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浙江省宁波市余姚市2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1． 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，8
C．4，5，9 D．5，6，12
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长度为2，3，4的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
∴长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
∴长度为4，5，9的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
∴长度为5，6，12的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选： A.
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
2． 在人工智能飞速发展的今天，各类AI软件已深入我们的学习与生活.以下4款常见的AI软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选： D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3． 若等腰三角形的顶角为，则它的底角为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为8
∴底角
故选： B.
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数.
4． 在平面直角坐标系中，点M(，)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，
∵第三象限点的坐标特征是(-，-)，
∴点M(-3，-2)所在的象限为第三象限，
故选： C.
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限的点的坐标特征，即可解答.
5． 若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：当c=0时，不等式a>b的两边同时乘以c得ac=bc，故选项不正确；
B：不等式a>b的两边同时加上c得a+c>b+c，故选项正确；
C：不等式a>b的两边同时乘-1，再加上c得c-aD：当a>b>0时，不等式a>b的两边同时平方得a2故选：B.
【分析】根据不等式的性质“不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断解答即可.
6． 关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象经过（1，0）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、三、四象限
D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当x=1时y=-2+4=2≠0，图象不过(1，0)，故A错误；
∵k=-2<0，y随x的增大而减小，故B错误；
∵k=-2<0，b=4>0，∴函数图象经过一、二、四象限，故C错误；
∵直线过(1，2)且y随x的增大而减小，∴ 当时， ，故D正确，
故选：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断解答即可.
7． 下列命题中，是假命题的是（　　）
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
A：有两边和夹角分别相等的两个三角形全等 ，故原命题是假命题；
B：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题；
C：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ，是真命题；
D：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题；
故选：C.
【分析】根据全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的中线性质、三角形的外角性质判断解答即可.
8． 一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分。小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　）
A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，
依题意，得：5x-2(20-1-x)>80，
解得：
∵x为正整数，
∴x的最小值为17.
即最少答对17题，
∴小聪至多答错了3道题.
故答案为：B.
【分析】设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论.
9． 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量 （W·h）与骑行里程 （km）之间的关系如图。当电池剩余能量小于100W·h时，摩托车将自动报警。根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．电池能量最多可充600W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W·h
C．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
D．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，当x=0km时， ∴电池能量最多可充500W·h，故A错误；
∴摩托车每行驶10km消耗能量200W·h， 故B错误；
(500-100)÷20=20(km)，
∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故C错误；
由图象可得，当x=25km时，
∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故D正确；
故选： D.
【分析】根据图象中的数据逐项求解判断即可.
10． 中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理。它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 拼成的大正方形 。如图，连结 ，，若 ，则 与正方形 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，
又∵AF⊥DE，
∴DF=FE，
设正方形GHEF的边长为a，
则正方形ABCD的面积为，
设BG与AE交于点M，
又∵AF∥EH，
∴∠GAH=∠HEA，∠AGM=∠EHM，
又∵AG=EH，
∴△MGA≌△MHE，
∴，
∴
∴ 与正方形 的面积之比为，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到AD=AB=AE，然后根据三线合一得到DF=FE，设正方形GHEF的边长为a，表示正方形ABCD的面积，然后根据求出△AEB的面积，然后求比值解答即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 若点 在正比例函数 的图象上，则 的值为 　 　 。
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： 把(1，3)代入y=kx中，得到k=3，
故答案为：3.
【分析】把(1，3)代入解析式计算即可.
12． “两直线平行，同位角相等”的逆定理是　 　 。
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行.
【分析】把原定理得题设和结论交换位置解答即可.
13． 如图，， 交于点 ，点 是 的中点，请添加一个条件： 　 　 使 。
【答案】DF=DE（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加DF=DE，
∵ 是 的中点，
∴BD=AD，
又∵∠BDF=∠ADE，
∴△BDF≌△ADE，
故答案为：DF=DE.
【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可.
