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2026年吉林省延边州延吉七中等校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.《九章算术》是我国中国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入20元记作+20元，则支出20元记作（　　）
A. +20元 B. -20元 C. 0元 D. -10元
2.如图，几何体的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（　　）
A. 1
B. 5
C. 2
D.
4.据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“十一”期间，国内游客出游3250000000人次，将数据3250000000用科学记数法表示为（　　）
A. 3.25×1010 B. 3.25×109 C. 3.25×108 D. 3.25×107
5.下列计算正确的是（　　）
A. 2x2+x3=3x5 B. （mn）2=mn2 C. 2m 3m=5m2 D. （m2）3=m6
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径.若AB=AC，∠ACB=70°，则∠CBD=（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
二、填空题：本题共5小题，共19分。
7.因式分解：4a3-a= .
8.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sinB= .
9.小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 .
10.如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1，点A，C，E，G均在双曲线的一支上.若点A的坐标为，则第三级阶梯的高EF= .
11.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）.已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度为 .（结果精确到个位；参考据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
三、解答题：本题共11小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题3分)
解不等式组：.
13.(本小题7分)
计算：.
14.(本小题7分)
校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是______；
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
15.(本小题7分)
某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.求甲、乙两种路灯的单价.
16.(本小题7分)
【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
（2）若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
17.(本小题7分)
如图，在6×6的方格纸中，已知△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图.
（1）在图1中标出△ABC外接圆的圆心O.
（2）在图2中画格点线段BD，使得BD把AC分为1：2的两条线段.
18.(本小题7分)
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89.
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数.
19.(本小题7分)
如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC-CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为______cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20.(本小题7分)
某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用.通过实验，A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）与药物施用量x（mg）的关系数据统计如下表：
x（mg） 0 4 6 8 10 15 18 21
A（cm） 25 21 19 16 14 10 7 4
B（cm） 10 18 22 27 31 40 45 52
任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）与药物施用量x（mg）的函数图象.
任务2：猜想A，B植物的生长高度yA（cm），yB（cm）与药物施用量x（mg）的函数关系，并分别求出函数关系式.
任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x（mg）的取值范围.
21.(本小题7分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE.
（1）问题发现：如图1，当点P与点O重合时，点E在边AD上，连结CE，BP与CE的数量关系是______；CE与AD的位置关系是______；
（2）拓展探究：如图2，当点E在菱形ABCD外部时，猜想BP与CE的数量关系并说明理由；
（3）解决问题：如图3，若，，请直接写出四边形ACDE的面积.
22.(本小题17分)
抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）顶点M的坐标为（1，-4），P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为（m,y1），点Q的坐标为（1-m,y2），将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G.
（1）b=______，c=______；
（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标；
（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d,求d与m之间的函数关系式；
（4）矩形ABCD的顶点分别为A（2m-1，2），B（2m+1，2），C（2m+1，-3），
①当抛物线在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
②当图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】a（2a+1）（2a-1）
8.【答案】
9.【答案】=
10.【答案】3
11.【答案】32米
12.【答案】-3＜x＜2．
13.【答案】-1．
14.【答案】B； ．
15.【答案】甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元．
16.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°．
17.【答案】如图，点O即为所求作； 如图，线段BD即为所求作．

18.【答案】解：（1）样本容量为：12÷40%=30，
30-1-12-10=7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）所抽取的学生成绩的中位数为=85；
（3）360×=120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
19.【答案】（1）2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP=AB-AP=4-2x，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPA=90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠PDB=90°，
∴PD⊥BC，
∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD=AP=2x，
∵BP=2BD，
∴4-2x=4x，
解得x=；
（3）①如图2，当0＜x≤时，
∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，
∴PQ=AP tan60°=2x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD=2x 3x=3x2cm2，
所以y=3x2；
②如图3，当点Q运动到与点C重合时，
此时CP⊥AB，
所以AP=AB，即2x═2，
解得x=1，
所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，
∵AP=2x，
∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，
∴BG=BP=2-x
∴PG=BG=（2-x），
∴S△PBG=BG PG=（2-x）2，
∵AQ=2AP=4x，
∴CQ=AC-AQ=4-4x，
∴QH=CQ=（4-4x），
∴S△QCH=CQ QH=（4-4x）2，
∵S△ABC=4×2=4，
∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH
=4-（2-x）2-（4-4x）2
=-x2+18x-6，
所以y=-x2+18x-6；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，
设PD与BC相交于点G，
此时PG=BP sin60°=（4-2x）×=（2-x），
∵PB=4-2x，
∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），
∴BG=BP=2-x，
∴QG=BQ-BG=3（2-x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG=PG QG=（2-x） 3（2-x）=（2-x）2．
所以y=（2-x）2．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤时，y=3x2；
当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；
当1＜x＜2时，y=（2-x）2．
20.【答案】任务1：作图如下：
任务2：yA=-x+25，yB=2x+10，
任务3：．
21.【答案】BP=CE;CE⊥AD 当点E在菱形ABCD外部时，BP=CE，理由见解答 四边形ACDE的面积为10．理由见解答
22.【答案】-2;-3 ①；②-1＜m＜0
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