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四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数、、0、、、3.14、0.171171117…中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．平面直角坐标系内，下列的点在第三象限的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠2=40°，则∠1的度数为
A．40° B．35° C．50° D．45°
5．已知是关于，的二元一次方程，则的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．1
6．下列命题中，是真命题的个数有（　　）
（1）不相交的两条直线是平行线
（2）和一条已知直线平行的直线有且只有一条
（3）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行
A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个
7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到……，按这样的运动规律，经过2023次运动后，蚂蚁所处的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的方框内．
9．25的平方根是　 　 .
10．平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为　 　．
11．若x，y都是实数，且 ，则x+3y的立方根为　 　．
12．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，　 　．
13．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数　 　．
14．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为　 　．
三、解答题：（本大题共10个小题，共78分）．
15．计算：．
16．解下列方程组．
17．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出；
（2）求出的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标为，直线轴；
（2）点P到y轴的距离为4．
19．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
20． 已知方程组和方程组的解相同，求的值．
21．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表：
　 A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一次 12 8 360
第二次 5 4 160
（1）请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
（2）请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案．
22．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：
解：①②得，，所以，
将③，得，
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是
（1）请采用上面的方法解方程组．
（2）直接写出关于x、y的方程组的解．
23．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
　 1 x
x
1 1
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值．
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
24．如图①所示，已知直线，直线交、于点、，与的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）如图②所示，点是反向延长线上一动点，当平分时，试说明与间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若点仍是反向延长线上一动点，当点运动至时，请直接写出与存在的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的分类；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：在实数、、0、、、3.14、0.171711117...... 中，无理数的个数为 3，
故选： B。
【分析】先化简=4，从而明确各数的属性。有理数包括整数、分数及有限小数或无限循环小数，这里、、0、3.14 均符合；无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的数， 是含的数，0.171711117......呈现不循环规律，这三个均为无理数。由此可得无理数的个数。
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是 (-2， -3)，
故选 ：B。
【分析】根据象限内点的坐标符号特征，第三象限的点横坐标与纵坐标均为负数。逐一判断各选项：A 项横负纵正，在第二象限；B 项横纵皆为负，符合第三象限条件；C 项横正纵负，在第四象限；D 项横为零纵正，位于 y 轴正半轴，不属于任何象限。由此确定正确选项。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故该选项符合题意；
B、根号下是负数无意义，故该选项不符合题意；
C、无法化简，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：A
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根的概念及二次根式的性质。算术平方根的结果为非负数，立方根保持原数符号。根据这些基本性质，逐项判断各等式的正确性即可。
4．【答案】C
【知识点】余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵a∥b，
∴∠3=∠2=40°，
∴∠1=180°-40°-90°=50°．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与余角计算。由三角板直角顶点在直线 b 上可知 1 与2 的同位角互余，结合两直线平行得同位角相等，从而求出1 的度数。
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：若方程 = 3 为关于 x， y 的二元一次方程，则 a 的值为 -2，
故选： B。
【分析】依据二元一次方程的定义，方程需同时满足两个条件：含未知数的项的次数均为 1，且两个未知数的系数均不为零。由此得到 |a|-1 = 1 且 2-a0。解方程 |a|=2 得 a = 2，再结合系数非零条件 a 2，最终确定 a = -2。
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；平行线的定义与现象；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：命题（1）缺少“在同一平面内”的前提；
命题（2）遗漏“经过直线外一点”的条件；
命题（3）混淆了“垂线段”与“垂线段的长度”；
命题（4）缺少“在同一平面内”的条件。
四个命题均为假命题，真命题的个数为 0，
故选 ：A。
【分析】本题主要考查平行线的定义、平行公理、点到直线的距离概念以及平行线的判定。根据相关定义和定理逐一判断即可。
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】观察运动轨迹，第 n 次运动后位置的横坐标为 2n；纵坐标按 2， 6， 0 的规律循环，每个循环包含 3 次运动。由 2023 3 = 674......1，可知余数为 1，对应循环中的第一个纵坐标 2，因此第 2023 次运动后的纵坐标为 2，横坐标为 2 2023 = 4046，∴蚂蚁所在位置的坐标为 (4046， 2)。
故选：D。
【分析】此题主要考查了点的坐标规律，根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可。
9．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
10．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上
∴
解得：
故答案为：-3
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得，再求出m的值即可。
11．【答案】3
【知识点】立方根及开立方；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x=3，
y=8，
x+3y=3+3×8=27，
∵33=27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 2x + 3y = 1，将 x 视为已知数，
移项得 3y = 1 - 2x，
两边同时除以 3，即可用含 x 的代数式表示 y，结果为 y =。
故答案为：
【分析】本题考查二元一次方程的变形，通过移项、系数化为 1 将 y 用含 x 的式子表示，实质是将方程看作关于 y 的一元一次方程求解。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：由 ADBC 可得 DEG =EGH =，AFH = GHF =。
根据折叠的性质， DEG = GEM =， AFH =MFH =。
在四边形 EFHG 中， FEM +EFM = 360 - (GEM + EGH +GHF + MFH)，即
FEM +EFM = 360 - (2 + 2) = 360 - 2( +).
