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四川省绵阳市安州区2024—2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共36分）
1．下列实数中，为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下面生活中，物体的运动情况可以看成平移的是（　　）
A．时钟摆动的钟摆 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．随风摆动的旗帜 D．汽车玻璃窗上两刷的运动
3．若，则等于（　　）
A．4 B． C． D．或4
4．如图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若，那么
C．内错角相等 D．若，那么
6．在我校第十三届艺术节闭幕式中，场馆内共摆放了45排36列座位，初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．在平面直角坐标系中，把点 向右平移1个单位后所得的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论：
①长方形的面积为；
②；
③点对应的数为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．计算：（　　）
A． B．8 C． D．2
11．小明将2块含的直角三角板按如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，以下结论：①；②；③平分．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
二、填空题（共18分）
13．如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为　 　 ．
14．下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）
15．当时，二次根式的值是　 　．
16．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是　 　．
17．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标　 　．
18．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使两点分别落在直线上．若，则的度数是　 　．
三、解答题（共46分）
19．计算、求值：
（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
20．如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为；
（1）请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）请在所给坐标系中画出；
（2）若AB边上点P经过上述平移后的对应点为，请用含x，y的式子表示点P的坐标；
（3）求的面积．
22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题：
（1）介于连续的两个整数和，且，那么　 　，　 　；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，求的值．
23．将一副直角三角尺如图放置，其中，已知，求的度数．
24．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数；
（2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
根据有理数的定义可知，四个数中只有D选项中的数是有理数，
故选：D．
【分析】先明确有理数的定义（整数和分数统称有理数），再判断每个选项是否能化简为整数或分数即可解答.
2．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、改变了方向，错误；
B、正确；
C、改变了方向，错误；
D、改变了方向，错误．
故选B．
【分析】
根据平移的定义（物体沿直线移动，形状、大小、方向不变），再判断各选项运动是否符合平移特征.
3．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴或，
∴或，
故选：．
【分析】
由题意知，再直接开平方即可．
4．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等．
5．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、若，那么，故原命题错误，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
D、若，那么，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
需逐一判断各选项命题的真假，依据对顶角的性质、平方运算性质、内错角定义以及绝对值性质进行分析即可.
6．【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，
初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为，
故选：D．
【分析】
根据题意知，该有序数对规定列数在前、排数在后．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
【分析】
由平移的性质结合图形知，四边形ACFD是平行四边形，且AD＝CF＝1，DF＝AC，则四边形ABFD的周长等于三角形ABC的周长与AD、CF的和.
8．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】点(2， 1)向右平移 1个单位得到的坐标为（3，-1），
故答案为：D.
【分析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即得答案.
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的混合运算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：正方形和正方形重叠部分的面积为，
，
，
，故①正确；
正方形面积为（），
，
，
，
点对应的数为，故③错误；
，
，故②正确；
故选：A
【分析】
①利用割补法直接可得长方形的面积为，故结论正确；
②由平移的性质知，t秒后正方形OABC平移了OO`的距离，则由正方形的性质结合面积公式知，则，故结论正确；
③由长方形的面积公式可得，即A`对应的数字为，故结论错误.
10．【答案】C
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
故选C．
【分析】
先求出算数平方根的值，在进行减法运算即可解答.
11．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
由题意得，，
∴，故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴与不垂直，故②错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴平分，故③正确，符合题意，
故选：C．
【分析】运用平行线的判定定理、性质定理可以判断出 ①② ，再根据角平分线的定义来判断 ③ 的正确性.
12．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】由数轴得，，
，，，
；
故选：B．
【分析】
首先根据数轴上a，b的位置来判断a+1、b-1、a-b的正负性，去掉绝对值并利用二次根式的性质对原式进行化简即可解答.
13．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
则老师的位置可以表示为，
故答案为：．
【分析】利用小芳和小华的位置的点的坐标，建立平面直角坐标系，据此可得老师所在的位置表示的点的坐标.
