 = 40米，所以该设计能用40米长的木条围出来。
故选：B．
【分析】本题的关键在于利用平移的思想，将不规则图形的边进行平移，转化为我们熟悉的长方形或平行四边形，然后根据相应的周长公式进行计算或判断。对于选项A、C、D，通过平移后都可以转化为长12米、宽8米的长方形，其周长为40米；而选项B的平行四边形，由于斜边长度大于高，所以其周长大于40米。
8．【答案】B
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ OECD ，
∴ COE = 90。
又∵ AOE = 26 ，
∴ AOC = COE - AOE = 90 - 26 = 64。
∵AOC 与BOD 是对顶角，
∴ BOD = AOC = 64 。
∵ OF 平分 BOD ，
∴DOF =BOD = 64 = 32。
∵ COF 与DOF 互为邻补角，
∴COF = 180 -DOF = 180- 32 = 148 。
故选 B。
【分析】本题主要考查了垂直的性质、对顶角相等、角平分线的定义以及邻补角的性质。解题的关键在于从垂直关系入手，结合已知角的度数求出 ∠AOC 的大小，再利用对顶角相等得到∠BOD 的度数，进而通过角平分线求出 ∠ DOF ，最后根据邻补角互补的性质计算出 angle COF 的度数。整个过程需要准确识别图中角与角之间的位置关系和数量关系。
9．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
即．
故选：B．
【分析】本题主要考查从几何图形中提取等量关系列二元一次方程组。观察拼图可知：大长方形的长由一个小长方形的长加两个小长方形的宽组成，即 x + 2y = 22；同时，大长方形的长也可以由两个小长方形的长叠加而成，但图中隐含的上下对齐关系表明一个小长方形的长等于三个小长方形的宽，即 x = 3y。联立即可得方程组。
10．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】由题意，，可得，即。
因此，x-4 = -(2x+1)，解得 x = 1。
将 x = 1 代入，得。
4 的算术平方根为 2。
故选：C．
【分析】本题考查立方根的性质与算术平方根的求解。解题核心在于利用“互为相反数的立方根相等”这一性质，将方程转化为x-4=-(2x+1)，从而求出x的值。接着将x代入计算其值，最后根据“算术平方根是非负数”的定义，求出该值的算术平方根。整个过程需熟练掌握立方根的运算性质和算术平方根的概念。
11．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，min{、x、} =，且x0。 当时，此时最小值为。
令=，解得x =（舍负值），符合题意。
当x1时，，此时最小值为。
令=，解得x =，但x 1，故舍去。
综上，x =。
故选：B
【分析】本题考查实数大小比较与函数性质的应用，解题关键在于根据x的取值范围分类讨论、x、的大小关系。需分0x < 1和x 1两种情况，结合“最小值为”的条件，分别分析哪个表达式取到最小值，再求解x并验证是否符合取值范围。通过分类讨论，确保所有可能情况都被覆盖，最终确定符合条件的x值。
12．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；铅笔头模型；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴①正确；
过点H作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴②正确．
设，则，，
由②知
作，
，
，
∴，无法判断是否为，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定，平行线的性质，以及相关角度的和差计算，逐项进行推理判断求值，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较；乘方的相关概念；实数的绝对值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：将各数化简： |-2| = 2， = 1
比较大小： 1 < 2 < (因 4 < 7， 故 2 <)
因此，最大的数是。
故答案为；．
【分析】本题考查实数大小的比较，核心思路是先将含有绝对值、乘方的数化为最简形式，再通过估算无理数的范围或比较平方数的大小，来判断各数的大小关系。具体来说，需先分别计算|-2|、的值，再通过比较2和的平方数（或直接估算的范围）来确定与2的大小，最后综合比较三个数，得出最大值。
14．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案为：1．
【分析】将方程组的两个方程相减，建立关于m的方程，求解即可．
15．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由，得。
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题核心是折叠性质与平行线性质的综合应用。解题时，先利用平角定义和折叠性质，推导 MPN与的关系；再结合ADBC的平行线性质，通过同旁内角互补求出DMP，进而利用折叠性质得到 DMN的表达式；最后通过平行线的内错角相等和角的和差关系，推导MN的度数。整个过程需紧扣折叠前后角相等、平行线同旁内角互补/内错角相等的性质，逐步转化角的关系。
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，正方形边长为 1 ，初始点 P 坐标为 (0，1) 。根据翻转规律，点 P 的坐标依次为：，，，，，，，…，可见每 4 次翻转为一个循环。计算 2025 4 = 506 .....1 ，
在次循环后位置与对应，
由，，…可知，其横坐标即为翻转次数，
的横坐标为：，
则坐标为：，
故答案为：．
【分析】本题考查规律探索与坐标计算，核心是通过分析点 P 的翻转轨迹，找出循环周期和坐标规律。解题时，先根据图形和翻转规则，列出前几个点 P 的坐标，观察发现每 4 次翻转为一个循环，且循环内点的坐标存在特定规律。然后通过除法运算确定 2025 次翻转对应的循环位置，结合循环内点的坐标规律，推导出的横纵坐标。关键在于准确识别循环周期，并利用周期规律简化计算。
17．【答案】解：
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，核心是依据实数运算法则逐步化简。需先分别计算平方根、立方根、乘方及绝对值|-2|，再按“先乘除、后加减”的顺序依次运算，最后合并同类项得到结果。关键在于准确掌握各类实数运算的定义与符号规则，确保每一步化简的准确性。
18．【答案】解：，①×4-②得：，
将代入①得：，解得：．
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的求解方法。通过观察方程组中x项系数的倍数关系，可利用加减消元法消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x。掌握加减消元法的操作步骤是解题的关键。
19．【答案】解：依题意可列不等式，
解这个不等式得x≤4，
所以x的正整数值为1，2，3，4.
