资源简介

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2025—2026学年度第二学期教学质量监测
九年级数学试题
本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．－2 B．|－4| C．－（－1） D．0
2．从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期9天（2月15日至23日），全市累计接待游客2540700人次，较2025年春节假期8天增长18.2%，实现旅游收入25.51亿元、增长27.6%．数据2540700用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，－3） C．（－3，－2） D．（3，－2）
4．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如题图所示是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，错误的是（ ）
A． B．±＝±3 C． D．
6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．140° B．130° C．110° D．100°
7．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆：
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（ ）
A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度
C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间
10．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接BD，CD， 以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．计算：＝______．
12．写出一条抛物线共有的性质：______．
13．如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______．
14．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为______cm．
15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为______cm．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为．
（1）求出曲线CD所在的函数关系式；
（2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？
17．下面是两位同学解方程组的做法：
善善的做法： 由方程①，得x＝y＋4③． 将方程③代入②，得：3（y＋4）＋2y＝7，解得y＝－1． 把y＝－1代入③，得x＝3． ∴方程组的解为 美美的做法： 由①×2，得2x－2y＝4③． 由②＋③，得5x＝11， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题：
（1）善善的消元方法是______；美美的消元方法是______．
（2）判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点P．
（1）用尺规作图法作线段BC的中点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接PD．求证：PD是⊙O的切线．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：
A．90≤x≤100，B．80≤x＜90，C．70≤x＜80，D．60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息．
八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
年级 平均数 众数 中位数
八年级 88 a 90
九年级 88 94 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝______，b＝______，m＝______．
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可）
（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？
20．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
命题1：BE＝DF．
命题2：连接DE，BF，若AC＝2BD，则四边形DEBF是矩形．
命题3：连接DE，BF，若AB＝BC，则四边形DEBF是菱形．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
21．现有一台红外线理疗灯（如－1图所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成．A，B，C三点在同一直线上．－2图是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．
（1）填空：∠1＝______°，∠2＝______°；
（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．－1图、－2图是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你解答：
（1）【问题一】如－1图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．交AB于点E．交BC于点F．则AE与BF的数量关系为________．
（2）【问题二】受－1图启发，兴趣小组画出了－3图：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n．若正方形ABCD的边长为8，试猜想四边形OEAG的面积，并写出解答过程．
（3）【问题三】受－2图启发，兴趣小组画出了－4图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．
23．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】
例如：点A（1，3）在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2．函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1．当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【理解与运用】
根据定义，解答下列问题：
（1）点B（－6，2）的“纵横值”为______；若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5，则c的值为______．
（2）若二次函数的顶点在直线上，且“最优纵横值”为5，求m的值．
（3）若二次函数的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
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九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．A 2．A 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．B 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．0 12．顶点是（0，0）（或对称轴是y轴）（答案不唯一）
13． 14．3.6
15．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解：（1）设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0）．
把点C（25，40）代入，得k＝1000．∴曲线CD所在的函数关系式为．
（2）当时，．当时，．
∵，∴第30min时学生的注意力更集中．
17．（1）代入消元法 加减消元法
（2）解：美美
正确解答如下：
由①×2，得2x－2y＝8③．由②＋③，得5x＝15，
解得x＝3．把x＝3代入①，得y＝－1．∴方程组的解为
18．（1）解：如－1图，点D即为所求．
（2）证明：如－2图，连接PD，OP，BP．
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°．∴∠CPB＝90°．
∵点D为BC的中点，∴PD＝CD＝BD．∴∠DPB＝∠DBP．
∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP．∴∠OPD＝∠OPB＋∠DPB＝∠OBP＋∠DBP＝∠ABC＝90°．
∵OP为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（1）93 87.5 30
（2）解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，八年级的中位数高于九年级（答案不唯一，合理即可）．
（3）解：根据题意，得（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人．
20．解：命题1、命题2、命题3都是真命题．具体证明如下：
命题1：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC．
∴∠BAE＝∠DCF．∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE＝OA，CF＝OC．∴AE＝CF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．∴BE＝DF．
命题2：如图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC．
∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．∴四边形DEBF是平行四边形．∵AC＝2BD，
∴EF＝BD．∴四边形DEBF是矩形．
命题3：如上图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
OD＝OB，OA＝OC．∴AC⊥BD．∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．∴OE＝OF．∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形．
（判断命题是真命题得1分，正确证明一个命题得4分）
21．（1）64 53
（2）解：如图，延长AC交l于点G，延长ME交l于点H．
∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，∴∠HED＝37°．
在Rt△EDH中，DE＝30cm，，
∴EH＝DE·cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）．
∵EM＝50cm，∴MH＝EM＋EH≈50＋24＝74（cm）．
∴AG＝MH≈74cm．∵AC＝AB＋BC＝12＋26＝38（cm），
∴CG＝AG－AC≈74－38＝36（cm）．在Rt△CGD中，
∠GCD＝90°－∠1＝26°，，
∴（cm）．
答：此时理疗灯灯帽D的高度约为74cm，伸缩杆CD的长度约为40cm．（直接写出伸缩杆的长度即可得2分）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．（1）AE＝BF
（2）猜想四边形OEAG的面积为16．
如－1图，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R．
∵点O是正方形ABCD的对称中心，∴AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD．
又∵∠A＝90°，∴四边形ATOM是正方形．
∴．
易证△OME≌△OTG（ASA）．∴．
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形．
①当∠AFP＝90°时，如－2图，延长EF，AD相交于点Q．
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴EQ＝AB＝6，
∠BAD＝∠B＝∠E＝90°．∴四边形ABEQ是矩形．
∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°．
∴∠EFP＋∠EPF＝90°．∵∠AFP＝90°，∴∠EFP＋∠AFQ＝90°．
∴∠EPF＝∠AFQ．∴△EFP∽△QAF．∴．
∵QF＝EQ－EF＝4，∴．∴EP＝1．∴BP＝BE－EP＝7．
②当∠APF＝90°时，如－3图，
同①可证得△ABP∽△PEF．∴．∵PE＝BE－BP＝8－BP，
∴．∴BP＝2或BP＝6．
③当∠PAF＝90°时，如－4图，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD相交于点N．
同①可证得四边形ABPM是矩形．∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°．
同①可证得四边形ABEN是矩形．∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6．
∴FN＝EN－EF＝4．同①可证得△AMP∽△FNA．∴．
∴．∴BP＝AM＝3．综上所述，BP的长度为2或3或6或7．
23．（1）8 5
（2）解：由已知得，解得b＝3．
∴二次函数的解析式为．
∴二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
∵“最优纵横值”为5，∴m＋1＝5，∴m＝4．
（3）解：∵二次函数的顶点（h，k）在直线y＝x＋9上，
∴k＝h＋9．∴．
∴函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
令w＝y－x，则，
其对称轴为．当时，即，
在x＝－1时，w＝7，，
解得h＝－2或h＝1（不合题意，舍去）．
当时，即，
，
此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去．
当时，即，在x＝4时，w＝7，
，解得h＝6或h＝3（不合题意，舍去）．
综上所述，h的值为－2或6．
【说明】此答案仅为参考答案，具体答题过程中学生有可能出现多种解答方案，评卷时请根据具体情况灵活处理．

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