14．【答案】①③④
【知识点】实数在数轴上表示；三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题，
②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题；
③是有理数，故原说法错误，不是真命题，
④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题，
综上所述，不是真命题的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
由题设能推导出结论的命题叫真命题，再分别利用平行线的性质、实数与数轴的关系、立方根、三角形外角的性质逐项判断即可．
15．【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：2．
【分析】
将给定的x的值代入二次根式中，然后按照二次根式的运算规则进行计算.
16．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵垂线段最短，
∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．
故答案为：垂线段最短．
【分析】本题考查垂线的性质，根据垂线段最短，且是唯一的，结合图形，即可求解.
17．【答案】或或
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分三种情况：
①为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
②为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
③为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【分析】
分三种情况，以AB、AC、BC分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式计算点D的坐标即可.
18．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先利用三角形外角等于不相邻两个内角之和这一性质求解的度数，再根据平行线的性质可知，两直线平行，内错角相等这一结论即可解答.
19．【答案】（1）解：
（2）解：由得，
∴，
解得

【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）首先先分别计算出算术平方根、立方根、乘方的值，然后再进行加减运算即可.
（2）需先将方程变形为一元一次方程的形式，再利用立方根的定义求解x的值.
（1）解：
；
（2）解：由得，
∴，
解得．
20．【答案】（1）解：图书馆的坐标为，
建立坐标系如图所示：
（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：
教学楼，校门，旗杆，实验楼.
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形性质
【解析】【分析】
（1）根据题中图书馆的坐标为即可建立平面直角坐标系；
（2）由（1）中建立的平面直角坐标系，结合教学楼、校门、旗杆、实验楼的位置即可得到具体坐标．
（1）解：图书馆的坐标为，
建立坐标系如图所示：
（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：
教学楼，校门，旗杆，实验楼．
21．【答案】（1）解：如图所示；
即为所求；
（2）解：根据平移的性质：向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，
则的坐标为
故答案为：；
（3）解：如图所示可以知道所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积∴．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）利用平移的性质结合网格可确定A、B、C的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据点的坐标平移规律，即左减右加、下减上加即可；
（3）利用割补法，即所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积即可．
22．【答案】（1）3；4
（2），，
的小数部分，的整数部分，
（3），
，
又，其中是整数，且，
，，

【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），，而，
，
介于连续的两个整数和，且，
，，
【分析】
（1）首先找到平方小于13和大于13的连续整数，确定的范围.
（2）先确定的小数部分和的整数部分，再代入式子中计算即可.
（3）先计算10+的整数部分x和小数部分y，再计算y-x的值即可．
（1），，而，
，
介于连续的两个整数和，且，
，，
故答案为：3，4；
（2），，
的小数部分，的整数部分，
，
答：的值为1；
（3），
，
又，其中是整数，且，
，，
．
23．【答案】解：∵AE∥BC，
∴∠EDC=∠E=45°，
∴∠AFD=∠EDC+∠C=45°+30°=75°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】首先利用平行线AE∥BC求出的度数，再观察是三角形DFC的外角，利用外角定理建立与、的数量关系，最后代入计算即可．
24．【答案】（1）解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）或或或或
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）角度所有可能的值是或或或或，理由如下：依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．
【分析】（1）构造辅助线：过点作，根据平行传递性得。由内错角相等可知：，，因此的度数为两角之和；
（2）作辅助线，根据平行关系得，故有，。通过角度差关系即可求解；
（3）①当时，利用同位角关系得，再结合计算；②当时，同理得，再求和；③当时，直接得；④当时，通过角度差求解；⑤当时，设交点，利用三角形内角和及角度关系逐步推导。综合所有情况可得的可能取值。
（1）解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
，
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）解：角度所有可能的值是或或或或，理由如下：
依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．
1 / 1四川省绵阳市安州区2024—2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共36分）
1．下列实数中，为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
根据有理数的定义可知，四个数中只有D选项中的数是有理数，
故选：D．
【分析】先明确有理数的定义（整数和分数统称有理数），再判断每个选项是否能化简为整数或分数即可解答.