代入+ = 117，得FEM + EFM = 360 - 234 = 126。
在 EFM 中， EMH = 180 - ( FEM + EFM) = 180- 126 = 54。
故答案为：．
【分析】本题以平行线中的折叠为背景，综合考查平行线的性质（内错角相等）、折叠变换中对应角相等的性质以及四边形内角和与三角形内角和定理。由 AD BC 得DEG = EGH =， AFH = GHF =；根据折叠得GEM =， MFH =；在四边形 EFHG 中，利用内角和为 360° 求出FEM + EFM，再在 △EFM 中由三角形内角和为 180°求得 EMH。
14．【答案】12或48或84
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设旋转时间为t秒后，，
如图1，
∴，
，
解得：．
如图2，
由图得：
解得：
如图3，
∴
解得：
如图4，
∴
解得：(舍去）
综上所述：12或48或84
故答案为：12或48或84．
【分析】本题考查平行线的性质与角的旋转动态问题，需分类讨论两光线垂直时对应角之间的等量关系。设旋转时间为 t 秒，分别考虑两光线旋转后形成的角度。当 PAQB 时，可转化为 PA 与 QB 的夹角为 90，利用平行线性质（同位角相等或同旁内角互补）建立方程。根据旋转过程中角度的变化情况，分三种情形讨论：两光线同侧旋转、交叉后继续旋转等，分别列方程解得 t = 12 或 48 或 84。
15．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及乘方的符号处理、绝对值的化简、立方根与算术平方根的计算。先计算 -32 = -9（注意负号在平方外），|1-2| = 1， = 2，== 2；再按照从左到右的顺序进行加减运算，注意符号的准确性。
16．【答案】解：，得：，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，采用加减消元法求解。通过将两个方程适当变形，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，最后代入求另一未知数的值。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）存在，点P的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：设中边上的高为h，
则，解得，，
点B和点C的纵坐标为，
，，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题主要考查图形的平移变换、三角形面积的计算以及同底等高面积相等问题的处理。
（1）根据平移变换的规律，将 ABC 的各顶点分别向上平移 3 个单位、再向右平移 2 个单位得到对应点，然后顺次连接即可得到 A'B'C'。
（2）观察 ABC 在网格中的位置，以水平线段为底边，对应竖直方向上的长度为高，代入三角形面积公式计算即可。
（3）要使 BCP 与ABC 面积相等，由于 BC 为公共底边，则点 P 到 BC 所在直线的距离应等于点 A 到 BC 的距离。根据点 B、C 的纵坐标，分别向上和向下平移该距离即可得到点 P 的两个坐标
18．【答案】（1）解：∵点，点Q的坐标为，直线轴，∴
解得，，
则点P的横坐标为：，
即点；
（2）解：∵点P到y轴的距离为4，∴
或
解得，或，
当时，，
当时，，
即点P的坐标为（4，-4）或（-4，-20）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及平行于坐标轴的直线及点到坐标轴的距离。
（1）由 PQx 轴可知点 P 与点 Q 的纵坐标相等，即 2a - 8 = -2，解得 a = 3，代入横坐标得 a + 2 = 5，故 P(5， -2)。
（2）点 P 到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值，即 |a + 2| = 4，解得 a = 2 或 a = -6，分别代入纵坐标计算可得 P(4， -4) 或 P(-4， -20)。
19．【答案】（1）证明：如图，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形内角和定理），，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义及三角形内角和定理的综合应用。
（1）由 ADBC 得内错角 1 = 3，结合已知 1 =2 等量代换得 3 = 2，再由同位角相等即可证 EF BD。
（2）根据 ADBC 及 A = 130 得同旁内角互补，求出 ABC = 50；由角平分线得 3 = 25，结合 EF BD 得 2 = 3 = 25；最后在 CFE 中利用三角形内角和定理求出 CFE = 85。
20．【答案】解：∵方程组与方程组的解相同，
∴，
解得，
将代入得：
，解得，
∴
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】先根据两个二元一次方程组的解相同得到，进而解方程组即可得到，再代回方程组即可求出a和b，从而根据有理数的乘方即可求解。
21．【答案】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题为二元一次方程组的实际应用问题。
（1）根据两次运输记录列出方程组，通过消元法求出A、B两种货车的单次运载量；
（2）在总量固定的条件下，建立关于车辆数的二元一次方程，利用整数解的特性，通过枚举正整数解得到所有可行的运输方案，体现了方程思想与整数规划的初步应用。
（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则，
∴，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
22．【答案】（1）解：①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，通过观察方程组中对应未知数系数的差值特征，利用整体加减消元简化运算。
（1）观察方程组中两方程对应项系数均相差4，将两式相减可得 4x + 4y = 4，即 x + y = 1。利用此关系代入原方程即可快速求解。
（2）同理，将两个方程相减得 6x + 6y = 6，即 x + y = 1，再结合原方程消元求解，所得解与参数 a 无关。
23．【答案】（1）解：∵，即，∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题以阅读材料为背景，综合考查无理数的整数部分与小数部分的估算，以及借助几何图形逼近无理数近似值的方法。
（1）通过平方数范围确定无理数所在区间，进而分离出整数部分与小数部分；
（2）利用正方形面积与边长的关系，构造几何模型，通过舍去小数部分的平方项建立方程，得到无理数的近似值，体现了数形结合与逼近思想。
（1）解：∵，即，
∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，
∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
24．【答案】（1）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：，
理由：平分，
，
，
，
，
，
即；
（3）．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（3）解：，
理由：，
，
，
，
，
，
即．
【分析】本题以平行线与角平分线为背景，综合考查几何推理能力。
（1）利用平行线同旁内角互补及角平分线定义，结合三角形内角和定理证得垂直关系；
（2）引入动点后，借助角平分线、直角三角形两锐角互余及邻补角关系，通过代数变形得到P 与 DFG 的数量关系；
（3）在条件变化下，类比第（2）问的推理路径，利用给定的倍数关系替换角度，最终导出新的数量关系，体现了从特殊到一般、从静态到动态的几何探究思想。
（1）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：，
理由：平分，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：，
理由：，
，
，
，
，
，
即．
1 / 1四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数、、0、、、3.14、0.171171117…中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；有理数的分类；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：在实数、、0、、、3.14、0.171711117...... 中，无理数的个数为 3，
故选： B。
【分析】先化简=4，从而明确各数的属性。有理数包括整数、分数及有限小数或无限循环小数，这里、、0、3.14 均符合；无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的数， 是含的数，0.171711117......呈现不循环规律，这三个均为无理数。由此可得无理数的个数。
2．平面直角坐标系内，下列的点在第三象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是 (-2， -3)，
故选 ：B。
【分析】根据象限内点的坐标符号特征，第三象限的点横坐标与纵坐标均为负数。逐一判断各选项：A 项横负纵正，在第二象限；B 项横纵皆为负，符合第三象限条件；C 项横正纵负，在第四象限；D 项横为零纵正，位于 y 轴正半轴，不属于任何象限。由此确定正确选项。
3．下列等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故该选项符合题意；
B、根号下是负数无意义，故该选项不符合题意；
C、无法化简，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：A
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根的概念及二次根式的性质。算术平方根的结果为非负数，立方根保持原数符号。根据这些基本性质，逐项判断各等式的正确性即可。
4．如图，已知a∥b，小明把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠2=40°，则∠1的度数为
A．40° B．35° C．50° D．45°
【答案】C
【知识点】余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵a∥b，
∴∠3=∠2=40°，
∴∠1=180°-40°-90°=50°．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与余角计算。由三角板直角顶点在直线 b 上可知 1 与2 的同位角互余，结合两直线平行得同位角相等，从而求出1 的度数。
5．已知是关于，的二元一次方程，则的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．1
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：若方程 = 3 为关于 x， y 的二元一次方程，则 a 的值为 -2，
故选： B。
【分析】依据二元一次方程的定义，方程需同时满足两个条件：含未知数的项的次数均为 1，且两个未知数的系数均不为零。由此得到 |a|-1 = 1 且 2-a0。解方程 |a|=2 得 a = 2，再结合系数非零条件 a 2，最终确定 a = -2。
6．下列命题中，是真命题的个数有（　　）
（1）不相交的两条直线是平行线
（2）和一条已知直线平行的直线有且只有一条
（3）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行
A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；平行线的定义与现象；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：命题（1）缺少“在同一平面内”的前提；
命题（2）遗漏“经过直线外一点”的条件；
命题（3）混淆了“垂线段”与“垂线段的长度”；
命题（4）缺少“在同一平面内”的条件。
四个命题均为假命题，真命题的个数为 0，
故选 ：A。
【分析】本题主要考查平行线的定义、平行公理、点到直线的距离概念以及平行线的判定。根据相关定义和定理逐一判断即可。
7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
8．如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到……，按这样的运动规律，经过2023次运动后，蚂蚁所处的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】观察运动轨迹，第 n 次运动后位置的横坐标为 2n；纵坐标按 2， 6， 0 的规律循环，每个循环包含 3 次运动。由 2023 3 = 674......1，可知余数为 1，对应循环中的第一个纵坐标 2，因此第 2023 次运动后的纵坐标为 2，横坐标为 2 2023 = 4046，∴蚂蚁所在位置的坐标为 (4046， 2)。
故选：D。
【分析】此题主要考查了点的坐标规律，根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可。
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的方框内．
9．25的平方根是　 　 .
