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　四川省德阳市旌阳区德阳天立学校 2024-2025学年八年级下学期学情调查数学试题
一、单选题（共30分）
1．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：144.17亿，
故选：C．
【分析】
需先将“亿”转化为具体数值，再根据科学记数法的定义（的形式，其中，n为整数）进行转化．
2．由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的平面图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从正面看到的平面图形是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】根据俯视图可知，几何体有两列，
根据俯视图中的数字可知，左边一列后面一行有3个小正方形，右边一列前后各有1个小正方体，
所以这个几何体的主视图为：
故选B.
【分析】需明确主观图是从物体的正面观察得到的视图，其列数与俯视图的列数相等，每列小正方形的数目由俯视图中该列小正方形数字中的最大数字决定.
3．某商场6月份随即调查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：，试估算该商场6月份总营业额大约是(　　)
A．84万元 B．96万元 C．93万元 D．111万元
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：万元，
万元，
即该商场6月份总营业额大约是96万元．
故选B．
【分析】需首先计算出6天营业额的平均数，再用平均数乘以6月份的总天数30天，得到6月份总营业额的估值即可.
4．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；
B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；
C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；
D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，
【分析】
根据平行线的判定定理，通过分析每个选项中角的关系是否符合平行线的判定条件来判断能否得出AB∥CD.
5．在 中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简 的结果为（　　）
A． B． C． D．2a
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
6．如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB，若∠B=20°，则∠DFE=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵AD=DB，∠B＝20°，
∴∠B＝∠BAD =20°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD =40°，
∵∠C=90°，E为AB的中点，
∴AE=BE=EC，
∴∠BCE=∠B=20°，
∴∠DFE=∠BC E+∠ADC =20°+40°=60°．
故选C．
【分析】
首先利用直角三角形斜边的中线的性质得到相关角度关系，再根据等腰三角形的性质求出，最后通过三角形外角的性质求出的度数即可.
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有x人，物品价格y元，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，物品价格y元，根据题意得：
.
故答案为：A.
【分析】由题意可得到等量关系为：物品价格=8×人数-3；物品价格=78×人数+4；列方程组即可。
8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(　　)
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①为底边，符合点的有5个；
②为等腰三角形的一条边，符合点的有4个．
所以符合条件的点共有9个．
故选：D．
【分析】根据等腰三角形性质即可求出答案.
9．如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为
A．4 B． C．15 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB OE+AC OF=OE+OF=12，
∴OE+OF=，
故选 B．
【分析】
连接AO，由等腰三角形的概念知AB＝AC，则利用割补法可把S△ABC转化为S△ABO+S△AOC，再利用三角形面积公式求解即可.
10．如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（　　）．
①；②；③；④
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴，①正确；
∵≌，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴， 故③正确；
在中，，
在中，，
∴．
在中，
，
在中，
，
∴，
∴，故④正确；
∵≌，
∴，
∵与相等无法证明，
∴不一定成立，故②错误；
故选．
【分析】
先证明证明≌，得出线段和角的关系，进而判断①；再根据由≌得到，推出，从而判断③；利用勾股定理得到，，即可判断④；最后证明与的关系，即可判断②．
二、填空题（共24分）
11．化简：　 　．
【答案】-a
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=-3a+3b+2a-3b，
=(-3+2)a+(3-3)b，
=-a，
故答案为-a.
【分析】先运用乘法分配律去括号，再合并同类项进行化简即可.
12．若，，，则a与b的大小关系是a　 　b．
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，
由两个负数绝对值大的反而小，
∴
故答案为：．
【分析】
两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°．
【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【分析】根据角平分线的定义可以得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可求解．
14．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为　 　；
【答案】60
【知识点】三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图延长交于，
其他字母标注如图示：
根据题意，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证，
，
，
空白部分的面积长方形面积-三个正方形的面积和．
故答案为：60．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．如图延长交于，其他字母标注，在和中，利用角的运算可推出，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出AB=10，同理可证明，利用全等三角形的性质可推出BC=11，据此可得长方形的长11与宽10，再计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积可求出该长方形中空白部分的面积 ．
15．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【分析】沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ，A'Q，再根据勾股定理即可求出答案.