2．下面生活中，物体的运动情况可以看成平移的是（　　）
A．时钟摆动的钟摆 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．随风摆动的旗帜 D．汽车玻璃窗上两刷的运动
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】A、改变了方向，错误；
B、正确；
C、改变了方向，错误；
D、改变了方向，错误．
故选B．
【分析】
根据平移的定义（物体沿直线移动，形状、大小、方向不变），再判断各选项运动是否符合平移特征.
3．若，则等于（　　）
A．4 B． C． D．或4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴或，
∴或，
故选：．
【分析】
由题意知，再直接开平方即可．
4．如图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若，那么
C．内错角相等 D．若，那么
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，是真命题；
B、若，那么，故原命题错误，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
D、若，那么，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】
需逐一判断各选项命题的真假，依据对顶角的性质、平方运算性质、内错角定义以及绝对值性质进行分析即可.
6．在我校第十三届艺术节闭幕式中，场馆内共摆放了45排36列座位，初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，
初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为，
故选：D．
【分析】
根据题意知，该有序数对规定列数在前、排数在后．
7．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选C．
【分析】
由平移的性质结合图形知，四边形ACFD是平行四边形，且AD＝CF＝1，DF＝AC，则四边形ABFD的周长等于三角形ABC的周长与AD、CF的和.
8．在平面直角坐标系中，把点 向右平移1个单位后所得的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】点(2， 1)向右平移 1个单位得到的坐标为（3，-1），
故答案为：D.
【分析】根据平移变化与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，即得答案.
9．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论：
①长方形的面积为；
②；
③点对应的数为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的混合运算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：正方形和正方形重叠部分的面积为，
，
，
，故①正确；
正方形面积为（），
，
，
，
点对应的数为，故③错误；
，
，故②正确；
故选：A
【分析】
①利用割补法直接可得长方形的面积为，故结论正确；
②由平移的性质知，t秒后正方形OABC平移了OO`的距离，则由正方形的性质结合面积公式知，则，故结论正确；
③由长方形的面积公式可得，即A`对应的数字为，故结论错误.
10．计算：（　　）
A． B．8 C． D．2
【答案】C
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
故选C．
【分析】
先求出算数平方根的值，在进行减法运算即可解答.
11．小明将2块含的直角三角板按如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，以下结论：①；②；③平分．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：
由题意得，，
∴，故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴与不垂直，故②错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴平分，故③正确，符合题意，
故选：C．
【分析】运用平行线的判定定理、性质定理可以判断出 ①② ，再根据角平分线的定义来判断 ③ 的正确性.
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】由数轴得，，
，，，
；
故选：B．
【分析】
首先根据数轴上a，b的位置来判断a+1、b-1、a-b的正负性，去掉绝对值并利用二次根式的性质对原式进行化简即可解答.
二、填空题（共18分）
13．如图，小华表示的位置用表示，小芳表示的位置可以用表示，则老师的位置可以表示为　 　 ．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
则老师的位置可以表示为，
故答案为：．
【分析】利用小芳和小华的位置的点的坐标，建立平面直角坐标系，据此可得老师所在的位置表示的点的坐标.
14．下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【知识点】实数在数轴上表示；三角形外角的概念及性质；真命题与假命题；开立方（求立方根）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题，
②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题；
③是有理数，故原说法错误，不是真命题，
④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题，
综上所述，不是真命题的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】
由题设能推导出结论的命题叫真命题，再分别利用平行线的性质、实数与数轴的关系、立方根、三角形外角的性质逐项判断即可．
15．当时，二次根式的值是　 　．
【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：2．
【分析】
将给定的x的值代入二次根式中，然后按照二次根式的运算规则进行计算.
