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2025-2026学年陕西省西安三中八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A. x2+3＞2x B. -3＞0 C. x-3＞2y D. 3y＞-3
2.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，延长CA到点D，则∠BAD的度数为（　　）
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
3.若m＞n,则下列不等式变形错误的是（　　）
A. m+3＞n+3 B. m-3＞n-3 C. D. 5-3m＞5-3n
4.把不等式-x+1≥-3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5.元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点
6.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　）
A. 两锐角都大于45° B. 有一个锐角小于45°
C. 有一个锐角大于45° D. 两锐角都小于45°
7.如图，直线l1：y=x+1和直线l2：y=mx+n相交于P（a,2），则不等式x+1≥mx+n解集为（　　）
A. x≤1
B. x≥2
C. x≥1
D. x≤2
8.如图，在△ABC中，∠BAC与∠EBC的平分线相交于点H，BE=BC，点D在AC的延长线上，HG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CH，下列结论：①∠ACB=2∠AHB；②S△HAC：S△HAB=AC：AB；③BH垂直平分CE；④∠HCF=∠CHF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（　　）
A. ①②④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.“m的3倍与2的和是负数”用不等式表示为 .
10.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .
11.小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买______瓶甲饮料．
12.若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围为 .
13.如图，∠AOB=30°，OC=4，点M为射线OB上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
解不等式：3x-1＜5（x+1），并将解集表在数轴上.
15.(本小题5分)
解不等式：.
16.(本小题5分)
解不等式组：，并写出它的所有整数解.
17.(本小题5分)
如图，∠AOB=60°，点C是OB边上一定点，利用尺规作图法在∠AOB内部求作一点D，使△OCD是以C为直角顶点的直角三角形，且.（不写作法，保留作图痕迹）
18.(本小题5分)
如图，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，E是AD上一点.求证：∠AEB=∠AEC.
19.(本小题5分)
已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
20.(本小题5分)
如图，已知△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，求BD的长.
21.(本小题6分)
已知方程组的解满足-1＜x+y≤3.
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax-x＞2a-1的解集为x＜1？
22.(本小题7分)
如图，BD，CE是△ABC的高，且BD=CE.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A=60°，AB=2，求△ABC的面积.
23.(本小题7分)
某学校老师暑假带领该校学生去旅游，甲旅行社说：“若老师买一张全票，则所有学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括老师在内都享受六折优惠.”若全票票价是1200元，设学生人数为x,甲旅行社收费为y甲元、乙旅行社收费为y乙元.
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
（2）请你讨论该学校选择哪一家旅行社更优惠？
24.(本小题8分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB=110°，∠OCD=60°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD.
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数.
25.(本小题8分)
某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，如表是近两天两种套餐的收入统计：
套餐
时间 数量 收入
A套餐 B套餐
第一天 20次 10次 2800元
第二天 15次 20次 3350元
（1）求这两款套餐的单价.
（2）A套餐的成本约为45元，B套餐的成本约为50元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应50个套餐，且A套餐的数量不少于B套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上获利的最大利润.
26.(本小题10分)
【问题提出】
（1）如图①，P为∠AOB内部的一个定点，OP=3，∠AOB=30°，M，N分别是OA，OB边上的两个动点，连接PM，PN，求△PMN的周长最小值；
【问题解决】
（2）如图②，C，A，B三个城市由三条主道路AC，AB，BC连接，已知，∠A=45°，AB=10，为缓解因汽车数量”井喷式“增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC，AB，AC上选取D，E，F处开口修建便捷通道，为了减小成本要使得便捷通道长度的总和DE+EF+FD最小，请你求出这个最小值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】3m+2＜0
10.【答案】8
11.【答案】3
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】x＞-3，．
15.【答案】x≥1．
16.【答案】-1＜x≤1，整数解为0、1．
17.【答案】如图，点D即为所求．

18.【答案】在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴∠AEB=∠AEC．
19.【答案】证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，

∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM=FN，
同理，FG=FN，
∴FM=FG，又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上．
20.【答案】．
21.【答案】-2≤a＜2 -2或-1或0
22.【答案】见解析
23.【答案】y甲=600x+1200，y乙=720x+720 当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；当0＜x＜4（x为整数）时，乙旅行社更优惠；当x＞4（x为整数）时，甲旅行社更优惠
24.【答案】△AOD是直角三角形，
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC（全等三角形对应边相等），∠ADC=∠BOC=150°（全等三角形对应角相等），
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°，
∵∠AOB=110°，α=150°，
∴∠AOD=360°-110°-150°-60°=40°，
∵∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∴∠OAD=50°，
∴∠AOD≠∠OAD，
∴△AOD是直角三角形 α=110°或125°或140°
25.【答案】解：（1）设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A套餐的单价为90元，B套餐的单价为100元；
（2）设供应A套餐m个，则供应B套餐（50-m）个，
由题意得：m≥（50-m），
解得：m≥，
设火锅店每天的总利润为w元，
则w=（90-45）m+（100-50）（50-m），
∴w=-5m+2500，
∵-5＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m=9时，w取得最大值，最大值=-5×9+2500=2455，
答：火锅店每天在这两种套餐上获利的最大利润为2455元．
26.【答案】3
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