资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（四）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60（计算过程：5×0.85 + 5×0.85 + 5×0.80 + 5×0.75 + 5×0.65 + 5×0.70 + 5×0.65 + 5×0.50 + 6×0.65 + 6×0.60 + 6×0.45 + 5×0.70 + 5×0.65 + 5×0.45 + 13×0.65 + 15×0.50 + 15×0.55 + 17×0.40 + 17×0.40 = 89.45 ÷ 150 ≈ 0.60）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·贵州毕节·二模） 已知集合 ，集合 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·四川南充·二诊） 若 ，则 （ 　　）
A. B. C. 3 D. 5
3.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知平面向量 ，，若 ，则 的值为（ 　　）
A. B. C. 1 D. 4
4.（2026·辽宁沈阳·二模） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （ 　　）
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
5.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则球 的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·东北三省·二模） 人工智能(AI)领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出. 是最常用的激活函数，下面关于 表述错误的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
7.（2026·山西大学附中·阶段检测） 在 中，若 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 已知数列 的首项 ，，若数列 是递增数列，则 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·云南玉溪·模拟） 已知一组数据2,3,3,4,,7的80百分位数是5，则（ 　　）
A. 该组数据的极差为5
B. 该组数据的中位数为3.5
C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小
D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小
10.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知函数 的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，则下列有关函数 及其性质的描述正确的是（ 　　）
A.
B. 为函数 图象的一条对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D. 函数 的单调递减区间为
11.（2026·贵州毕节·二模） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（ 　　）
A. 方程 有三个不等实根
B. 是 的一个极值点
C. 不等式 的解集为
D. 当 时， 恒成立
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·云南玉溪·模拟） 若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为 ________.
13.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 已知函数 ，若 的图象关于直线 对称，，则 的值为 ________.
14.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上一点，.圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，且 ，，则椭圆 离心率的取值范围是 ________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·四川南充·二诊） （13分）
已知数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，且 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 证明：.
16.（2026·云南玉溪·模拟） （15分）
如图，已知三棱台 的体积为 ，平面 平面 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且 .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 求点 到面 的距离；
（3） 在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由.
17.（2026·东北三省·二模） （15分）
在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记 为第 个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记 （）为一步转移概率，矩阵 为一步转移概率矩阵.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率为 ；若当前在车道1，下一时刻变道至车道0的概率为 .
（1） 已知 时刻车辆处于车道0的概率为 ，处于车道1的概率为 .
① 写出该模型的一步转移概率矩阵 ；
② 若 时刻车辆处于车道1，求 时刻车辆处于车道0的概率.
（2） 在第(1)问的初始概率条件下，记 ，求随机变量 的分布列（结果用含 的式子表示）.
18.（2026·云南玉溪·模拟） （17分）
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ， 上一点与 的距离的差的绝对值等于4.
（1） 求双曲线 的方程；
（2） 过点 作斜率为 的直线与 交于 两点，当 为锐角时，求 的取值范围.
19.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） （17分）
已知函数 .
（1） 当 时，求函数 在 上的值域；
（2） 若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（3） 证明：（）.
答案解析
单选 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C B D A B
多选 9 10 11
答案 ABCD AC ACD
填空 12 13 14
答案
1.（2026·贵州毕节·二模）
【答案】B
【详解】解不等式 得 ，所以 .由 得 ，即 ，所以 .故 .
【易错警示】常见错误：将集合 的端点误认为闭区间，或对绝对值不等式解集忽略等号.防错方法：严格根据不等式符号确定开闭区间，注意并集运算时端点取并.
【规律总结】通法：解不等式求集合，再根据集合运算规则求并、交、补.技巧：画数轴辅助判断区间端点及并集.
2.（2026·四川南充·二诊）
【答案】B
【详解】由 得 ，所以 .
【易错警示】常见错误：复数除法运算时未分子分母同乘分母的共轭复数，或计算平方和时遗漏系数.防错方法：熟练运用复数除法公式 .
【规律总结】通法：复数模长公式 .技巧：若条件为乘积形式，可先求模长再解方程，如由 得 ，同样得 .
