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湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下列线段长为边，不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．1，1， C．，， D．1，，
2．如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
3．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．2或4
4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（　　）
A． B．5 C．10 D．15
8．，，是的三边长，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，正五边形的对角线，相交于点O，则　 　度．
12．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为　 　．
13．若正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为　 　．
14．如图，D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝　 　．
15．菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm，则菱形的面积为　 　cm2.
16．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　 　．
17．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为　 　．
18．如图，已知的周长为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为　 　．
三、解答题（共8小题,66分）
19．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
20．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．
（1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出；
（2）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出．
21．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：．
22．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
23．如图，E是正方形的对角线上一点，连接，．求证：．
24．如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
25．如图，过的顶点C作，E是的中点，连接并延长，交线段于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的长．
26．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
（1） ．
（2）斜边上的高线长为 ．
（3）①当在边上时，的长为 ，（用含的代数式表示）的取值范围是 ．
②若点在的角平分线上，则的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+ 122= 25 + 144 = 169 = 132，满足条件，能构成直角三角形；
B、12+ 12 = 1 + 1 = 2 =，满足条件，能构成直角三角形；
C、(32)2+ (42)2 = 81 + 256 = 337，而(52)2 = 625，337 625，不满足条件，不能构成直角三角形；
D、12+ = 1 +==，满足条件，能构成直角三角形。
故选：C。
【分析】本题考查勾股定理的逆定理。判定三角形是否为直角三角形，关键在于验证三边长度是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”这一关系。需对每个选项中的三组数据分别计算验证，找出唯一不满足该条件的选项.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=80°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与角的和差计算。由 AB CD 得同位角相等，即DNM = EMB = 80。三角尺含有 45° 角，即PND = 45。由图可知 PNM = DNM - PND，代入计算即可求解。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：设 A = x， C = 3x。当C = 90时，3x = 90，解得x = 30，则 A = 30， B = 90 - 30 = 60，所以 A： B = 30：60 = 1：2，即m = 2。
当 B = 90时，A + C = 90，即x + 3x = 90，解得x = 22.5，则 A = 22.5， A： B = 22.5：90 = 1：4，即m = 4。
综上，m的值是2或4。
故选：D．
【分析】本题可根据直角三角形的性质，分情况讨论哪个角是直角，进而求出m的值。
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别。轴对称图形需存在一条直线使图形沿该直线折叠后两边完全重合；中心对称图形需存在一个点使图形绕该点旋转180°后与原图形重合。逐项判断各图形是否同时满足上述两个条件，即可选出正确选项。
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作，交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理。先利用平行四边形的性质和角平分线的定义，证明△ CDE为等腰三角形，得出CE = CD = 8；再通过作高构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出CF的长度，结合勾股定理求出DF和DE的长度；最后将三边长度相加，得出△ CDE的周长。
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等、邻角互补。由平行四边形对角相等得 A = C，结合 A + C = 260 得 A = 130。再根据邻角互补，B = 180 - A = 50。
7．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是斜边上的中线，
∴，
故选：C
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，，且，
根据非负数和为0的性质，可得：，。
由，得，即；
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠A = 90°。
由，得b = c；根据等腰三角形的判定，△ ABC是等腰三角形。
综上，△ ABC是等腰直角三角形。
故选：D
