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2025-2026学年宁夏银川二十四中九年级（下）质检数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. a5÷a3=a2 C. a2+a3=a5 D. （a2）3=a5
2.统计数据显示，截至2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A. 150×108 B. 15×109 C. 1.5×1010 D. 1.5×1011
3.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）
A. -2a+b B. 2a-b C. -b D. b
4.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1，y=1.类似地，方程2x+3y=21的正整数解的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（　　）
A. 40°
B. 35°
C. 30°
D. 20°
6.求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A. n的值是5
B. 该组数据的平均数是7
C. 该组数据的众数是6
D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
7.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=（　　）
A. 140°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
8.二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，反比例函数y=与一次函数y=bx+c在同一坐标系中大致图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.分解因式：4a2-24a+36= .
10.若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 .
11.关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是______．
12.若关于x和y的二元一次方程组，满足x+y＞0，那么m的取值范围是______．
13.如图，有一个圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______cm．
14.在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）.现从质量为10g,20g,30g,40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 .
15.如图，点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=-的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan∠BAO= .
16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：.
四、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务.
小明：解：原式=…第一步
=…第二步
=…第三步
…
小红：解：原式=…第一步
…
任务一：（1）小明同学的第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（2）小明同学的第三步是对后一个分式的分子进行______，用到的公式是______；
任务二：小红同学第一步解法的依据是______；
任务三：该分式化简后的正确结果______.
19.(本小题6分)
如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空.

（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
（3）填空：∠OCB的度数为______.
20.(本小题6分)
为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填空：a的值为 ______，图①中m的值为 ______，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 ______和 ______；
（Ⅱ）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（Ⅲ）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，BF，∠ABD是△ABC的一个外角.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG.（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若BE=FE，证明：四边形AGBF是矩形.
22.(本小题6分)
露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力.某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车.已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元，用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍.
（1）求甲型房车和乙型房车的单价；
（2）若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆，为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少？
23.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径.
24.(本小题8分)
科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B到水面的距离BC=1.20m,点A处水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m.点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求的值（精确到0.1）.
参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.
25.(本小题10分)
问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为______；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
26.(本小题10分)
如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】4（a-3）2
10.【答案】m≥1
11.【答案】0
12.【答案】m＞-1
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】6
17.【答案】解：
=-3+2+-1-4×
=-2+-2
=-2-．
18.【答案】一；分式的分子和分母同乘相同的不等于0的数和式子，分式的值不变；
因式分解，平方差公式；任务二：乘法分配律；任务三：2x
19.【答案】解：（1）如图，OB为所作；
（2）如图，△COB为所作；

（3）45°
20.【答案】40 25 4h 3h
21.【答案】（1）解：如图，BG、AG为所作；
（2）证明：∵BG平分∠ABD，
∴∠ABG=∠DBG，
∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠DBG=∠EGB，
∴∠EGB=∠ABG，
∴EG=EB，
∵BE=FE，
∴EG=EF，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形AGBF是平行四边形，
∵AB=AE+BE，GF=GE+FE，
∴AB=GF，
∴四边形AGBF是矩形．
22.【答案】甲型房车的单价为8万元，乙型房车的单价为13万元；
当购买甲型房车12辆，购买乙型房车8辆时，总费用最低，最低费用为200万元．
23.【答案】见解析；
⊙O半径为．
24.【答案】解：过点E作EH⊥AD于点H，
由题意可知，∠CEB=α=36.9°，EH=1.20m,
∴（m），AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90（m），
∴=1.50（m），
∴，
∵=cos α=0.80，
∴．
25.【答案】解：（1）BC=DC+EC；
（2）BD2+CD2=2AD2，
理由如下：如图②，连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠ACB=90°,
即∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2；
（3）如图③，作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，
∴∠DAE=90°，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC =90°，AB=AC,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，
∴DE===6，
∵∠DAE=90°，
∴AD=AE=DE=6．
26.【答案】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y=时，即-x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，-m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y=-x+3，
设点Q的坐标为（m，-m+3），
PQ=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
OA=1，
AB=3-（-1）=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB OC+PQ OF+PQ FB
=×4×3+（-m2+3m）×3
=-（m-）2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，-m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
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