14． 如图，在 中，，，，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，再分别以 、 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，，作直线 分别交 、 于点 、，则线段 的长为 　 　 。
【答案】2
【知识点】勾股定理；线段的中点；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，AD=AC=6，DE=BE，
在 中，
故答案为：2.
【分析】先根据勾股定理求出AB长，然后根据作图求出AD长，即可得到BD长，再根据垂直平分线的性质求出BE长即可.
15． 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”。那么函数与的“对偶值”为 　 　。
【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P的坐标为(x，2x+4)，则点Q的坐标为(-x，2x+4)，
又∵点Q在y2上，
∴x+1=2x+4，
解得x=-3，
∴“对偶值”为2×(-3)+4=-2，
故答案为：-2.
【分析】设点P的坐标为(x，2x+4)，根据对称性得到点Q的坐标为(-x，2x+4)，然后代入 求出x的值，即可求出“对偶值”解答即可.
16． 如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点。作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 　 　。
【答案】(4，3)，(-24，24)，(，)
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；等积变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=6，
∴点A的坐标为(0，6)，
令y=0，则，解得x=8，
∴点B的坐标为(0，8)，
∴AB=，
设OP=x，则点P到AB的距离为x，
∵，即，
解得x=3，即OP=3，
如图，当∠DPC=90°，且DP=PC，过点D作DE⊥OB于点E，
则∠COP=∠DPC=∠DEP=90°，
∴∠OCP+∠OPC=∠DPE+∠CPO=90°，
∴∠OCP=∠DPE，
∴△OCP≌△EPD，
∴DE=OP=3，
令y=3，则，解得x=4，
∴点D的坐标为(4，3)；
如图，当∠CDP=90°且DC=DP，过点D作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
则∠AED=∠DFO=∠CDF=∠EOF=90°，
∴∠EDF=∠CDP=90°，
∴∠CDE≌△PDF，
∴DE=DF，即，
解得，
∴点D的坐标为；
如图，∠PDC=90°，且DC=PD，过点D作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
同理可得DF=DE，即，
解得x=-24，
∴点D的坐标为(-24，24)；
综上所述，点D的坐标为(4，3)，(-24，24)，(，)，
故答案为：(4，3)，(-24，24)，(，).
【分析】先求出直线与x轴、y轴交点坐标，然后根据三角形的面积求出OP长，再分为三种情况，构造全等三角形，根据对应边相等列方程求出x的值解答即可.
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
移项，得，
合并同类项，得
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）先分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，把线段平移到线段位置，若点的坐标为。
（1）点的坐标为　 　。
（2）求线段与轴的交点坐标。
【答案】（1）(3，)
（2）设线段CD的函数表达式为。
把，代入，
得，解得，
所以线段CD的函数表达式为。
令，则，
∴直线与轴的交点坐标；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据点A到点C的平移可得点D的坐标为(4-1，0-2)，即(3，-2)，
故答案为：(3，-2)；
【分析】（1）根据平移的点的坐标特征解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出直线与x轴交点的坐标即可；
19．如图，已知线段，，。
（1）用直尺和圆规作，使，，（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）若，，，请你判断为何种特殊三角形，并说明理由。
【答案】（1）解：
（2） 为直角三角形。理由如下：
因为 ，
所以 ，
所以 为直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）在射线上截取AB=c，分别以A，B为圆心，b，a为半径作弧交于点C，连接AC，BC得到△ABC即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可.
20．如图，在四边形中，，为对角线，，。
（1）求证：。
（2）当时，求证：是等边三角形。
【答案】（1）证明： 在 和 中，
所以 （SSS）
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等边三角形
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三边相等证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到△BCD是等腰直角三角形哪个，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到结论.
21．近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目。某城区计划建设、两种换电站共15座，已知建设1座种换电站需投资50万元，1座种换电站需投资80万元。设建设种换电站座，总投资为万元。
（1）求关于的函数表达式；
（2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的2倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）解：
（2）解： 因为要求A种换电站的数量不超过B种换电站数量的2倍，
所以，解得；
因为一次函数中，y随x的增大而减小，
所以当时，。
答：建设10座A种换电站可使投资总额最少，为900万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总投资等于甲、乙两种换点站的投资和解答即可；
（2）先根据题意得到x的取值范围，然后根据函数的增减性求出最小值解答即可.
