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【全品作业本】浙教版数学九上教材核心母题4 二次函数与几何的综合应用
一、教材母题 (九年级上册第35 页目标与评定第15题)
1．如图，正方形ABCD的边长为a，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ= 2AP ，CR=3AP ，DS=4AP．问：AP长为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
二、变式训练
2．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA上的点(均不与矩形ABCD 的顶点重合)，且AE=AH=CG=CF，记四边形 EFGH 的面积为 S，AE=x.
（1）求S 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为何值时，S的值最大，并写出 S 的最大值.
3．如图，二次函数 的图象与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.
（1）求点 A 和点C 的坐标；
（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点 D，使∠ACO=∠DCO，求点 D 的坐标.
4．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点C.
（1）求点 A，B 的坐标.
（2）点D 在第三象限内的抛物线上，过点 D 作x轴的垂线交 AC 于点 E，求 DE 的最大值.
（3）在(2)的条件下，抛物线上是否存在点 N，使以D，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】解：设AP=x，四边形PQRS的面积为S，
∴ BQ= 2AP=2x ，CR=3AP=3x ，DS=4AP=4x，
∴CQ=a-2x，DR=a-3x，AS=a-4x，
∴S四边形PQRS=a2-x（a-4x）-×2x（a-x）-×3x（a-2x）-×4x（a-3x）=a2-5ax+12x2．
∴当AP= 时，四边形PQRS的面积有最小值，最小值为a2．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设AP=x，四边形PQRS的面积为S，利用已知条件可表示出BQ，CR，DS，CQ，DR，AS的长；再根据四边形PQRS的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，由此可得到S与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
2．【答案】（1）解：在矩形ABCD中， AD=BC，
所以S=
（2）解：
所以当 时，S的值最大，最大值为
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系.
(2)通过对函数配方，根据函数的开口方向求出最值解答即可.
3．【答案】（1）解：当x=0时， y= - 3，
∴C(0，-3)，
当 时， 解得x =-2或x =3，
∴A(-2，0)
（2）解：设A点关于y轴的对称点为A'(2，0)，
∵∠ACO=∠DCO，
∴D点在直线CA'上，
设直线CA'的解析式为y = kx-3，
∴2k-3=0，
解得
∴直线A'C的解析式为
当 时， 解得x=0或x=4，
∴D(4，3)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据函数的性质求点的坐标即可；
(2)设A点关于y轴的对称点为A'(2，0)， 由∠ACO=∠DCO， 可知D点在直线CA'上，求出直线A'C与抛物线的交点即为所求.
4．【答案】（1）解：令
解得
∴点 A，B 的坐标分别为(-3，0)，(1，0)
（2）解：在 中，令x=0，
则y=-3，∴C(0，-3).
由点 A，C的坐标，得直线 AC 的函数表达式为y=-x-3.
设
则E(x，-x-3)，
∵-1<0，-3∴当 时，DE 有最大值，最大值为
（3）存在，
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(3)解：存在， 理由：
由(2)知， 点 设点N(m，n)，当OB为对角线时，
由中点坐标公式得： 且 则
即点
经验证点N不在抛物线上，故舍去；
当OD或ON为对角线时，
同理可得： 且 ； +1且
即点(舍弃)或
综上，点N的横坐标为
【分析】(1)令 则x=-3或1，即可求解；
(2)设点 则点.E(x，-x-3)，由 即可求解；
(3)当OB为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当OD或ON为对角线时，同理可解.
1 / 1【全品作业本】浙教版数学九上教材核心母题4 二次函数与几何的综合应用
一、教材母题 (九年级上册第35 页目标与评定第15题)
1．如图，正方形ABCD的边长为a，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ= 2AP ，CR=3AP ，DS=4AP．问：AP长为多少时，四边形PQRS的面积有最小值？最小值是多少？
【答案】解：设AP=x，四边形PQRS的面积为S，
∴ BQ= 2AP=2x ，CR=3AP=3x ，DS=4AP=4x，
∴CQ=a-2x，DR=a-3x，AS=a-4x，
∴S四边形PQRS=a2-x（a-4x）-×2x（a-x）-×3x（a-2x）-×4x（a-3x）=a2-5ax+12x2．
∴当AP= 时，四边形PQRS的面积有最小值，最小值为a2．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设AP=x，四边形PQRS的面积为S，利用已知条件可表示出BQ，CR，DS，CQ，DR，AS的长；再根据四边形PQRS的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，由此可得到S与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
二、变式训练
2．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA上的点(均不与矩形ABCD 的顶点重合)，且AE=AH=CG=CF，记四边形 EFGH 的面积为 S，AE=x.
（1）求S 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为何值时，S的值最大，并写出 S 的最大值.
【答案】（1）解：在矩形ABCD中， AD=BC，
所以S=
（2）解：
所以当 时，S的值最大，最大值为
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系.
(2)通过对函数配方，根据函数的开口方向求出最值解答即可.
3．如图，二次函数 的图象与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.
（1）求点 A 和点C 的坐标；
（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点 D，使∠ACO=∠DCO，求点 D 的坐标.
【答案】（1）解：当x=0时， y= - 3，
∴C(0，-3)，
当 时， 解得x =-2或x =3，
∴A(-2，0)
（2）解：设A点关于y轴的对称点为A'(2，0)，
∵∠ACO=∠DCO，
∴D点在直线CA'上，
设直线CA'的解析式为y = kx-3，
∴2k-3=0，
解得
∴直线A'C的解析式为
当 时， 解得x=0或x=4，
∴D(4，3)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据函数的性质求点的坐标即可；
(2)设A点关于y轴的对称点为A'(2，0)， 由∠ACO=∠DCO， 可知D点在直线CA'上，求出直线A'C与抛物线的交点即为所求.
4．如图，已知二次函数 的图象与x 轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点C.
（1）求点 A，B 的坐标.
（2）点D 在第三象限内的抛物线上，过点 D 作x轴的垂线交 AC 于点 E，求 DE 的最大值.
（3）在(2)的条件下，抛物线上是否存在点 N，使以D，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点 N 的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令
解得
∴点 A，B 的坐标分别为(-3，0)，(1，0)
（2）解：在 中，令x=0，
则y=-3，∴C(0，-3).
由点 A，C的坐标，得直线 AC 的函数表达式为y=-x-3.
设
则E(x，-x-3)，
∵-1<0，-3∴当 时，DE 有最大值，最大值为
（3）存在，
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(3)解：存在， 理由：
由(2)知， 点 设点N(m，n)，当OB为对角线时，
由中点坐标公式得： 且 则
即点
经验证点N不在抛物线上，故舍去；
当OD或ON为对角线时，
同理可得： 且 ； +1且
即点(舍弃)或
综上，点N的横坐标为
【分析】(1)令 则x=-3或1，即可求解；
(2)设点 则点.E(x，-x-3)，由 即可求解；
(3)当OB为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当OD或ON为对角线时，同理可解.
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