16．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵垂线段最短，
∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．
故答案为：垂线段最短．
【分析】本题考查垂线的性质，根据垂线段最短，且是唯一的，结合图形，即可求解.
17．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标　 　．
【答案】或或
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分三种情况：
①为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
②为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
③为对角线时，平行且等于，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【分析】
分三种情况，以AB、AC、BC分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式计算点D的坐标即可.
18．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使两点分别落在直线上．若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先利用三角形外角等于不相邻两个内角之和这一性质求解的度数，再根据平行线的性质可知，两直线平行，内错角相等这一结论即可解答.
三、解答题（共46分）
19．计算、求值：
（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）解：
（2）解：由得，
∴，
解得

【知识点】实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）首先先分别计算出算术平方根、立方根、乘方的值，然后再进行加减运算即可.
（2）需先将方程变形为一元一次方程的形式，再利用立方根的定义求解x的值.
（1）解：
；
（2）解：由得，
∴，
解得．
20．如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为；
（1）请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标．
【答案】（1）解：图书馆的坐标为，
建立坐标系如图所示：
（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：
教学楼，校门，旗杆，实验楼.
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形性质
【解析】【分析】
（1）根据题中图书馆的坐标为即可建立平面直角坐标系；
（2）由（1）中建立的平面直角坐标系，结合教学楼、校门、旗杆、实验楼的位置即可得到具体坐标．
（1）解：图书馆的坐标为，
建立坐标系如图所示：
（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：
教学楼，校门，旗杆，实验楼．
21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）请在所给坐标系中画出；
（2）若AB边上点P经过上述平移后的对应点为，请用含x，y的式子表示点P的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示；
即为所求；
（2）解：根据平移的性质：向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，
则的坐标为
故答案为：；
（3）解：如图所示可以知道所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积∴．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）利用平移的性质结合网格可确定A、B、C的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据点的坐标平移规律，即左减右加、下减上加即可；
（3）利用割补法，即所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积即可．
22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题：
（1）介于连续的两个整数和，且，那么　 　，　 　；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3；4
（2），，
的小数部分，的整数部分，
（3），
，
又，其中是整数，且，
，，

【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），，而，
，
介于连续的两个整数和，且，
，，
【分析】
（1）首先找到平方小于13和大于13的连续整数，确定的范围.
（2）先确定的小数部分和的整数部分，再代入式子中计算即可.
（3）先计算10+的整数部分x和小数部分y，再计算y-x的值即可．
（1），，而，
，
介于连续的两个整数和，且，
，，
故答案为：3，4；
（2），，
的小数部分，的整数部分，
，
答：的值为1；
（3），
，
又，其中是整数，且，
，，
．
23．将一副直角三角尺如图放置，其中，已知，求的度数．
【答案】解：∵AE∥BC，
∴∠EDC=∠E=45°，
∴∠AFD=∠EDC+∠C=45°+30°=75°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】首先利用平行线AE∥BC求出的度数，再观察是三角形DFC的外角，利用外角定理建立与、的数量关系，最后代入计算即可．
24．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，．
（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数；
（2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）或或或或
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）角度所有可能的值是或或或或，理由如下：依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．
【分析】（1）构造辅助线：过点作，根据平行传递性得。由内错角相等可知：，，因此的度数为两角之和；
（2）作辅助线，根据平行关系得，故有，。通过角度差关系即可求解；
（3）①当时，利用同位角关系得，再结合计算；②当时，同理得，再求和；③当时，直接得；④当时，通过角度差求解；⑤当时，设交点，利用三角形内角和及角度关系逐步推导。综合所有情况可得的可能取值。
（1）解：过点作，如图2所示
依题意得：，，，，
，
，
又，
，，
，
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
，
，
，，
，且，
；
（3）解：角度所有可能的值是或或或或，理由如下：
依题意由以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
；
②当时，如图4②所示：
则，
；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
；
⑤当时，设于交于点，如图4⑤所示：
则，
，
．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．
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