22．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，中，°，，中，°，°，，。
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求的度数及线段AC的长。
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图②)。
①求线段AD的长。
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由。
【答案】（1）解： ∠AFD=∠CDE-∠A。
在Rt△中，∠E=，
所以，
所以；
设，在ABC中，，
因为，解得，即
（2）解： ①过点作于点。
在中，，，
所以，
所以；
在中，，
所以；
②。理由如下：
因为，，
所以；
又因为，
所以，即
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
（2）①过点作于点，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求差AH长，再根据线段的和差解答即可；
②得到CH=AH，再等边对等角求出∠CAH的度数，即可证明结论.
23．已知一次函数（）过定点（2，0），另一个一次函数为。
（1）请你判断是否过定点，并说明理由。
（2）点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数和的图象上，求证：。
（3）设函数，当时，函数y有最大值12，求a的值。
【答案】（1）解：因为一次函数过定点，
所以，；
当时，，
所以一次函数过定点
（2）解： 因为点和点分别在一次函数和的图象上，
所以，，即；
因为，所以；
因为，所以，即
（3）解：，
①若，随的增大而增大，当时，，解得；
②若，随的增大而减小，当时，，解得；
所以的值为或
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把（2，0）代入一次函数 得到b=-2a，然后代入 ，令求出y值解答即可；
（2）把和点代入一次函数和的解析式，然后整理计算即可；
（3）求出y关于x的函数解析式，然后分为a>0和a<0，利用函数的增减性得到最大值，列方程求出a的值解答即可.
24．已知等边三角形ABC，点D是射线BA上一点(不与A、B重合)，作，交射线CB于点E。
（1）如图①，当点D在线段AB上时，小明同学发现AD与BE始终相等。他的证明思路是：“过点D作，交AC于点F，可得为等边三角形，然后可证，从而得到。”请你根据小明的思路写出完整的证明过程。
（2）若点G为CD的中点，连结AG。
①当点D在线段BA上时，如图②，连结AE，求证：，
②当点D在线段BA的延长线上时，如图③，若，求AG的最小值。
【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，
所以是等边三角形，所以。
因为，
所以。
因为，所以，
又因为，所以，
所以。
在△CDF和中，
，，，
所以△CD(AAS)，
所以DF=BE。
又因为AD=DF，
所以AD=BE。
（2）解： ①延长AG至点H，使得，连结CH；
在△ADG和中，
AG=HG，，，
所以△AD(SAS)，
所以CH=，；
因为∠AD° °，
所以∠HC°，即°，
所以∠AC；
在△AEB和中，
BE=CH，，，
所以△AE(SAS)，所以
②过点E作，交AB于点J。
由(1)可得，，
所以EJ=；
延长AG至点I，使得，连结CI。
由(2)①可得，，
所以CI=，。
因为∠AD° °，
所以∠IC°，即°，
所以∠AC；
连结AE，在和中，
BE=CH，，，
所以△AE(SAS)，
所以AE=，
当AE⊥BC时，AE取到最小值，
所以AG的最小值为。
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据小明的思路证明AD =BE，即过点D作DF//BC，利用等边三角形的性质可证△ADF为等边三角形，再通过角的等量代换找到相等角， 利用AAS证明△CDF与△DEB全等， 从而得到结论即可；(2)①延长AG至M， 使GM = AG， 得到△DGM≌△CGA (SAS) ， 即可得到DM = AC = AB；然后推理得到 △ADM≌△EBA (SAS) ， 得AM = AE， 即可证明结论；
②取AC的中点O，连接OG，利用中位线定理可得OG//AD且 由于D在BA延长线上，OG方向固定，因此AG的最小值为点A到直线OG的垂线段长度，结合等边三角形的性质即可求出该最小值.