16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
代数式的值为1时，则的值为　 　．
【答案】4或2
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由系数规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：4或2．
【分析】
由题意可得，令，，再由题意可得，进而求出x的值．
三、解答题（共66分）
17．计算：．
【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别乘方和开方，再化简绝对值，最后再进行加减运算即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴；
∴原式
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】需先展开去括号化简代数式（化简时需注意符号变化，合并同类项要彻底），再利用非负数的性质（平方根和平方的偶次方非负性）求出a和b的值，最后代入求值即可.
19．在平面直角坐标系中
（1）作出关于轴对称的
（2）将先关于轴对称，再向下平移4个单位，若点为内一点，直接写出点关于上述变换后的坐标
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵点为内一点，
∴将关于轴对称，点变换后的坐标为，再向下平移4个单位，点变换后的坐标为，
即点关于上述变换后的坐标为

【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】
（1）关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变得到三角形的顶点坐标，再顺次连接即可得.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到点P（m，n），关于y轴对称的点（-m，n)；再根据点的平移规律，向下平移4个单位，纵坐标减4，横坐标不变，即可解答.
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：∵点为内一点，
∴将关于轴对称，点变换后的坐标为，再向下平移4个单位，点变换后的坐标为，
即点关于上述变换后的坐标为．
20．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
（1）求小岛A与港口C的距离；
（2）在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）根据方位角求出的度数，再利用勾股定理求出小岛A与港口C的距离.
（2）通过作垂线找到货船距离港口C最近的点，利用三角形的面积公式求出垂线段长度CD，再结合勾股定理求出货船还需航行的距离，最后根据速度求出时间.
（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
21．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验．例如：解方程．
解：两边平方得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为　 　；
（2）仿照以上方法，解方程：；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2
（2）解：，
两边平方，得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
是原方程的增根，舍去；
∴原方程的解为：

（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8
【知识点】二次根式的性质与化简；无理方程；转化思想
【解析】【解答】解：（1）把代入，得：，∴，
∴
【分析】
（1）将已知根代入方程，通过平方转化为整式方程求解a的值.
（2）两边平方去掉根号，转化为整式方程求解，再检验增根即可.
（3）先将原方程变形，再两边平方去根号，转化为整式方程，最后求解即可.
（1）解：把代入，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
两边平方，得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
是原方程的增根，舍去；
∴原方程的解为：；
（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
22．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元．
（1）求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？
（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）需先设，型号汽车进价分别为x，y万元，根据“1辆A型和1辆B型共37万元”及“各买20辆的总费用”列出二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型a辆、B辆b辆，根据“总辆数15辆”“总进价不超过260万元”“总利润至少12.5万元”列出不等式组，求整数解后确定方案并比较利润即可.
（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．
23．【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值.
【答案】解：（1），
，
∴，
即；
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
（1）需利用梯形面积的两种计算方式建立等式，通过这两个面积表达式相等，化简后可推导出勾股定理.
（2）先设未知数，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”；再代入该等式，可得到一元一次方程，求出CA的长度，在计算新路比原路的差值即可.
（3）先设未知数并利用两个直角三角形的勾股定理列出方程求解AH的长度即可.
24．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　 ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是　 　（直接写出答案）．
【答案】解：（1）AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD，
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=BD，
∵AE=AF+EG+FG，
∴AE=AB+DE+BD；
（3）10+4
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，
∵C是BD边的中点，
∴BC=CD，
∴CF=CD，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠ECD，
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED，
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE；
故答案为AE=AB+DE；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，
∴∠FCA+∠GCE=45°，
∴∠FCG=90°，
∴△FGC是等腰直角三角形，
∴FC=BD，
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=4，
∵AE=AF+FG+GE，
∴AE=AB+4+DE，
∵AB=2，DE=8，
∴AE≤AF+FG+EG=10+4，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为10+4
【分析】(1)通过在AE上截取AF=AB，构造全等三角形△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，再通过条件证明△CEF≌△CED．从而得出线段之间的关系.
(2)通过在AE上截取AF=AB和EG=ED，构造全等三角形ABC和三角形ACF以及三角形CED和三角形CEG，来证明△CFG是等边三角形，从而得到FG=CG=BD，最后得出结论.
(3)通过作对称点构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质和三角形三边关系求出AE的最大值即可.