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
10．平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上
∴
解得：
故答案为：-3
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得，再求出m的值即可。
11．若x，y都是实数，且 ，则x+3y的立方根为　 　．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x=3，
y=8，
x+3y=3+3×8=27，
∵33=27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
12．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 2x + 3y = 1，将 x 视为已知数，
移项得 3y = 1 - 2x，
两边同时除以 3，即可用含 x 的代数式表示 y，结果为 y =。
故答案为：
【分析】本题考查二元一次方程的变形，通过移项、系数化为 1 将 y 用含 x 的式子表示，实质是将方程看作关于 y 的一元一次方程求解。
13．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：由 ADBC 可得 DEG =EGH =，AFH = GHF =。
根据折叠的性质， DEG = GEM =， AFH =MFH =。
在四边形 EFHG 中， FEM +EFM = 360 - (GEM + EGH +GHF + MFH)，即
FEM +EFM = 360 - (2 + 2) = 360 - 2( +).
代入+ = 117，得FEM + EFM = 360 - 234 = 126。
在 EFM 中， EMH = 180 - ( FEM + EFM) = 180- 126 = 54。
故答案为：．
【分析】本题以平行线中的折叠为背景，综合考查平行线的性质（内错角相等）、折叠变换中对应角相等的性质以及四边形内角和与三角形内角和定理。由 AD BC 得DEG = EGH =， AFH = GHF =；根据折叠得GEM =， MFH =；在四边形 EFHG 中，利用内角和为 360° 求出FEM + EFM，再在 △EFM 中由三角形内角和为 180°求得 EMH。
14．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为　 　．
【答案】12或48或84
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设旋转时间为t秒后，，
如图1，
∴，
，
解得：．
如图2，
由图得：
解得：
如图3，
∴
解得：
如图4，
∴
解得：(舍去）
综上所述：12或48或84
故答案为：12或48或84．
【分析】本题考查平行线的性质与角的旋转动态问题，需分类讨论两光线垂直时对应角之间的等量关系。设旋转时间为 t 秒，分别考虑两光线旋转后形成的角度。当 PAQB 时，可转化为 PA 与 QB 的夹角为 90，利用平行线性质（同位角相等或同旁内角互补）建立方程。根据旋转过程中角度的变化情况，分三种情形讨论：两光线同侧旋转、交叉后继续旋转等，分别列方程解得 t = 12 或 48 或 84。
三、解答题：（本大题共10个小题，共78分）．
15．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及乘方的符号处理、绝对值的化简、立方根与算术平方根的计算。先计算 -32 = -9（注意负号在平方外），|1-2| = 1， = 2，== 2；再按照从左到右的顺序进行加减运算，注意符号的准确性。
16．解下列方程组．
【答案】解：，得：，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，采用加减消元法求解。通过将两个方程适当变形，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，最后代入求另一未知数的值。
17．已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出；
（2）求出的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：；
（3）存在，点P的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：设中边上的高为h，
则，解得，，
点B和点C的纵坐标为，
，，
∴点P的坐标为或．
【分析】本题主要考查图形的平移变换、三角形面积的计算以及同底等高面积相等问题的处理。
（1）根据平移变换的规律，将 ABC 的各顶点分别向上平移 3 个单位、再向右平移 2 个单位得到对应点，然后顺次连接即可得到 A'B'C'。
（2）观察 ABC 在网格中的位置，以水平线段为底边，对应竖直方向上的长度为高，代入三角形面积公式计算即可。
（3）要使 BCP 与ABC 面积相等，由于 BC 为公共底边，则点 P 到 BC 所在直线的距离应等于点 A 到 BC 的距离。根据点 B、C 的纵坐标，分别向上和向下平移该距离即可得到点 P 的两个坐标
18．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标为，直线轴；
（2）点P到y轴的距离为4．
【答案】（1）解：∵点，点Q的坐标为，直线轴，∴
解得，，
则点P的横坐标为：，
即点；
（2）解：∵点P到y轴的距离为4，∴
或
解得，或，
当时，，
当时，，
即点P的坐标为（4，-4）或（-4，-20）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及平行于坐标轴的直线及点到坐标轴的距离。
（1）由 PQx 轴可知点 P 与点 Q 的纵坐标相等，即 2a - 8 = -2，解得 a = 3，代入横坐标得 a + 2 = 5，故 P(5， -2)。
（2）点 P 到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值，即 |a + 2| = 4，解得 a = 2 或 a = -6，分别代入纵坐标计算可得 P(4， -4) 或 P(-4， -20)。