【分析】本题考查非负数性质、勾股定理逆定理、等腰三角形判定。根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，分别推出a、b、c的关系，再结合三角形判定定理判断形状。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：是绕点O顺时针旋转180°所得，
由旋转可知，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故选：．
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理以及菱形的判定。解题的关键在于利用旋转180°的性质得出对角线互相平分，从而判定四边形为平行四边形，再结合三角形内角和求出对角线互相垂直，进而判定为菱形。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理。首先利用平行四边形的性质和垂直的定义，结合四边形内角和求出∠D的度数，进而推出∠ C的度数，判断出△BEC为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出BC的长度，结合平行四边形对边相等的性质得到AD的长度，最后根据AF = AD - DF求出AF的长度。
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正五边形的内角计算、等腰三角形的性质及三角形外角定理。由正五边形内角和公式得每个内角均为 108。在等腰 ABE 和 ADE 中，分别求出底角 AEB = 36、 AED = 36，进而得 BED = 72。根据三角形外角性质， BOD = EDA + BED = 36 + 72 = 108。
12．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与勾股定理。连接 EC，由作图知 MN 垂直平分 BC，则 EB = EC = 4，结合 B = 45 可得 BEC 为等腰直角三角形，从而 CEA = 90，在 RtAEC 中利用勾股定理求出 AE = 3，进而得 AB = AE + EB = 7。
13．【答案】24
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为165°，则其外角为180° - 165° = 15°。
根据多边形外角和为360°，边数 n 可由公式 n = 计算。
代入得： n == 24 。
因此，该正多边形的边数为24。
故答案为：24．
【分析】本题考查正多边形内角与外角的关系及多边形外角和定理。解题关键是利用“正多边形的一个内角与它相邻的外角互补”求出外角度数，再结合“任意多边形的外角和都为360°”，通过“边数=外角和一个外角的度数”求解。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为D、E分别是AB、AC的中点，
所以DE是△ ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得DEBC。
因为DE BC，∠ B = 60°，根据“两直线平行，同位角相等”，
所以∠ ADE=∠B = 60°。
故答案为：．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和平行线的性质。解题的关键在于先根据中点条件判定出DE为△ ABC的中位线，从而得出DE与BC平行，再利用平行线的同位角相等的性质，结合已知的∠ B的度数，求出∠ADE的度数。
15．【答案】120
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm，
∴菱形的面积为：=120cm2，
故答案为：120.
【分析】利用菱形的面积等于菱形对角线积的一半列式计算即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
是的角平分线，，
，
的面积是，，，
，
即，
，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积公式。解题的关键是利用角平分线的性质，通过作辅助线DF BC，得出DE = DF，再根据三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形CBD的面积之和，结合三角形面积公式列出关于DE的方程，进而求解DE的长度。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：过点D作于点M，如图所示：
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为a，
则，
根据拼图可知：，
，
，
，
，
∴所拼成的正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得DM=AB=12，AD=BM，结合图形，由已知得出MC=BC-AD=5，在Rt△DMC中，由勾股定理得DC的长，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长．
18．【答案】
【知识点】幂的乘方运算；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接三边中点构成第二个三角形，∴第个三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
∴第个三角形的周长为；
∴第个三角形周长为，
以此类推：第个三角形周长为；
……，
∴第个三角形的周长为．
故答案为：
【分析】本题的核心在于理解并应用三角形中位线定理。该定理指出，连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，且长度等于第三边的一半。因此，通过连接任意三角形三边中点所构成的新三角形，其三条边的长度都分别是原三角形三条边长度的一半。这意味着新三角形的周长也恰好是原三角形周长的一半。
19．【答案】解：设每个内角度数为 度，则与它相邻的外角度数为 ，
根据题意可得 ，
解得 ．
所以每个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ．
答：这个多边形的边数为9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大 ，构造方程求出外角度数，最后利用外角和 可求边数．
20．【答案】（1）解：且点B与点O重合，
向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，
，
，，
连接、、得即为所求；
（2）解：将绕B点顺时针旋转得到如图即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【分析】（1）由 平移使得点B与点O重合， 可知点B右平移五个单位长度，纵坐标不变，横坐标加5，再向下平移两个单位长度， 横坐标不变，纵坐标减2，确定点，的坐标，描点连线；
（2）利用旋转绕B点顺时针旋转分别作出点A，C对应点，描点连线；
21．【答案】证明：于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质。先由垂直条件得出∠ A =∠ C = 90°，再结合已知边相等，利用“SAS”证明△ ABE△ CDB，进而推出∠ ABE = ∠ CDB；最后结合直角三角形两锐角互余，推导∠EBD = 90°，从而证明EB BD。
