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2025~2026学年第二学期七年级数学第一次限时作业
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则用含的式子可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.000005千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
5．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
7．设下列三者之间的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．数形结合是初中数学重要的思想方法，如图的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
9．从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
10．定义：是多项式化简后的项数．例如多项式，则，一个多项式乘多项式B．化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”，例如多项式-1，则，则，所以是的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”．若均是关于的多项式，且B是A的“极好多项式”，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．计算：___________
12．已知，则的值是___________
13．已知，则___________
14．关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为___________
15．小明同学利用多项式乘多项式的知识解决多项式除多项式的问题．他在计算时，首先判断商式为一次二项式，且一次项的系数为1，因此设商式为，然后利用多项式乘多项式得：，即．所以．请应用小明的方法计算：___________
16．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是___________
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
（3）
（4）
18．（1）解方程：
（2）已知，求的值
19．已知是正整数，且．求的值．
20．如图，某体育训练基地有一块长（3a-5b）米，宽（a-b）米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽（a-2b）米的长方形游泳池，剩余部分全部修建成休息区（结果需要化简）．
（1）求休息区的面积；
（2）休息区比游泳池的面积大多少平方米？
21．在幂的运算中规定：若（且是正整数），则，利用上面规定解答下列问题：
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
22．在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手；再到复杂的，一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
（1）【观察】运用多项式乘多项式计算下列各式并观察计算结果：
①___________；
②___________；
③___________：……
（2）【猜想】由此可得：___________；
（3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值．
23．【阅读 理解】
材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即．利用这个式子可以化简一些含根式的代数式．
材料二：通过本学期第7章，我们已学了三个幂的运算公式：
一般地，对于任意底数与任意正整数
一般地，对于任意底数与任意正整数
一般地，对于任意底数与任意正整数
后续的学习我们会知道．我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当时，
延伸应用：
①当时，．
②当时，．
【积累·运用】
（1）根据材料一，计算___________；
（2）根据材料二，计算___________
（3）根据材料二，已知，请化简：．
24．借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．
初步应用
（1）如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：___________（用图中字母表示）；如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：（用图中字母表示）．
深入探究
（2）仿照图2．构造图形并计算；
拓展延伸
借助以上探究经验，解决下列问题：
（3）若正数和正数，满足，请通过构造图形比较的大小（画出图形，并说明理由）．

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