1 / 1浙江省宁波市余姚市2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1． 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，8
C．4，5，9 D．5，6，12
2． 在人工智能飞速发展的今天，各类AI软件已深入我们的学习与生活.以下4款常见的AI软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 若等腰三角形的顶角为，则它的底角为（　　）
A． B．
C． D．
4． 在平面直角坐标系中，点M(，)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5． 若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
6． 关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象经过（1，0）
B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、三、四象限
D．当时，
7． 下列命题中，是假命题的是（　　）
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
8． 一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分。小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　）
A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题
9． 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量 （W·h）与骑行里程 （km）之间的关系如图。当电池剩余能量小于100W·h时，摩托车将自动报警。根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．电池能量最多可充600W·h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W·h
C．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
D．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
10． 中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理。它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 拼成的大正方形 。如图，连结 ，，若 ，则 与正方形 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 若点 在正比例函数 的图象上，则 的值为 　 　 。
12． “两直线平行，同位角相等”的逆定理是　 　 。
13． 如图，， 交于点 ，点 是 的中点，请添加一个条件： 　 　 使 。
14． 如图，在 中，，，，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，再分别以 、 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，，作直线 分别交 、 于点 、，则线段 的长为 　 　 。
15． 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”。那么函数与的“对偶值”为 　 　。
16． 如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点。作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 　 　。
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
18．如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，把线段平移到线段位置，若点的坐标为。
（1）点的坐标为　 　。
（2）求线段与轴的交点坐标。
19．如图，已知线段，，。
（1）用直尺和圆规作，使，，（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）若，，，请你判断为何种特殊三角形，并说明理由。
20．如图，在四边形中，，为对角线，，。
（1）求证：。
（2）当时，求证：是等边三角形。
21．近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目。某城区计划建设、两种换电站共15座，已知建设1座种换电站需投资50万元，1座种换电站需投资80万元。设建设种换电站座，总投资为万元。
（1）求关于的函数表达式；
（2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的2倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
22．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图，中，°，，中，°，°，，。
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求的度数及线段AC的长。
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图②)。
①求线段AD的长。
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由。
23．已知一次函数（）过定点（2，0），另一个一次函数为。
（1）请你判断是否过定点，并说明理由。
（2）点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数和的图象上，求证：。
（3）设函数，当时，函数y有最大值12，求a的值。
24．已知等边三角形ABC，点D是射线BA上一点(不与A、B重合)，作，交射线CB于点E。
（1）如图①，当点D在线段AB上时，小明同学发现AD与BE始终相等。他的证明思路是：“过点D作，交AC于点F，可得为等边三角形，然后可证，从而得到。”请你根据小明的思路写出完整的证明过程。
（2）若点G为CD的中点，连结AG。
①当点D在线段BA上时，如图②，连结AE，求证：，
②当点D在线段BA的延长线上时，如图③，若，求AG的最小值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
∴长度为2，3，4的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
∴长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
∴长度为4，5，9的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
∴长度为5，6，12的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选： A.
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选： D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为8
∴底角
故选： B.
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，
∵第三象限点的坐标特征是(-，-)，
∴点M(-3，-2)所在的象限为第三象限，
故选： C.
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限的点的坐标特征，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：当c=0时，不等式a>b的两边同时乘以c得ac=bc，故选项不正确；
B：不等式a>b的两边同时加上c得a+c>b+c，故选项正确；
C：不等式a>b的两边同时乘-1，再加上c得c-aD：当a>b>0时，不等式a>b的两边同时平方得a2故选：B.
【分析】根据不等式的性质“不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断解答即可.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当x=1时y=-2+4=2≠0，图象不过(1，0)，故A错误；
∵k=-2<0，y随x的增大而减小，故B错误；
∵k=-2<0，b=4>0，∴函数图象经过一、二、四象限，故C错误；
∵直线过(1，2)且y随x的增大而减小，∴ 当时， ，故D正确，
故选：D.
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项判断解答即可.
7．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
A：有两边和夹角分别相等的两个三角形全等 ，故原命题是假命题；
B：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是真命题；
C：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ，是真命题；
D：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题；
故选：C.
