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2026年湖南省长沙市初中毕业水平数学考试第二次模拟试卷预测卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.000，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
5．如图,传送带和地面所成斜坡的坡比为1:2,物体沿传送带上升到点时,距离地面的高度为3米,那么斜坡的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．6米
6．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
7．某学校为了了解学生的读书情况，抽查了部分同学在一周内的阅读时间，并进行了统计，结果如表：
时间 1 2 3 4 5
人数 12 20 10 5 3
则这些学生阅读时间的众数和中位数分别是（ ）
A．20，20 B．2，2 C．20，10 D．2.5，2
8．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，“硬币落地时正面朝上”是随机事件
B．个人分成两组，每组至少人，“一定有个人分在同一组”是不可能事件
C．任意打开九年级上册数学教科书，“正好是第页”是必然事件
D．某种彩票的中奖率为，则买张彩票一定有张中奖
9．如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．分解因式：______________．
12．已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 _____．
13．已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______．
14．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______
15．如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____．
16．一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是”；小明说：“它是”；小亮说：“它是”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字.这只皮箱的密码是_______．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．2024年9月30日是我国第十一个烈士纪念日，为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往湖南烈士公园缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，于是想利用刚学的知识计算纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离）．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为，在B点处测得碑顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是（A，B，C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
20．我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
(1)该中学参加比赛的学生共有__________人，成绩为“B等级”的学生有__________人，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为__________度，图中m的值为__________；
(2)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
21．某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … …
每天销售数量y/件 … …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22．数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
(1)求每套《古今数学思想》的价格；
(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
23．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D．
(1)求证AE平分∠BAC；
(2)若OA＝5，EC＝4，求AD的长．
24．我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性．
(1)下列代数式具有非负性的有 （填序号）；
； ；
； ．
(2)已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由；
(3)二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立．
①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”）
②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．
25．已知四边形是内接四边形，对角线与相交于点P．
(1)求证：；
(2)连接，如图1，若，求证：；
(3)如图2，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，并且满足，延长交于点F，连接交于点E，延长交于点Q，求的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B A B B A B A
二、填空题
11．
12．
13．5
14．九
15．4
16．
三、解答题
17．【详解】解：
．
18．【详解】解：
，
当时，原式．
19．【详解】解：由题意得：，，
，，，
是的外角，
，
，
，
在中，，
，
答：烈士纪念碑的通高约为．
20．【详解】（1）解：参赛的总人数为（人），成绩为“B等级”的学生有（人），扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，，则m的值为40；
故答案分别为：20，5，72，40．
（2）解：根据题意列出表格如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种．
所以恰是一男一女的概率为．
21．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将、代入得，，
解得，，
∴y与x的函数关系式为．
（2）解：依题意得，，
解得，，（舍去），
∴销售单价应为元．
（3）解：依题意得，，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，，
∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
22．【详解】（1）解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每套《古今数学思想》的价格是125元；
（2）解：设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
23．【详解】（1）如图1，连接，
由题意知，
∴
∵
∴
∴
∴
∴AE平分∠BAC．
（2）如图2，连接交于点
∴，
∵
∴
∴垂直平分
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
在中，由勾股定理得
∴AD的长为6．
24．【详解】（1）解：∵，
，
具有非负性，不具有非负性，
故答案为：；
（2）解：不具有非负性，理由如下：
由题意可知：，
∴设，
则，，
∴
，
，
∴当时，，
答：不具有非负性；
（3）解：①∵对任意的不等式 恒成立，
∴当时，的开口向下，此时不符合题意，
∴，
∴，
∴代数式具有非负性，
故答案为：具有；
②由①可知：，
，
，
恒成立，
，
即： ，
化简，得：，
∴，
，，
由可得，
，两点坐标为，，
∴，
用 围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形，
设其一边长为，则另一边长为，
∴（），
故这个平行四边形面积的最大值为．
25．【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，作于点，
，
，
，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是的角平分线
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
∵设的面积为，的面积为，
∴，
，
，
，
，
，
即，
∵
∴分别到的距离相等
，
，，，，
，
，
．
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