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第二十三章 一次函数
人教版2026·八年级下册
23.1 一次函数的概念
学 习 目 标
1.理解一次函数和正比例函数的概念，能说出二者的区别与联系，体会从一般到特殊的思想.
2.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式，增强模型观念.
(1)试用函数解析式表示y与x的关系.
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
解：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
新 课 导 入
(2)求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温.
当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数 y＝－6x＋5 的值，即 y＝－6×2＋5 ＝-7(℃).
合 作 探 究
思考 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
(1)铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积
V(单位：cm3)的变化而变化.
(2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V
h=0.5n
合 作 探 究
y=－5x＋50
m=h－105
(3)一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单
位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化
而变化.
(4)把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形
的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化.
合 作 探 究
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
(1)m=7.9V; (2)h=0.5n;
(3)m=h－105; (4)y＝－5x＋50.
上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？
合 作 探 究
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.
y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
注意：一次函数有三个特征：
①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数b可以是任意实数.
自变量，次数1
一次项系数
常数项
新 知 小 结
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx.
形如y=kx (k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
y=kx(k是常数，k≠0)
自变量
比例系数
新 知 小 结
①②④
①④
是一次函数,也是正比例函数
是一次函数，但不是正比例函数
是一次函数，也是正比例函数；
自变量x的次数为2，不是一次函数
典 例 精 析
例2 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂
1kg的物体，弹簧伸长2 cm.
(1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的
函数解析式.
解：(1)由每挂1kg的物体弹簧伸长2 cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2x cm.因此，y关于x的函数解析式为
y=2x+12.
典 例 精 析
例2 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂
1 kg的物体，弹簧伸长2 cm.
(2)当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：(2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
典 例 精 析
例3 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
典 例 精 析
用函数解析式表示下列问题中y与x的关系.
(1)直角三角形中一个锐角的度数y(度)与另一个锐角的度数x(度)之间的关系；
(2)正方形的边长y与周长x之间的关系；
(3)一段导线在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，电阻y(欧)关于温度x(℃)之间的关系.
(1)y=90-x.
(3)y=2+0.008x.
跟 踪 训 练
确定一次函数解析式的一般步骤
(1)识别自变量和函数：根据实际问题，确定哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数.
(2)建立相等关系：分析实际问题中的数量关系，根据相等关系列出关于这两个变量的等式.
(3)确定函数解析式：将等式变形，写成函数的一般形式.
新 知 小 结
从实际问题中
确定函数解析式
一次函数
形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数
正比例函数
特殊
b=0
课 堂 小 结
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
随 堂 练 习
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少 x cm后，得到的新正方形的周长为 y cm，y与x之间的函数解析式是(　　)
A．y＝12－4x B．y＝4x－12
C．y＝12－x D．以上都不对
A
A
随 堂 练 习
4.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系：
(1)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年（12个月）的总收入为y元；
(2)某水池有水20 m3，现在打开进水管开始进水，进水速度为3m3/h，则x h后水池有水y m3.
解：(1)y=12x；
(2)y=20+3x.
随 堂 练 习
解：(1)y=x+1.5%x=1.015x.
(2)当x=10 000时，y=1.015×10 000=10 150.
故一年到期时的本息和是10 150元.
5.某银行一年期存款利率为1.5%，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)存入10 000元，一年到期时的本息和是多少元？
随 堂 练 习
6.学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元. 张华现有积攒的零花钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围；
(2)若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？
解：(1)y=480-60x (0≤x≤8，且x为整数).
(2)由题意，得480-60x≥180，解得 x≤5.
因此她最多能捐献5个书包.
随 堂 练 习
下课
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