【分析】根据全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的中线性质、三角形的外角性质判断解答即可.
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，
依题意，得：5x-2(20-1-x)>80，
解得：
∵x为正整数，
∴x的最小值为17.
即最少答对17题，
∴小聪至多答错了3道题.
故答案为：B.
【分析】设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，当x=0km时， ∴电池能量最多可充500W·h，故A错误；
∴摩托车每行驶10km消耗能量200W·h， 故B错误；
(500-100)÷20=20(km)，
∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故C错误；
由图象可得，当x=25km时，
∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故D正确；
故选： D.
【分析】根据图象中的数据逐项求解判断即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，
又∵AF⊥DE，
∴DF=FE，
设正方形GHEF的边长为a，
则正方形ABCD的面积为，
设BG与AE交于点M，
又∵AF∥EH，
∴∠GAH=∠HEA，∠AGM=∠EHM，
又∵AG=EH，
∴△MGA≌△MHE，
∴，
∴
∴ 与正方形 的面积之比为，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到AD=AB=AE，然后根据三线合一得到DF=FE，设正方形GHEF的边长为a，表示正方形ABCD的面积，然后根据求出△AEB的面积，然后求比值解答即可.
11．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： 把(1，3)代入y=kx中，得到k=3，
故答案为：3.
【分析】把(1，3)代入解析式计算即可.
12．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行.
【分析】把原定理得题设和结论交换位置解答即可.
13．【答案】DF=DE（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加DF=DE，
∵ 是 的中点，
∴BD=AD，
又∵∠BDF=∠ADE，
∴△BDF≌△ADE，
故答案为：DF=DE.
【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可.
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；线段的中点；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，AD=AC=6，DE=BE，
在 中，
故答案为：2.
【分析】先根据勾股定理求出AB长，然后根据作图求出AD长，即可得到BD长，再根据垂直平分线的性质求出BE长即可.
15．【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点P的坐标为(x，2x+4)，则点Q的坐标为(-x，2x+4)，
又∵点Q在y2上，
∴x+1=2x+4，
解得x=-3，
∴“对偶值”为2×(-3)+4=-2，
故答案为：-2.
【分析】设点P的坐标为(x，2x+4)，根据对称性得到点Q的坐标为(-x，2x+4)，然后代入 求出x的值，即可求出“对偶值”解答即可.
16．【答案】(4，3)，(-24，24)，(，)
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；等积变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=6，
∴点A的坐标为(0，6)，
令y=0，则，解得x=8，
∴点B的坐标为(0，8)，
∴AB=，
设OP=x，则点P到AB的距离为x，
∵，即，
解得x=3，即OP=3，
如图，当∠DPC=90°，且DP=PC，过点D作DE⊥OB于点E，
则∠COP=∠DPC=∠DEP=90°，
∴∠OCP+∠OPC=∠DPE+∠CPO=90°，
∴∠OCP=∠DPE，
∴△OCP≌△EPD，
∴DE=OP=3，
令y=3，则，解得x=4，
∴点D的坐标为(4，3)；
如图，当∠CDP=90°且DC=DP，过点D作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
则∠AED=∠DFO=∠CDF=∠EOF=90°，
∴∠EDF=∠CDP=90°，
∴∠CDE≌△PDF，
∴DE=DF，即，
解得，
∴点D的坐标为；
如图，∠PDC=90°，且DC=PD，过点D作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
同理可得DF=DE，即，
解得x=-24，
∴点D的坐标为(-24，24)；
综上所述，点D的坐标为(4，3)，(-24，24)，(，)，
故答案为：(4，3)，(-24，24)，(，).
【分析】先求出直线与x轴、y轴交点坐标，然后根据三角形的面积求出OP长，再分为三种情况，构造全等三角形，根据对应边相等列方程求出x的值解答即可.