19．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵（已知），∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形内角和定理），，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义及三角形内角和定理的综合应用。
（1）由 ADBC 得内错角 1 = 3，结合已知 1 =2 等量代换得 3 = 2，再由同位角相等即可证 EF BD。
（2）根据 ADBC 及 A = 130 得同旁内角互补，求出 ABC = 50；由角平分线得 3 = 25，结合 EF BD 得 2 = 3 = 25；最后在 CFE 中利用三角形内角和定理求出 CFE = 85。
20． 已知方程组和方程组的解相同，求的值．
【答案】解：∵方程组与方程组的解相同，
∴，
解得，
将代入得：
，解得，
∴
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】先根据两个二元一次方程组的解相同得到，进而解方程组即可得到，再代回方程组即可求出a和b，从而根据有理数的乘方即可求解。
21．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表：
　 A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一次 12 8 360
第二次 5 4 160
（1）请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
（2）请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案．
【答案】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题为二元一次方程组的实际应用问题。
（1）根据两次运输记录列出方程组，通过消元法求出A、B两种货车的单次运载量；
（2）在总量固定的条件下，建立关于车辆数的二元一次方程，利用整数解的特性，通过枚举正整数解得到所有可行的运输方案，体现了方程思想与整数规划的初步应用。
（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则，
∴，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
22．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：
解：①②得，，所以，
将③，得，
②④，得，由③，得，
所以方程组的解是
（1）请采用上面的方法解方程组．
（2）直接写出关于x、y的方程组的解．
【答案】（1）解：①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，①②，得，
∴，
将③，得，
②④，得，
解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，通过观察方程组中对应未知数系数的差值特征，利用整体加减消元简化运算。
（1）观察方程组中两方程对应项系数均相差4，将两式相减可得 4x + 4y = 4，即 x + y = 1。利用此关系代入原方程即可快速求解。
（2）同理，将两个方程相减得 6x + 6y = 6，即 x + y = 1，再结合原方程消元求解，所得解与参数 a 无关。
23．阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
　 1 x
x
1 1
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
（1）利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值．
（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1）解：∵，即，∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题以阅读材料为背景，综合考查无理数的整数部分与小数部分的估算，以及借助几何图形逼近无理数近似值的方法。
（1）通过平方数范围确定无理数所在区间，进而分离出整数部分与小数部分；
（2）利用正方形面积与边长的关系，构造几何模型，通过舍去小数部分的平方项建立方程，得到无理数的近似值，体现了数形结合与逼近思想。
（1）解：∵，即，
∴，，
∴的整数部分为5，的整数部分为2，即，
∴的小数部分为，即．
∴；
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是，，
∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，
∵，
∴，
∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即．
24．如图①所示，已知直线，直线交、于点、，与的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）如图②所示，点是反向延长线上一动点，当平分时，试说明与间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若点仍是反向延长线上一动点，当点运动至时，请直接写出与存在的数量关系．
【答案】（1）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：，
理由：平分，
，
，
，
，
，
即；
（3）．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（3）解：，
理由：，
，
，
，
，
，
即．
【分析】本题以平行线与角平分线为背景，综合考查几何推理能力。
（1）利用平行线同旁内角互补及角平分线定义，结合三角形内角和定理证得垂直关系；
（2）引入动点后，借助角平分线、直角三角形两锐角互余及邻补角关系，通过代数变形得到P 与 DFG 的数量关系；
（3）在条件变化下，类比第（2）问的推理路径，利用给定的倍数关系替换角度，最终导出新的数量关系，体现了从特殊到一般、从静态到动态的几何探究思想。
（1）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：，
理由：平分，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：，
理由：，
，
，
，
，
，
即．
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