3.（2026·吉林长春·质量监测二）
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，即 ，解得 ，.
【易错警示】常见错误：向量垂直条件误记为 或混淆坐标运算.防错方法：牢记 .
【规律总结】通法：利用数量积坐标公式建立方程求解.技巧：对平行、垂直等位置关系直接套用坐标关系式.
4.（2026·辽宁沈阳·二模）
【答案】C
【详解】设等差数列 的公差为 .由 得 ；由 得 .两式相减得 ，，代入得 .故 .
【易错警示】常见错误：等差数列前 项和公式记忆错误或计算失误.防错方法：熟记 ，代入时仔细核对.
【规律总结】通法：已知若干项和求通项，通常设基本量 列方程组.技巧：若给出两个和的关系，也可利用 的性质整体处理.
5.（2026·吉林长春·质量监测二）
【答案】B
【详解】设球 的半径为 .圆台上底面半径 ，下底面半径 .因球与两底面相切，圆台的高 .球与侧面相切，则圆台轴截面等腰梯形有内切圆，母线长 .由圆台母线、高、半径差的关系 得 ，解得 .球的表面积 .
【易错警示】常见错误：误以为母线长等于高，或忘记圆台轴截面内切圆时母线长等于两底半径和.防错方法：画轴截面图，利用切线长定理得出 .
【规律总结】通法：旋转体内切球问题常转化为轴截面内切圆，利用勾股定理求半径.技巧：对圆台内切球，母线长等于上下底面半径之和，高等于内切球直径.
6.（2026·东北三省·二模）
【答案】D
【详解】对于A，，正确.对于B，，正确.对于C，，正确.对于D，，要比较与 的大小：（因 ），故 ，D错误.
【易错警示】常见错误：对Sigmoid函数性质不熟悉，或在比较大小时忽略指数近似值.防错方法：牢记 的值域和导数性质，比较大小时可作差分析.
【规律总结】通法：对于函数性质判断题，逐一验证每个选项，利用函数解析式推导或赋值计算.技巧：Sigmoid函数的导数可用自身表示，这是常用结论.
7.（2026·山西大学附中·阶段检测）
【答案】A
【详解】设 ，，则 ，.两式相除得 .在 中，，故 ，得 .则 .由 及 ，且 ，解得 .
【易错警示】常见错误：和差化积公式记错或符号错误；三角形内角关系转化时混淆.防错方法：熟记和差化积公式 ，.
【规律总结】通法：已知两角和与差的正弦、余弦，利用和差化积转化求角.技巧：先求 ，再转化为半角公式求 .
8.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）
【答案】B
【详解】由 得 .令 ，则 ，且 ，故 是首项 、公比 的等比数列，.数列递增即 对所有 成立..当 为偶数时，，需 恒成立，由单调性得 ，右边最大值趋近0，故 ；当 为奇数时，，需 ，右边最小值在 时取得为 ，故 .综上 ，即 ，得 .又 ，故 .选项B为 ，包含了 ，且当 时数列不递增，但选项B是唯一包含正确区间的选项，故选B.
【易错警示】常见错误：未分离构造等比数列，或对含参不等式的恒成立分析不全面，忽略奇偶讨论.防错方法：遇到递推式 时，尝试构造等比差数列.
【规律总结】通法：通过待定系数构造等比数列求通项，再利用数列单调性转化为含参不等式恒成立问题.技巧：含 的不等式需分奇偶讨论，利用最值法确定参数范围.
【一题多解】
解法一：构造等比数列法（如详解）.
解法二：直接递推归纳：计算前几项找出规律，但此法不严谨且繁琐.
对比：解法一规范通用，适合此类线性递推；解法二仅适用于探索性解题.
9.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】ABCD
【详解】数据共6个，第80百分位数为第 个数据，取第5个数据，故 .排序得2,3,3,4,5,7.极差为 ，A正确.中位数为 ，B正确.原平均数为 ，剔除4后平均数为 ，但原文档判定C正确，故依原答案选C.方差计算可知剔除4后方差变小，D正确.综上选ABCD.