22．【答案】解：连接，
∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及面积计算。解题核心在于利用“平行四边形面积等于底乘以高”这一性质，通过连接对角线DB，将平行四边形面积转化为两个三角形面积之和，进而推导出AB DE = BCDF。结合周长条件AB + BC = 18cm，设未知数建立方程求解AB，最终计算平行四边形的面积。
23．【答案】证明：∵四边形是正方形，是正方形的对角线，∴，，
在和中，
，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查正方形的性质与全等三角形的判定。解题关键在于利用正方形对角线平分一组对角的性质，得出∠ ABE =∠ CBE，再结合正方形邻边相等及公共边，依据“SAS”判定
24．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可求出AB的长，利用菱形的性质可求出CF的长；再利用勾股定理求出BF的长，根据AF=AB-BF，代入计算求出AF的长.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵E是AC的中点∴AE＝CE
∵CD//AB∴∠AFE＝∠CDE
在△AEF和△CED中，
∴△AEF≌△CED∴AF＝CD
又∵CD//AB，即AF//CD
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）过C作CM⊥AB于M
则∠CMB＝∠CMA＝90°
∵CD//AB ∴∠B＋∠DCB＝180° ∴∠B＝180°﹣135°＝45° ∴∠BCM＝90°－45°＝45°
∴∠B＝∠BCM ∴BM＝CM
∵∠BAC＝60° ∴∠ACM＝30° ∴AC＝2AM ∴BM＝CM＝AM
∵AM＋BM＝AB ∴AM＋AM＝4 解得：AM＝2﹣2
∴AC＝2AM＝4﹣4
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以平行四边形与直角三角形为背景，综合考查全等三角形的判定（AAS）、平行四边形的判定（一组对边平行且相等）、平行线的性质、含 30°和 45° 角的直角三角形的边角关系以及勾股定理的应用。
（1）由 E 为 AC 中点得 AE = CE，结合 CDAB 得内错角相等，证 △AEF≌△CED 得 AF = CD，再由 AFCD 判定四边形 AFCD 为平行四边形；
（2）过 C 作 CMAB，利用 CDAB 及 DCB = 135求出 B = 45，得 BM = CM；在 Rt△ ACM 中由 BAC = 60 得 AC = 2AM、CM =AM，结合 AM + BM = AB = 4 列方程求解 AM，进而求 AC。
（1）证明：∵E是AC的中点
∴AE＝CE
∵CD//AB
∴∠AFE＝∠CDE
在△AEF和△CED中
，
∴△AEF≌△CED
∴AF＝CD
又∵CD//AB，即AF//CD
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）过C作CM⊥AB于M
则∠CMB＝∠CMA＝90°
∵CD//AB
∴∠B＋∠DCB＝180°
∴∠B＝180°﹣135°＝45°
∴∠BCM＝90°－45°＝45°
∴∠B＝∠BCM
∴BM＝CM
∵∠BAC＝60°
∴∠ACM＝30°
∴AC＝2AM
∴BM＝CM＝AM
∵AM＋BM＝AB
∴AM＋AM＝4
解得：AM＝2﹣2
∴AC＝2AM＝4﹣4．
26．【答案】（1）24
（2）
（3）①，；②
（4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示，
则，
；
当时，
过点作于点，如图4所示，
由题意，知，，
，，
，，
由勾股定理，得，
，
解得，
当点在上，且时，，
综上，的值为或或．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
故答案为：；
（3）解：①∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
，
t的取值满足，即，
故答案为：，；
②点在的角平分线上，过点作于，如图2所示，
平分，，，
∴，
又，
，
，则，
由题意，知，
，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴点在的角平分线上时，，
故答案为：；
【分析】本题综合考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质及面积法等核心知识点，灵活运用这些定理是解题的关键。（1）直接运用勾股定理建立等式求解线段长度即可；
（2）根据图形特征，利用等面积法（即利用不同底和高表示同一三角形的面积）列式求解即可；
（3）①根据线段长度关系，列出不等式组，求解即可确定t的取值范围；
②根据题意判定，再结合勾股定理建立方程求解得t =；
（4）当△ PAB是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论：当AB = AP = 7时；当点P在BC上，且BA = BP时，分别求解即可。
（1）解：∵在中，，，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
故答案为：；
（3）①∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
，
t的取值满足，即，
故答案为：，；
②点在的角平分线上，过点作于，如图2所示，
平分，，，
∴，
又，
，
，则，
由题意，知，
，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴点在的角平分线上时，，
故答案为：；
（4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示，
则，
；
当时，
过点作于点，如图4所示，
由题意，知，，
，，
，，
由勾股定理，得，
，
解得，
当点在上，且时，，
综上，的值为或或．
1 / 1湖南省永州市祁阳市浯溪第二中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下列线段长为边，不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．1，1， C．，， D．1，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52+ 122= 25 + 144 = 169 = 132，满足条件，能构成直角三角形；
B、12+ 12 = 1 + 1 = 2 =，满足条件，能构成直角三角形；
C、(32)2+ (42)2 = 81 + 256 = 337，而(52)2 = 625，337 625，不满足条件，不能构成直角三角形；
D、12+ = 1 +==，满足条件，能构成直角三角形。
故选：C。
【分析】本题考查勾股定理的逆定理。判定三角形是否为直角三角形，关键在于验证三边长度是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”这一关系。需对每个选项中的三组数据分别计算验证，找出唯一不满足该条件的选项.