17．【答案】（1）解：
移项，得，
合并同类项，得
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）先分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
18．【答案】（1）(3，)
（2）设线段CD的函数表达式为。
把，代入，
得，解得，
所以线段CD的函数表达式为。
令，则，
∴直线与轴的交点坐标；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：根据点A到点C的平移可得点D的坐标为(4-1，0-2)，即(3，-2)，
故答案为：(3，-2)；
【分析】（1）根据平移的点的坐标特征解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出直线与x轴交点的坐标即可；
19．【答案】（1）解：
（2） 为直角三角形。理由如下：
因为 ，
所以 ，
所以 为直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）在射线上截取AB=c，分别以A，B为圆心，b，a为半径作弧交于点C，连接AC，BC得到△ABC即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可.
20．【答案】（1）证明： 在 和 中，
所以 （SSS）
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等边三角形
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三边相等证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到△BCD是等腰直角三角形哪个，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到结论.
21．【答案】（1）解：
（2）解： 因为要求A种换电站的数量不超过B种换电站数量的2倍，
所以，解得；
因为一次函数中，y随x的增大而减小，
所以当时，。
答：建设10座A种换电站可使投资总额最少，为900万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总投资等于甲、乙两种换点站的投资和解答即可；
（2）先根据题意得到x的取值范围，然后根据函数的增减性求出最小值解答即可.
22．【答案】（1）解： ∠AFD=∠CDE-∠A。
在Rt△中，∠E=，
所以，
所以；
设，在ABC中，，
因为，解得，即
（2）解： ①过点作于点。
在中，，，
所以，
所以；
在中，，
所以；
②。理由如下：
因为，，
所以；
又因为，
所以，即
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可；
（2）①过点作于点，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求差AH长，再根据线段的和差解答即可；
②得到CH=AH，再等边对等角求出∠CAH的度数，即可证明结论.
23．【答案】（1）解：因为一次函数过定点，
所以，；
当时，，
所以一次函数过定点
（2）解： 因为点和点分别在一次函数和的图象上，
所以，，即；
因为，所以；
因为，所以，即
（3）解：，
①若，随的增大而增大，当时，，解得；
②若，随的增大而减小，当时，，解得；
所以的值为或
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把（2，0）代入一次函数 得到b=-2a，然后代入 ，令求出y值解答即可；
（2）把和点代入一次函数和的解析式，然后整理计算即可；
（3）求出y关于x的函数解析式，然后分为a>0和a<0，利用函数的增减性得到最大值，列方程求出a的值解答即可.
24．【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，
所以是等边三角形，所以。
因为，
所以。
因为，所以，
又因为，所以，
所以。
在△CDF和中，
，，，
所以△CD(AAS)，
所以DF=BE。
又因为AD=DF，
所以AD=BE。
（2）解： ①延长AG至点H，使得，连结CH；
在△ADG和中，
AG=HG，，，
所以△AD(SAS)，
所以CH=，；
因为∠AD° °，
所以∠HC°，即°，
所以∠AC；
在△AEB和中，
BE=CH，，，
所以△AE(SAS)，所以
②过点E作，交AB于点J。
由(1)可得，，
所以EJ=；
延长AG至点I，使得，连结CI。
由(2)①可得，，
所以CI=，。
因为∠AD° °，
所以∠IC°，即°，
所以∠AC；
连结AE，在和中，
BE=CH，，，
所以△AE(SAS)，
所以AE=，
当AE⊥BC时，AE取到最小值，
所以AG的最小值为。
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据小明的思路证明AD =BE，即过点D作DF//BC，利用等边三角形的性质可证△ADF为等边三角形，再通过角的等量代换找到相等角， 利用AAS证明△CDF与△DEB全等， 从而得到结论即可；(2)①延长AG至M， 使GM = AG， 得到△DGM≌△CGA (SAS) ， 即可得到DM = AC = AB；然后推理得到 △ADM≌△EBA (SAS) ， 得AM = AE， 即可证明结论；
②取AC的中点O，连接OG，利用中位线定理可得OG//AD且 由于D在BA延长线上，OG方向固定，因此AG的最小值为点A到直线OG的垂线段长度，结合等边三角形的性质即可求出该最小值.
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