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四川省宜宾市长宁县2026年春教学质量诊断监测（一）九年级—数学
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2的相反数是（）
A. - B. -2 C. D. 2
2.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
3.拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.对一组数据：2、3、、3、4，描述正确的是（ ）
A. 中位数是 B. 平均数是2 C. 众数是2 D. 方差是1
5.不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
6.如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8.宜宾市某化工厂，现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg，B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产方案的种数为（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为 （　　）
A. B. C. D.
11.如图，正方形中，为边上一点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.下列四种说法：①-1＜m＜2；②若2＜x＜3，则-（x-3）2+2（x-3）+m＜2；③若点M（-2，y1），点，点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；④点A关于直线x=1的对称点为C，点D在x轴上，当m=1时，三角形BCD周长的最小值为.其中正确结论的个数是（　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.因式分解： ．
14.分式方程的解为 ．
15.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AC的长为 .
16.关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是 ．
17.一个三位自然数n,百位数字比个位数字多2，十位数字为4，则称这个数为“砺新数”.则最小的“砺新数”是 ；若n是“砺新数”，将n的百位数字与个位数字交换位置得新数n'，若n'是7的倍数，则n的值是 .
18.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.计算：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1) 求本次参加课后延时服务的学生人数；
(2) 把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数；
(3) 在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
21.(本小题12分)
如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
22.(本小题12分)
某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
(1) 求点离水平地面的高度．
(2) 求电线塔的高度（结果保留根号）．
23.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 利用图象，直接写出不等式的解集；
(3) 点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
24.(本小题15分)
如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接．
(1) 求证：为的切线；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标；
(3) 在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】A
12.【答案】C
13.【答案】y(x+3)(x-3)
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】1
17.【答案】240
240或947

18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

20.【答案】【小题1】
解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）．
【小题2】
参加组的人数为（名）．
补全条形统计图如图所示．
扇形统计图中的的度数是．
【小题3】
设组的1名男生和1名女生分别记为组的2名男生和1名女生分别记为．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，共3种，
所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．

21.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【小题2】
解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：作于点，则四边形是矩形，，，
设，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
答：电线塔的高度．

23.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
【小题2】
解：由图象可知，不等式的解集为或；
【小题3】
解：设，
∵，
∴，
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得；
综上：点坐标为或或．

24.【答案】【小题1】
证明：，
，
又，
，
为的直径，
，
，
，即，
，
为的切线；
【小题2】
解：如图，作于点，
，，
．
∴在中，由勾股定理得，，
．
，，
，
，
∵
．
，
，
设，则，，
，，
．
又，
，
，即．
，
解得，
．

25.【答案】【小题1】
解：∵抛物线与x轴交于点，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线为；
【小题2】
解：如图，过P作轴，交于F，
在中，令，则．
∴．
设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∵是定值，，
∴最大，
∴当面积最大时，；
【小题3】
解：设与交于点L，
，
∵，，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，
即，
∵点为点P的对应点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
当时，联立，
解得或（舍去），
∴；
设关于x轴对称点为，直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
∴联立，
解得（舍去）或，
∴．
综上所述，点Q的坐标为或．

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