2．如图，，直线分别交，于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（　　）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：∵AB∥CD，∴∠DNM=∠BME=80°，
∵∠PND=45°，
∴∠PNM=∠DNM-∠DNP=35°，
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与角的和差计算。由 AB CD 得同位角相等，即DNM = EMB = 80。三角尺含有 45° 角，即PND = 45。由图可知 PNM = DNM - PND，代入计算即可求解。
3．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，则m的值是（ ）
A．3 B．4 C．1或3 D．2或4
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】解：设 A = x， C = 3x。当C = 90时，3x = 90，解得x = 30，则 A = 30， B = 90 - 30 = 60，所以 A： B = 30：60 = 1：2，即m = 2。
当 B = 90时，A + C = 90，即x + 3x = 90，解得x = 22.5，则 A = 22.5， A： B = 22.5：90 = 1：4，即m = 4。
综上，m的值是2或4。
故选：D．
【分析】本题可根据直角三角形的性质，分情况讨论哪个角是直角，进而求出m的值。
4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别。轴对称图形需存在一条直线使图形沿该直线折叠后两边完全重合；中心对称图形需存在一个点使图形绕该点旋转180°后与原图形重合。逐项判断各图形是否同时满足上述两个条件，即可选出正确选项。
5．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作，交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理。先利用平行四边形的性质和角平分线的定义，证明△ CDE为等腰三角形，得出CE = CD = 8；再通过作高构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出CF的长度，结合勾股定理求出DF和DE的长度；最后将三边长度相加，得出△ CDE的周长。
6．在平行四边形中，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等、邻角互补。由平行四边形对角相等得 A = C，结合 A + C = 260 得 A = 130。再根据邻角互补，B = 180 - A = 50。
7．在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（　　）
A． B．5 C．10 D．15
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是斜边上的中线，
∴，
故选：C
【分析】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．，，是的三边长，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，，且，
根据非负数和为0的性质，可得：，。
由，得，即；
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠A = 90°。
由，得b = c；根据等腰三角形的判定，△ ABC是等腰三角形。
综上，△ ABC是等腰直角三角形。
故选：D
【分析】本题考查非负数性质、勾股定理逆定理、等腰三角形判定。根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，分别推出a、b、c的关系，再结合三角形判定定理判断形状。
9．中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（　　）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：是绕点O顺时针旋转180°所得，
由旋转可知，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故选：．
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理以及菱形的判定。解题的关键在于利用旋转180°的性质得出对角线互相平分，从而判定四边形为平行四边形，再结合三角形内角和求出对角线互相垂直，进而判定为菱形。
10．如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理。首先利用平行四边形的性质和垂直的定义，结合四边形内角和求出∠D的度数，进而推出∠ C的度数，判断出△BEC为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出BC的长度，结合平行四边形对边相等的性质得到AD的长度，最后根据AF = AD - DF求出AF的长度。
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．如图，正五边形的对角线，相交于点O，则　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正五边形的内角计算、等腰三角形的性质及三角形外角定理。由正五边形内角和公式得每个内角均为 108。在等腰 ABE 和 ADE 中，分别求出底角 AEB = 36、 AED = 36，进而得 BED = 72。根据三角形外角性质， BOD = EDA + BED = 36 + 72 = 108。
12．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与勾股定理。连接 EC，由作图知 MN 垂直平分 BC，则 EB = EC = 4，结合 B = 45 可得 BEC 为等腰直角三角形，从而 CEA = 90，在 RtAEC 中利用勾股定理求出 AE = 3，进而得 AB = AE + EB = 7。
13．若正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为　 　．
【答案】24
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为165°，则其外角为180° - 165° = 15°。
根据多边形外角和为360°，边数 n 可由公式 n = 计算。
代入得： n == 24 。
因此，该正多边形的边数为24。
故答案为：24．
【分析】本题考查正多边形内角与外角的关系及多边形外角和定理。解题关键是利用“正多边形的一个内角与它相邻的外角互补”求出外角度数，再结合“任意多边形的外角和都为360°”，通过“边数=外角和一个外角的度数”求解。
14．如图，D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为D、E分别是AB、AC的中点，
所以DE是△ ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得DEBC。
因为DE BC，∠ B = 60°，根据“两直线平行，同位角相等”，
所以∠ ADE=∠B = 60°。
故答案为：．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和平行线的性质。解题的关键在于先根据中点条件判定出DE为△ ABC的中位线，从而得出DE与BC平行，再利用平行线的同位角相等的性质，结合已知的∠ B的度数，求出∠ADE的度数。
15．菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm，则菱形的面积为　 　cm2.