1 / 1　四川省德阳市旌阳区德阳天立学校 2024-2025学年八年级下学期学情调查数学试题
一、单选题（共30分）
1．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的平面图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从正面看到的平面图形是(　　)
A． B． C． D．
3．某商场6月份随即调查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：，试估算该商场6月份总营业额大约是(　　)
A．84万元 B．96万元 C．93万元 D．111万元
4．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°
5．在 中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简 的结果为（　　）
A． B． C． D．2a
6．如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB，若∠B=20°，则∠DFE=（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有x人，物品价格y元，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(　　)
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
9．如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为
A．4 B． C．15 D．8
10．如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（　　）．
①；②；③；④
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①④
二、填空题（共24分）
11．化简：　 　．
12．若，，，则a与b的大小关系是a　 　b．
13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°．
14．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为　 　；
15．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm．
16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
代数式的值为1时，则的值为　 　．
三、解答题（共66分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．在平面直角坐标系中
（1）作出关于轴对称的
（2）将先关于轴对称，再向下平移4个单位，若点为内一点，直接写出点关于上述变换后的坐标
20．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
（1）求小岛A与港口C的距离；
（2）在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
21．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验．例如：解方程．
解：两边平方得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为　 　；
（2）仿照以上方法，解方程：；
（3）代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
22．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元．
（1）求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？
（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
23．【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值.
24．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　 ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是　 　（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：144.17亿，
故选：C．
【分析】
需先将“亿”转化为具体数值，再根据科学记数法的定义（的形式，其中，n为整数）进行转化．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】根据俯视图可知，几何体有两列，
根据俯视图中的数字可知，左边一列后面一行有3个小正方形，右边一列前后各有1个小正方体，
所以这个几何体的主视图为：
故选B.
【分析】需明确主观图是从物体的正面观察得到的视图，其列数与俯视图的列数相等，每列小正方形的数目由俯视图中该列小正方形数字中的最大数字决定.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：万元，
万元，
即该商场6月份总营业额大约是96万元．
故选B．
【分析】需首先计算出6天营业额的平均数，再用平均数乘以6月份的总天数30天，得到6月份总营业额的估值即可.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；
B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；
C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；
D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，
【分析】
根据平行线的判定定理，通过分析每个选项中角的关系是否符合平行线的判定条件来判断能否得出AB∥CD.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵AD=DB，∠B＝20°，
∴∠B＝∠BAD =20°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD =40°，
∵∠C=90°，E为AB的中点，
∴AE=BE=EC，
∴∠BCE=∠B=20°，
∴∠DFE=∠BC E+∠ADC =20°+40°=60°．
故选C．
【分析】
首先利用直角三角形斜边的中线的性质得到相关角度关系，再根据等腰三角形的性质求出，最后通过三角形外角的性质求出的度数即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x人，物品价格y元，根据题意得：
.
故答案为：A.
【分析】由题意可得到等量关系为：物品价格=8×人数-3；物品价格=78×人数+4；列方程组即可。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①为底边，符合点的有5个；
②为等腰三角形的一条边，符合点的有4个．
所以符合条件的点共有9个．
故选：D．
【分析】根据等腰三角形性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB OE+AC OF=OE+OF=12，
∴OE+OF=，
故选 B．
【分析】
连接AO，由等腰三角形的概念知AB＝AC，则利用割补法可把S△ABC转化为S△ABO+S△AOC，再利用三角形面积公式求解即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴，①正确；
∵≌，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴， 故③正确；
在中，，
在中，，
∴．
在中，
，
在中，
，
∴，
∴，故④正确；
∵≌，
∴，
∵与相等无法证明，
∴不一定成立，故②错误；
故选．
【分析】
先证明证明≌，得出线段和角的关系，进而判断①；再根据由≌得到，推出，从而判断③；利用勾股定理得到，，即可判断④；最后证明与的关系，即可判断②．
11．【答案】-a
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=-3a+3b+2a-3b，
=(-3+2)a+(3-3)b，
=-a，
故答案为-a.
【分析】先运用乘法分配律去括号，再合并同类项进行化简即可.
12．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，
由两个负数绝对值大的反而小，
∴
故答案为：．
【分析】
两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
13．【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【分析】根据角平分线的定义可以得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可求解．
14．【答案】60
【知识点】三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图延长交于，
其他字母标注如图示：
根据题意，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证，
，
，
空白部分的面积长方形面积-三个正方形的面积和．
故答案为：60．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．如图延长交于，其他字母标注，在和中，利用角的运算可推出，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出AB=10，同理可证明，利用全等三角形的性质可推出BC=11，据此可得长方形的长11与宽10，再计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积可求出该长方形中空白部分的面积 ．
15．【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【分析】沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据边之间的关系可得CQ，A'Q，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】4或2
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由系数规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：4或2．
【分析】
由题意可得，令，，再由题意可得，进而求出x的值．
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别乘方和开方，再化简绝对值，最后再进行加减运算即可.
