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2025－2026学年度初三一模试卷
数学
答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数与3在数轴上表示的点到原点的距离相等的是（ ）
A．2 B．3 C．0 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，已知中，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，将线段绕点顺时针旋转交双曲线于点，连接，则的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．因式分解：__________．
10．“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在19.6亿年前仍存在岩浆活动．数据19.6亿用科学记数法表示为__________．
11．如图，是的直径，是的弦，，则__________．
12．当__________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
13．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________．
14．函数（是常数，且）与（是常数，且）交于、两点，则时，自变量的取值范围是__________．
15．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是__________．
16．已知，则__________．
17．如图，是边长为6等边三角形，、分别是边、上的动点，满足，连接，在的左侧作等边三角形，则的最小值是__________．
18．如图，点从原点出发，每次一个单位长度，沿“（0，0）→（1，0）→（1，1）→（2，1）→（2，2）→（3，2）→（3，1）→（4，1）→（4，0）→（5，0）→…”的“凸”字形路线运动，则运动第2026次的位置坐标为__________．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）
计算：．
20．（本题满分8分）
求不等式组的整数解．
21．（本题满分8分）
如图，点是线段的中点，点、在的同侧，．
（1）求证：≌；
（2）连接，求证：四边形为平行四边形．
22．（本题满分8分）
在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）．
（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（2）（3）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3.5 1.05
乙商家 4 1.24
（2）直接写出表中和的值，并求的值；
（3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
23．（本题满分10分）
2026年“五一”假期将至，宿迁各旅游景区持续火热．小明和小芳准备到三台山、骆马湖风景区、项王故里、袁家村、皂河龙运城（分别记作、、、、）等景区参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中三台山的概率是__________．
（2）小明和小芳在、、三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小芳选到相同景区的概率．
24．（本题满分10分）
如图，是的直径，弦与相交于点，过点做交的延长线于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
25．（本题满分10分）
综合与实践：下面是求知小组研学报告，请认真阅读，并完成任务．
研学目的 测量我区第一高楼“京东智慧城”9号办公楼的高度．
实景说明 “京东智慧城”9号办公楼目前是宿迁第一高楼，坐落于宿豫区东部新城，紧邻宿迁电子商务产业园，共33层，设计上采用“双筒+环廊”结构，塔楼外观造型呈现为“J”字形，呼应“京东”品牌，象征着企业与城市共生的未来愿景．
测量示意图
方案说明 9号楼底部与点、依次在同一条水平直线上，，且m．在处测得9号楼顶部的仰角为，在处测得9号楼顶部的仰角为，m．
任务说明 根据研学方案计算9号楼的高度（结果取整数）．参考数据：．
26．（本题满分10分）
春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价（元/张） 42 60
售出电影票数量（张） 156 84
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
27．（本题满分12分）
如图1，已知∽，，，可绕点旋转，连接、．
（1）求证：∽；
（2）如图2，若，当点在直线下方且、、三点在一条直线上时，求线段的长；
（3）如图3，若，延长交于点，，求的度数．
28．（本题满分12分）
定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“均衡点”，例如点（1，1）是函数的图象的“均衡点”．
（1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“均衡点”的函数是__________；（填序号）
（2）设函数与的图象的“均衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．若，求的值；
（3）若将函数的图象绕轴上一点旋转，点在（0，1）的上方，旋转后的图象上恰有点1个“均衡点”时，求点的坐标．

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