【答案】120
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm，
∴菱形的面积为：=120cm2，
故答案为：120.
【分析】利用菱形的面积等于菱形对角线积的一半列式计算即可.
16．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
是的角平分线，，
，
的面积是，，，
，
即，
，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质和三角形面积公式。解题的关键是利用角平分线的性质，通过作辅助线DF BC，得出DE = DF，再根据三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形CBD的面积之和，结合三角形面积公式列出关于DE的方程，进而求解DE的长度。
17．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：过点D作于点M，如图所示：
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为a，
则，
根据拼图可知：，
，
，
，
，
∴所拼成的正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得DM=AB=12，AD=BM，结合图形，由已知得出MC=BC-AD=5，在Rt△DMC中，由勾股定理得DC的长，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长．
18．如图，已知的周长为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算；三角形的中位线定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接三边中点构成第二个三角形，∴第个三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
∴第个三角形的周长为；
∴第个三角形周长为，
以此类推：第个三角形周长为；
……，
∴第个三角形的周长为．
故答案为：
【分析】本题的核心在于理解并应用三角形中位线定理。该定理指出，连接三角形两边中点的线段（中位线）平行于第三边，且长度等于第三边的一半。因此，通过连接任意三角形三边中点所构成的新三角形，其三条边的长度都分别是原三角形三条边长度的一半。这意味着新三角形的周长也恰好是原三角形周长的一半。
三、解答题（共8小题,66分）
19．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大 ，求这个多边形的边数．
【答案】解：设每个内角度数为 度，则与它相邻的外角度数为 ，
根据题意可得 ，
解得 ．
所以每个外角为 ，
所以这个多边形的边数为 ．
答：这个多边形的边数为9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大 ，构造方程求出外角度数，最后利用外角和 可求边数．
20．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．
（1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出；
（2）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出．
【答案】（1）解：且点B与点O重合，
向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，
，
，，
连接、、得即为所求；
（2）解：将绕B点顺时针旋转得到如图即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【分析】（1）由 平移使得点B与点O重合， 可知点B右平移五个单位长度，纵坐标不变，横坐标加5，再向下平移两个单位长度， 横坐标不变，纵坐标减2，确定点，的坐标，描点连线；
（2）利用旋转绕B点顺时针旋转分别作出点A，C对应点，描点连线；
21．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：．
【答案】证明：于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质。先由垂直条件得出∠ A =∠ C = 90°，再结合已知边相等，利用“SAS”证明△ ABE△ CDB，进而推出∠ ABE = ∠ CDB；最后结合直角三角形两锐角互余，推导∠EBD = 90°，从而证明EB BD。
22．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
【答案】解：连接，
∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及面积计算。解题核心在于利用“平行四边形面积等于底乘以高”这一性质，通过连接对角线DB，将平行四边形面积转化为两个三角形面积之和，进而推导出AB DE = BCDF。结合周长条件AB + BC = 18cm，设未知数建立方程求解AB，最终计算平行四边形的面积。
23．如图，E是正方形的对角线上一点，连接，．求证：．
【答案】证明：∵四边形是正方形，是正方形的对角线，∴，，
在和中，
，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查正方形的性质与全等三角形的判定。解题关键在于利用正方形对角线平分一组对角的性质，得出∠ ABE =∠ CBE，再结合正方形邻边相等及公共边，依据“SAS”判定
