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余干六中2025-2026学年七年级下册数学期中素养训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．对下列生活现象解释正确的是（ ）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线
B．小朋友荡秋千：平移运动
C．挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固：两点之间，线段最短
D．体育课上测量跳远成绩：垂线段最短
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2026，2026）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5. 下列各式正确的是(　 )
A. ＝±4 B. ＝－3 C. ±＝±9 D. ＝2
6．传统版本俄罗斯方块的游戏区域为10列行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点A与已经垒起来的方块缺口顶点B重合，从而消除方块获得积分，她的操作应该是（ ）
A．向左平移4个格子 B．向左平移3个格子 C．向左平移2个格子 D．向左平移1个格子
（第6题） （第7题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是__________________．
8．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则m的值是__________．
9．已知是方程的一组解，则m的值为______．
10. 命题“同位角相等”是_________命题（填“真”或“假”）．
11．领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则______°．
12. 如图，三角形在平面直角坐标系中，轴，轴，且，．为三角形内一点，将三角形平移，当平移后得到的三角形的一顶点落在原点上时，点的对应点的坐标为，则点的坐标为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
(2) 如图，直线，，已知，，求的度数．
14．《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知的算术平方根是的立方根为．
(1)求的值． (2)求的平方根．
15．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）．
(1)整数车厢 ．（填序号）
(2)负分数车厢 ．（填序号）
(3)无理数车厢 ．（填序号）
16．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为．
(1)求证：；
(2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数．
17. 解方程组：
（1） （2）
四、解答题（本天题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目：
（1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整；
（2）如图2，若，，证明：．
(1)证明：（已知），
①__________________（两直线平行，内错角相等）
（已知），
②__________________（③__________________）
（④__________________）
(2)模仿（1）题，写出推理过程．
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为．
(1)请你根据题意，补充原点O和y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
20. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
（1）若点A在轴上，求出点A的坐标；
（2）点B的坐标为，若轴，求A、B两点之间的距离．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）点，，中，不是“理想点”的是_____．
（2）若点是“理想点”，求x的值．
（3）是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上．
(1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)点C到x轴的距离为 ；
(3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出；
(4)求的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在三角形中，，，．
（1）当三角形和平行线的位置如图1时，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
余干六中2025-2026学年七年级下册数学期中素养训练(答案）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ B ）
A． B． C． D．
2．对下列生活现象解释正确的是（ D ）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线
B．小朋友荡秋千：平移运动
C．挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固：两点之间，线段最短
D．体育课上测量跳远成绩：垂线段最短
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2026，2026）所在的象限是（　B　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．的平方根是（ D ）
A． B． C． D．
5. 下列各式正确的是(　 C )
A. ＝±4 B. ＝－3 C. ±＝±9 D. ＝2
6．传统版本俄罗斯方块的游戏区域为10列行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点A与已经垒起来的方块缺口顶点B重合，从而消除方块获得积分，她的操作应该是（ B ）
A．向左平移4个格子 B．向左平移3个格子 C．向左平移2个格子 D．向左平移1个格子
（第6题） （第7题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．如图所示的是某款式角花的局部示意图，若，则的依据是__对顶角相等__．
8．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则m的值是__49__．
9．已知是方程的一组解，则m的值为__5__．
10. 命题“同位角相等”是__假__命题（填“真”或“假”）．
11．领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则_135_°．
12. 如图，三角形在平面直角坐标系中，轴，轴，且，．为三角形内一点，将三角形平移，当平移后得到的三角形的一顶点落在原点上时，点的对应点的坐标为，则点的坐标为__或或_．
解：设点的坐标为．
由于轴且，点的坐标为；
同理，轴且，点的坐标为．
①平移后三角形的顶点位于原点，说明向左平移个单位，向下平移个单位，
点平移后的对应点的坐标为．
根据题意，的坐标为，因此：
，解得：，因此，点的坐标为．
②平移后三角形的顶点位于原点，
由点的对应点的坐标为，说明向左平移6个单位，向下平移4个单位，
根据题意，的坐标为，因此：
，解得：，，因此，点的坐标为．
③平移后三角形的顶点位于原点，
由点的对应点的坐标为，说明向左平移6个单位，向下平移4个单位．
根据题意，的坐标为，因此：
，解得：，因此，点的坐标为．
综上所述，点位于原点，点的坐标为；点位于原点，点的坐标为；点位于原点，点的坐标为． 故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
(2) 如图，直线，，已知，，求的度数．
解：原式；
（2）解：∵
∴(同位角相等，两直线平行)，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴．
14．《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知的算术平方根是的立方根为．
(1)求的值． (2)求的平方根．
（1）解：根据题意：，
则；
（2）解：由（1）知，
则，
∵，
∴的平方根为．
15．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）．
(1)整数车厢 ④⑤ ．（填序号）
(2)负分数车厢 ①⑦ ．（填序号）
(3)无理数车厢 ③⑥⑧ ．（填序号）
16．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为．
(1)求证：；
(2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数．
（1）证明：∵，为，
∴，
∴；
（2）解：如图，∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
17. 解方程组：
（1） （2）
（1）解：把代入得，， （2）解：得：，
解得：， 得：，解得：，
把代入得，y=-7， 把代入得：，解得：，
∴这个方程组的解为； ∴这个方程组的解为．
四、解答题（本天题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目：
（1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整；
（2）如图2，若，，证明：．
(1)证明：（已知），
①____（两直线平行，内错角相等）
（已知），
②____（③__等量代换__）
（④__内错角相等，两直线平行_）
(2)模仿（1）题，写出推理过程．
（2）证明：延长，相交于点，
，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为．
(1)请你根据题意，补充原点O和y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每
次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、
斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要
使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为；
（3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或．
20. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
（1）若点A在轴上，求出点A的坐标；
（2）点B的坐标为，若轴，求A、B两点之间的距离．
（1）解：点A的坐标为，点A在轴上，
，解得：．
，
点A的坐标为．
（2）解：点A的坐标为，点的坐标为，轴，
，解得：，
∴点A的坐标为．
两点之间的距离为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）点，，中，不是“理想点”的是____．
（2）若点是“理想点”，求x的值．
（3）是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
（1）解：∵，，
又∵，∴点是“理想点”；
∵，，
又∵，∴点不是“理想点”；
∵，，
又∵，∴点是“理想点”；
（2）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，解得；
（3）解：∵点是“理想点”，
∴，整理可得， ∴或，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为0或．
22．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上．
(1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)点C到x轴的距离为 1 ；
(3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出；
(4)求的面积．
（3）解：如图，即为所求；
（4）解：的面积．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在三角形中，，，．
（1）当三角形和平行线的位置如图1时，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
解：（1）因为，，．
所以．
因为，所以；
（2）如图1，过点B作，
因为，所以，
所以．因为，
所以．
因为，
所以；
（3）因为，平分，
所以．
如图2，作，
因为，所以，
所以．
因为，，
所以，
所以．

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