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的应用。关键是根据“不小于”的数量关系正确列出不等式，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1的步骤求解，最后结合x为正整数的条件，确定其取值范围内的所有正整数解。准确求解不等式并筛选正整数解是核心。
20．【答案】证明：（已知）
且（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知）
（两直线平行，内错角相等），
．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用。解题思路是先利用对顶角相等和已知条件∠ 1=∠ 2，通过等量代换得到∠ BFD=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定CBDE，再结合AB CD，利用“两直线平行，内错角相等”得到 B= C，最后通过等量代换和“两直线平行，同旁内角互补”完成证明。关键是准确运用平行线的判定定理和性质定理，理清角之间的转化关系。
21．【答案】（1）解：如图，△为所作，、两点的坐标分别为，；
（2）解：的面积；
（3）解：设点的坐标为，
的面积与相同，
，
解得或，
点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】首先根据点和点的坐标得到平移的方向与距离，然后再求出A，B平移之后的点A'，B'的坐标，描点，顺次连接O'，A'，B'，即可得出；
（2）根据面积割补发，从一个矩形的面积中减去三个直角三角形的面积，即可得到的面积；
（3）因为点Q在x轴上，可设点的坐标为，由（2）知的面积为4，然后利用三角形面积公式得到，再解方程即可得到的值，从而得到点的坐标．
（1）解：如图，△为所作，、两点的坐标分别为，；
（2）解：的面积；
（3）解：设点的坐标为，
的面积与相同，
，
解得或，
点的坐标为或．
22．【答案】解：，
，
平分，
，
，
．
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及平角的应用。由 ABCD 得同旁内角互补，即 ∠BCE = 180- B = 110；根据角平分线定义得 MCE =BCE = 55；最后利用平角 180 列式 DCN = 180 -MCE - MCN = 35
23．【答案】（1）解；设共去了x名老师，y名学生，
由题意得，
解得，
答：共去了3名老师，20名学生；
（2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元），
若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元）；
若两个班合起来全部购买团体票，共需门票费元，
因为，
所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；有理数乘法的实际应用；分类讨论
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与有理数运算的实际应用，核心在于准确理解题意并建立数学模型。（1）设老师人数为x，学生人数为y，根据“总人数23人”和“总票价3120元”两个等量关系，列出二元一次方程组求解，即可确定师生人数。
（2）需对比三种购票方案的费用：①原师生与新增师生分别购票；②所有师生统一购买团体票；③部分师生与学生组合购买团体票，其余学生购学生票。分别计算各方案总费用，通过比较大小确定最省钱方案。关键在于合理规划团体票的使用范围，以实现费用最小化。
（1）解；设共去了x名老师，y名学生，
由题意得，
解得，
答：共去了3名老师，20名学生；
（2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元），
若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元）；
若两个班合起来全部购买团体票，共需门票费元，
因为，
所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱．
24．【答案】（1）答：点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下：∵时，；
时，；
时；
∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，得，又∵，解得，
∵为非负整数，
，
，
；
答：的平方根为；
（3）解：根据题意，得，解得，
∵是整数，
或，
∵是整数，
或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）根据“理想点”的概念把各点坐标分别代入指定方程检验即可；
（2）根据题意先联立关于和的二元一次方程组，再利用和的取值范围分别求出和的值，则的值可求，其平方根亦可求；
（3）先把看作常数解关于和二元一次方程组，得出，再根据“理想点”的坐标特征及的取值范围分别求出和的值即可.
25．【答案】（1）证明：在中，，，，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图3，过点作，则
分别平分和
；
答：的度数为；
（3）解：如图， 过点作，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
旋转时间为；
②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作，
，
，
，
旋转时间为；
③当时，如图，过点E作，延长交于点K，
则，
，
这时在上停止运动，
旋转时间为；
④时，如图，延长交于，
，
，
，
，
旋转时间为；
⑤时，如图，延长交于，
，
，
，
旋转时间为；
答：当运动或或或或时，的一边与的一边平行
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】
（1）由两直线平行同旁内角互补知，与互补，则这两个角的一半互余；由角平分线的概念知，等于的一半，又由直角三角形两况角互余知，与互余；显然可得等于的一半，结论得证；
（2）如图， 求的度数，可先求出和的度数，由于已知是30度，则由邻补角的概念可求出的度数，此时可过点作，利用平行线性质可把已知转化到上从而可求出的度数；再由平行公理可知，再由平行线的性质定理求出的度数，再由角平分线的概念可分别求出和的度数即可；
（3）如图， 过点作，利用平行线性质即可求得；下来可分五种情况讨论：①当时，同时， ②当时， ③当时，④时，⑤时，分别求出旋转角度求解即可．
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