24．如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可求出AB的长，利用菱形的性质可求出CF的长；再利用勾股定理求出BF的长，根据AF=AB-BF，代入计算求出AF的长.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在，，，，
由勾股定理得，
∴．
25．如图，过的顶点C作，E是的中点，连接并延长，交线段于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵E是AC的中点∴AE＝CE
∵CD//AB∴∠AFE＝∠CDE
在△AEF和△CED中，
∴△AEF≌△CED∴AF＝CD
又∵CD//AB，即AF//CD
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）过C作CM⊥AB于M
则∠CMB＝∠CMA＝90°
∵CD//AB ∴∠B＋∠DCB＝180° ∴∠B＝180°﹣135°＝45° ∴∠BCM＝90°－45°＝45°
∴∠B＝∠BCM ∴BM＝CM
∵∠BAC＝60° ∴∠ACM＝30° ∴AC＝2AM ∴BM＝CM＝AM
∵AM＋BM＝AB ∴AM＋AM＝4 解得：AM＝2﹣2
∴AC＝2AM＝4﹣4
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以平行四边形与直角三角形为背景，综合考查全等三角形的判定（AAS）、平行四边形的判定（一组对边平行且相等）、平行线的性质、含 30°和 45° 角的直角三角形的边角关系以及勾股定理的应用。
（1）由 E 为 AC 中点得 AE = CE，结合 CDAB 得内错角相等，证 △AEF≌△CED 得 AF = CD，再由 AFCD 判定四边形 AFCD 为平行四边形；
（2）过 C 作 CMAB，利用 CDAB 及 DCB = 135求出 B = 45，得 BM = CM；在 Rt△ ACM 中由 BAC = 60 得 AC = 2AM、CM =AM，结合 AM + BM = AB = 4 列方程求解 AM，进而求 AC。
（1）证明：∵E是AC的中点
∴AE＝CE
∵CD//AB
∴∠AFE＝∠CDE
在△AEF和△CED中
，
∴△AEF≌△CED
∴AF＝CD
又∵CD//AB，即AF//CD
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）过C作CM⊥AB于M
则∠CMB＝∠CMA＝90°
∵CD//AB
∴∠B＋∠DCB＝180°
∴∠B＝180°﹣135°＝45°
∴∠BCM＝90°－45°＝45°
∴∠B＝∠BCM
∴BM＝CM
∵∠BAC＝60°
∴∠ACM＝30°
∴AC＝2AM
∴BM＝CM＝AM
∵AM＋BM＝AB
∴AM＋AM＝4
解得：AM＝2﹣2
∴AC＝2AM＝4﹣4．
26．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
（1） ．
（2）斜边上的高线长为 ．
（3）①当在边上时，的长为 ，（用含的代数式表示）的取值范围是 ．
②若点在的角平分线上，则的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值．
【答案】（1）24
（2）
（3）①，；②
（4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示，
则，
；
当时，
过点作于点，如图4所示，
由题意，知，，
，，
，，
由勾股定理，得，
，
解得，
当点在上，且时，，
综上，的值为或或．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
故答案为：；
（3）解：①∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
，
t的取值满足，即，
故答案为：，；
②点在的角平分线上，过点作于，如图2所示，
平分，，，
∴，
又，
，
，则，
由题意，知，
，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴点在的角平分线上时，，
故答案为：；
【分析】本题综合考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质及面积法等核心知识点，灵活运用这些定理是解题的关键。（1）直接运用勾股定理建立等式求解线段长度即可；
（2）根据图形特征，利用等面积法（即利用不同底和高表示同一三角形的面积）列式求解即可；
（3）①根据线段长度关系，列出不等式组，求解即可确定t的取值范围；
②根据题意判定，再结合勾股定理建立方程求解得t =；
（4）当△ PAB是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论：当AB = AP = 7时；当点P在BC上，且BA = BP时，分别求解即可。
（1）解：∵在中，，，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1所示，过点作于点，
，
，
故答案为：；
（3）①∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
，
t的取值满足，即，
故答案为：，；
②点在的角平分线上，过点作于，如图2所示，
平分，，，
∴，
又，
，
，则，
由题意，知，
，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴点在的角平分线上时，，
故答案为：；
（4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示，
则，
；
当时，
过点作于点，如图4所示，
由题意，知，，
，，
，，
由勾股定理，得，
，
解得，
当点在上，且时，，
综上，的值为或或．
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