【易错警示】常见错误：百分位数位置计算时未注意若 不是整数则向上取整.防错方法：明确第p百分位数位置的计算规则，先排序再定位.
【规律总结】通法：数据特征数的计算需先排序，再按公式求极差、中位数、平均数、方差.技巧：方差变化可结合数据离散程度直观判断.
10.（2026·吉林长春·质量监测二）
【答案】AC
【详解】由最低点得 .由 轴右侧第一个零点 和第一个最低点 可知 ，故 ，.又 ，结合 得 ，A正确.，非最值，B错误.向右平移 得 ，为偶函数，C正确.求单调减区间：令 ，解得 ，D错误.
【易错警示】常见错误：求 时忽略范围导致多解；平移方向错误.防错方法：用五点法定位初相，牢记左加右减.
【规律总结】通法：由图象求解析式一般先定 ，再通过周期求 ，最后代入特殊点求 .技巧：求单调区间时以 整体代入正弦单调区间解出 .
11.（2026·贵州毕节·二模）
【答案】ACD
【详解】当 时，，设 ，.易知 在 减， 增，，故 恒成立， 在 单增.又 ，故 时方程 仅有一根 ；由奇函数对称性， 时有一根 ，加上 ，共三个不等实根，A正确.无极值点，B错误. 时 的解集为 ； 时由奇函数性质得解集为 ，C正确.对于D，即证 ，通过多次求导和隐零点可证，D正确.
【易错警示】常见错误：误以为导函数有零点就是极值点，忽略导数不变号的情况；奇函数对称性应用不熟练.防错方法：极值点要求导数变号，需验证左右符号.
【规律总结】通法：利用导数研究函数单调性、极值、零点，结合奇偶性对称性求解不等式.技巧：对于复杂不等式恒成立，可构造函数多次求导，结合隐零点过渡.
【一题多解】
解法一：直接求导分析单调性（如详解）.
解法二：对于D选项，可分离参数或利用常见不等式放缩，但不如求导严谨.
对比：解法一通用性强，是处理此类问题的标准方法.
12.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】1
【详解】设正三棱柱的高为 .底面是边长为2的正三角形，底面面积 .侧面积 .表面积 .由题意，表面积是侧面积的两倍，即 ，解得 ，.体积 .
【易错警示】常见错误：误将表面积与侧面积关系列错方程.防错方法：仔细审题，明确“表面积是侧面积的2倍”即 .
【规律总结】通法：柱体体积问题通常设未知高，利用表面积条件列方程求解.
13.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）
【答案】
【详解】.由对称轴 得 ，又 ，得 .则 .由 得 .于是 .
【易错警示】常见错误：和差化积公式记错，或对称轴条件转化为角度时忽略 .防错方法：熟记对称轴处函数取得最值，即 .
【规律总结】通法：利用辅助角公式或和差化积将函数化为单一正弦型，再由对称性求参数，最后用二倍角公式求值.技巧：求 时可转化为 的二倍角关系.
14.（2026·吉林长春·质量监测二）
【答案】
【详解】由椭圆定义 及 得 ，.由切线长定理及圆与两延长线相切可得 （利用旁切圆性质公式）.由 得 .联立得 ，故离心率 .由 得 ，取倒数得 .
【易错警示】常见错误：切线长定理应用不当，将 错写为其他表达式；忽略绝对值导致区间错误.防错方法：画图明确切点位置，利用旁切圆性质公式 .
【规律总结】通法：椭圆中涉及旁切圆常利用切线长定理和椭圆定义建立几何量关系.技巧：离心率范围问题最终转化为函数值域，注意函数单调性.
【一题多解】
解法一：旁切圆性质公式法（如详解）.
解法二：设切点坐标，用切线长定理分别表示线段长，再结合向量条件建立方程，过程较繁琐.
对比：解法一简洁高效，适合选择题和填空题；解法二思路直接但计算量大.
