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福建省漳州市龙海区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D. 且
2.变量y与x之间的关系式为，当自变量x=2时，因变量y的值是（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 5
3.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4.下列分式是最简分式的是（）
A. B. C. D.
5.把直线y＝2x﹣1向上平移后4个单位得到直线AB，则直线AB的解析式为（　　）
A. y＝2x+3 B. y＝2x+4 C. y＝2x﹣4 D. y＝2x﹣5
6.如图，平行四边形中，，若，，则的长是（ ）
A. 4 B. 5 C. D. 6
7.已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
8.马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为x km/h,则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
9.已知A（4，a）和B（-1，b）是一次函数y=kx-4（k≠0）图象上的两点，若a＜b,则该一次函数的图象还可能经过的点是（　　）
A. （-4，0） B. （4，0） C. （0，4） D. （1，-3）
10.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且，，若直线以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过（ ）秒该直线可将平行四边形的面积平分？
A. 6秒 B. 秒 C. 5秒 D. 3秒
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： ．
12.在平行四边形中，若，则 ．
13.若点A（a+5，a-6）在x轴上，则a的值为 .
14.如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为 ．
15.若关于x的分式方程有增根，则 ．
16.如图，在边长为6的等边三角形中，点P是的中点，点M在的延长线上，点N在上且满足，记，若关于x的方程的解是正数，则n的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.计算：．
18.解方程:=1-.
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，在中选择一个整数求值．
20.(本小题10分)
如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点，且平分．求证：．
21.(本小题10分)
下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步经检验，是原方程的解．
(1) 以上解方程步骤中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2) 请写出该分式方程的正确解答过程．
22.(本小题10分)
端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题：
(1) 该商场节后每千克粽子的进价是多少元？
(2) 如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 是直线上的一个动点，且点P在第二象限，的面积为21，求点的坐标；
24.(本小题15分)
对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即．
(1) 点的“2系雅培点”，则的坐标为 ；
(2) 已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”；
①求m与n之间的数量关系；
②若分式方程无解，求的值．
25.(本小题15分)
已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且．
(1) 若点，，求的值．
(2) 若点，且点C在y轴上，求的值；
(3) 如图2，以、为邻边作，且，证明：点三点共线．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】a
12.【答案】30
13.【答案】6
14.【答案】 /65度
15.【答案】2
16.【答案】且
17.【答案】解：．
18.【答案】解：原方程即
去分母得x=2x-1+2
x=-1
经检验：x=-1是原方程的解，
所以原方程的解是x=-1.
19.【答案】解：
，
，
，
，
，
当时，原式．

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，即
，
点是的中点，
在和中，


21.【答案】【小题1】
二
去分母时，未乘以
【小题2】
解：，
方程两边都乘以，得，
解这个整式方程，得，
检验：把代入，得，
∴是原方程的解．

22.【答案】【小题1】
解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元
依题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意
答：该商场节后每千克粽子的进价是元；
【小题2】
设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，则

即
，
随的增大而增大
当时，取得最大值，最大值为
答：该商场节前购进千克 A粽子获得利润最大，最大利润是元

23.【答案】【小题1】
解：把代入中，得出，
，
则把和分别代入，
得出，
解得，
；
【小题2】
解：如图，记直线与直线的交点为，

当时，则
，
是直线上的一个动点，
设点，
的面积为21，
，
即，
，
解得或，
∵点P在第二象限，
∴，
点坐标为．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
解：①∵点A是点的“系雅培点”，
同理可得：点，
∵，故，即，
∵点A在第四象限，故，
∴．
②由①得，代入分式方程得，
整理得，
当时，方程无解；
当时，则，
∵该方程无解，即方程有增根为3，
∴，即，
解得，
综上所述，或．

25.【答案】【小题1】
解：∵，，轴，
∴，
把代入得：，
∴的值为10．
【小题2】
解：由，得，
∵点C在y轴上，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴．
【小题3】
证明：设，
把代入得：，
解得，
∵，
∴，
∴，，
由（2）可知，
∴，
把代入得：，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
设的函数表达式为，
把代入得：，
解得，
∴的函数表达式为，
把代入得：，
∴点E在直线OC上，
∴点C、E、O三点共线．

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