18．【答案】解：原式
；
∵，
∴，
∴；
∴原式
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】需先展开去括号化简代数式（化简时需注意符号变化，合并同类项要彻底），再利用非负数的性质（平方根和平方的偶次方非负性）求出a和b的值，最后代入求值即可.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵点为内一点，
∴将关于轴对称，点变换后的坐标为，再向下平移4个单位，点变换后的坐标为，
即点关于上述变换后的坐标为

【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】
（1）关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变得到三角形的顶点坐标，再顺次连接即可得.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到点P（m，n），关于y轴对称的点（-m，n)；再根据点的平移规律，向下平移4个单位，纵坐标减4，横坐标不变，即可解答.
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：∵点为内一点，
∴将关于轴对称，点变换后的坐标为，再向下平移4个单位，点变换后的坐标为，
即点关于上述变换后的坐标为．
20．【答案】（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）根据方位角求出的度数，再利用勾股定理求出小岛A与港口C的距离.
（2）通过作垂线找到货船距离港口C最近的点，利用三角形的面积公式求出垂线段长度CD，再结合勾股定理求出货船还需航行的距离，最后根据速度求出时间.
（1）解：由题意得，，．
在中，，
∴．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作于点D，
当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
21．【答案】（1）2
（2）解：，
两边平方，得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
是原方程的增根，舍去；
∴原方程的解为：

（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8
【知识点】二次根式的性质与化简；无理方程；转化思想
【解析】【解答】解：（1）把代入，得：，∴，
∴
【分析】
（1）将已知根代入方程，通过平方转化为整式方程求解a的值.
（2）两边平方去掉根号，转化为整式方程求解，再检验增根即可.
（3）先将原方程变形，再两边平方去根号，转化为整式方程，最后求解即可.
（1）解：把代入，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
两边平方，得：，
解得：；
经检验：是原方程的解；
是原方程的增根，舍去；
∴原方程的解为：；
（3）解：不能．
，
原方程变形得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，
此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
22．【答案】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）需先设，型号汽车进价分别为x，y万元，根据“1辆A型和1辆B型共37万元”及“各买20辆的总费用”列出二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型a辆、B辆b辆，根据“总辆数15辆”“总进价不超过260万元”“总利润至少12.5万元”列出不等式组，求整数解后确定方案并比较利润即可.
（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．
23．【答案】解：（1），
，
∴，
即；
（2）设千米，则千米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
即千米，
∴（千米），
∴新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
即，
解得：
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
（1）需利用梯形面积的两种计算方式建立等式，通过这两个面积表达式相等，化简后可推导出勾股定理.
（2）先设未知数，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”；再代入该等式，可得到一元一次方程，求出CA的长度，在计算新路比原路的差值即可.
（3）先设未知数并利用两个直角三角形的勾股定理列出方程求解AH的长度即可.
24．【答案】解：（1）AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD，
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC，
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FG=FC=BD，
∵AE=AF+EG+FG，
∴AE=AB+DE+BD；
（3）10+4
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，
∵C是BD边的中点，
∴BC=CD，
∴CF=CD，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠ECD，
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED，
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE；
故答案为AE=AB+DE；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，
∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，
∴∠FCA+∠GCE=45°，
∴∠FCG=90°，
∴△FGC是等腰直角三角形，
∴FC=BD，
∵BD=8，
∴FC=4，
∴FG=4，
∵AE=AF+FG+GE，
∴AE=AB+4+DE，
∵AB=2，DE=8，
∴AE≤AF+FG+EG=10+4，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为10+4
【分析】(1)通过在AE上截取AF=AB，构造全等三角形△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，再通过条件证明△CEF≌△CED．从而得出线段之间的关系.
(2)通过在AE上截取AF=AB和EG=ED，构造全等三角形ABC和三角形ACF以及三角形CED和三角形CEG，来证明△CFG是等边三角形，从而得到FG=CG=BD，最后得出结论.
(3)通过作对称点构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质和三角形三边关系求出AE的最大值即可.
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