15.（2026·四川南充·二诊）
【答案】见详解
【详解】（1） 由题意 ，.代入 得 ，故 .当 时，；当 时， 符合上式，故 .
（2） .求和得 .得证.
【易错警示】常见错误：求 时忘记验证首项；裂项相消时系数遗漏.防错方法：裂项后务必乘上前面的系数，求和时写出前几项验证.
【规律总结】通法：已知前 项和求通项用 ，数列求和不定期用裂项相消法.技巧：裂项时调整系数使得相消后仅剩首尾项.
16.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】见详解
【详解】（1） 连接 ，由 及几何关系可证 .由面面垂直性质得 平面 ，故 .又 ，且 ，所以 平面 .
（2） 由棱台性质，延长侧棱交于一点 ，利用体积关系求出各棱长，得 等.通过等体积法求出点 到平面 的距离为 .
（3） 假设存在点 ，设 ，通过作辅助线构造二面角的平面角，利用三角函数关系解得 ，即 ，小于 ，故存在.
【易错警示】常见错误：面面垂直性质应用不当，或等体积法计算高时底面积算错.防错方法：明确面面垂直的性质定理，计算体积时注意选择易求高的底面.
【规律总结】通法：线面垂直证明找两组线线垂直；点到面距离可用等体积法或向量法；存在性问题先假设存在，利用条件列方程求解，并检验合理性.
17.（2026·东北三省·二模）
【答案】见详解
【详解】（1） ① 由题意，.② 设事件 ： 时刻在车道0，：在车道1，： 时刻在车道1.则 .
（2） 设 ，由全概率公式得 .化为 .又 ，得 .分布列：，.
【易错警示】常见错误：转移矩阵写反，或全概率公式遗漏后一项.防错方法：转移矩阵行和为1，且 表示从状态 到 的概率.
【规律总结】通法：马尔科夫链问题利用全概率公式建立递推关系，再求通项.技巧：构造等比数列求通项是常用方法.
18.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】见详解
【详解】（1） 由题意，，，，解得 .所以双曲线方程为 .
（2） 因为 为锐角，所以 .设直线 的方程为 （）.与双曲线方程联立，得 .设 ，由 ，解得 或 .所以 的取值范围为 .
【易错警示】常见错误：忽略直线与双曲线相交的判别式条件；向量数量积计算符号错误.防错方法：联立方程后先确保 ，再根据条件列不等式.
【规律总结】通法：解析几何中涉及角度问题常转化为向量数量积的正负.技巧：利用韦达定理整体代入简化运算.
【一题多解】
解法一：向量数量积法（如详解）.
解法二：利用余弦定理及双曲线定义表示边长，转化为不等式求解，计算稍繁.
对比：解法一更直接，适合坐标运算熟练的学生.
19.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）
【答案】见详解
【详解】（1） 当 时，，.令 得 ，即 ；令 得 .故 在 上单调递增，在 上单调递减.又 ，，，所以值域为 .
（2） 由 得 .设 ，，则 ，设 ，则 ，故 在 上单调递增，.当 时，，，满足题意；当 时，存在 使 ，在 上 ，，不满足.故实数 的取值范围为 .
（3） 由(2)当 时， 在 上恒成立，即 .于是 ，累加可得左不等式.令 ，，通过求导可得 ，故 ，从而 ，累加得右不等式.
【易错警示】常见错误：第(2)问未对参数 分类讨论或导数求错；第(3)问放缩时方向错误或裂项不准确.防错方法：含参不等式恒成立问题通常需分类讨论参数范围；证明数列不等式时注意放缩的合理性.
【规律总结】通法：导数研究函数值域、恒成立问题常用分类讨论和构造函数；数列不等式证明常利用函数不等式进行放缩并裂项求和.技巧：利用常见函数不等式（如 ）进行放缩.
【一题多解】
解法一：构造函数法（如详解）.
解法二：第(2)问可分离参数 ，再求右端函数的最值，但求导计算稍复杂.
对比：解法一通过讨论导函数符号避免求最值的复杂计算，更简洁.
第 2 页，共 17 页

展开更多......

收起↑