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2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（五）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.63（计算过程：）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·江西宜春·模拟） 设 是10的正约数， ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 C
【详解】 10的正约数为1, 2, 5, 10，故 .解不等式 得 ，故 .又 应为集合 中元素，所以 .
【易错警示】 常见错误：忽视 是列举集合，直接取 中所有小于等于6的实数.防错方法：交集运算时，必须从 中选取满足条件的元素.
【规律总结】 通法：先分别求出两集合的明确范围或列举出元素，再取公共部分.技巧：当 为有限列举集时，可直接将 中元素代入 的条件检验.
2.（2026·江苏南京·栖霞名校联盟一模） 若复数 ，则复数 在复平面内所对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 A
【详解】 计算 .该复数在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.
【易错警示】 常见错误：忘记 ，导致实部与虚部符号错误.防错方法：严格按照复数乘法法则展开，注意实部与虚部的区分.
【规律总结】 通法：将复数化为标准代数形式 ，根据 的符号判断所在象限.技巧：复数的乘法运算可类比多项式乘法，注意合并同类项.
3.（2026·江西·联考） 设单位向量 的夹角为 ， ， ，则 在 上的投影数量为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】 投影数量公式为 .计算得 . ，故 .投影数量为 .
【易错警示】 常见错误：混淆投影数量与投影向量；计算数量积时弄错夹角余弦值.防错方法：牢记公式 在 上的投影数量为 ，投影向量为 .注意单位向量夹角为 时，数量积为负.
【规律总结】 通法：利用数量积及模长公式直接运算.技巧：在涉及单位向量的计算中，可直接使用数量积定义简化.
4.（2026·福建宁德·适应性练习） 已知函数 为增函数，则 的最小值是（ 　　）
A. B. 2 C. 4 D. 5
【答案】 C
【详解】 由对勾函数性质， 在 递减，在 递增.故要使 在 递增，需 .又 在 上递增，且在连接点处需满足 .结合 ，解得 .所以 的最小值为 4.
【易错警示】 常见错误：仅考虑两段函数各自的单调性，而忽略分段点处函数值的大小关系.防错方法：分段函数为增函数的充要条件是各段递增且连接点处左极限不大于右极限.
【规律总结】 通法：分段函数单调性问题，先求各段单调区间，再通过不等式约束分段点处的大小关系.技巧：对勾函数 的单调区间需熟记.
5.（2026·江苏南京、盐城·一模） 已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【详解】 设圆锥底面半径为 ，因轴截面为直角三角形，故圆锥高 ，体积 .设球半径为 ，由勾股定理 解得 ，故球体积 .两者体积之比为 .
【易错警示】 常见错误：轴截面直角三角形未正确转化为圆锥高与半径的关系，或球半径计算错误.防错方法：画出轴截面图，明确球心到圆锥底面距离与半径的几何关系.
【规律总结】 通法：多面体或旋转体的内切、外接球问题，通常作轴截面转化为平面几何求解.技巧：抓住球心到各顶点或切点的距离相等列方程.
6.（2026·广东湛江·二模） 已知定义在 上的可导函数 满足 是偶函数；；，则 （ 　　）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】 B
【详解】 由 知 关于 对称，即 .由 得 ，进而 ，故 ，周期为 4.对 两边求导得 ，故 .计算得 ，，和为 .
【易错警示】 常见错误：对称性与周期性转化不熟练，求导时漏掉常数或符号错误.防错方法：熟练掌握常见抽象函数模型（如 对称， 中心对称），并注意复合函数求导法则.
【规律总结】 通法：由对称性、周期性及函数方程推导函数性质.技巧：赋值法或换元法处理抽象函数等式，求导时注意链式法则.
7.（2026·湖南长沙·模拟） 已知数列 是公比大于0的等比数列，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【详解】 设等比数列 的公比为 ，则 .当且仅当 ，即 时取等号.
【易错警示】 常见错误：通项公式写错导致指数错误；基本不等式使用条件忽略（正项等比数列保证各项为正）.防错方法：设出首项和公比，准确代入通项公式，验证等号成立条件.
【规律总结】 通法：将所求表达式化为关于公比 的函数，再利用基本不等式求最值.技巧：分子分母同除以 简化表达式.
8.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ，点 为 右支上异于 的一点，过 作 轴的垂线，垂足为 .若 ，且直线 与 垂直，则 的离心率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【详解】 设 ，则 .在 中，由 ，设 ，则 .由正弦定理得 .可得 ，代入 得 .由 及几何关系可得 为直角三角形，结合离心率定义解得 .
【易错警示】 常见错误：角度关系转化错误；未能利用垂直条件建立关于 的方程.防错方法：画出标准图形，明确各角位置，利用正余弦定理及几何性质逐步推导.
【规律总结】 通法：求离心率即求 的比值，通过题目中的几何或代数条件建立关于 的齐次方程.技巧：焦点三角形问题常结合正余弦定理及双曲线定义求解.
【一题多解】
解法一：（解析法）设 点坐标，利用斜率关系及 建立方程，代入双曲线方程求解 .运算量较大，但对几何转化能力要求较低.
解法二：（几何法）利用角平分线性质及双曲线定义，构造相似三角形或射影定理，结合离心率公式直接求解.对几何素养要求较高，但计算简洁.
对比：几何法更快捷，但需敏锐的观察力；解析法普适性强，适合大部分学生.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·广东湛江·二模） 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差 = 实际浓度 - 预测浓度，单位：）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差 -4 -2 -1 0 1 3 3
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ 　　）
A. 这组数据的众数是3
B. 这组数据的 分位数是0.5
C. 这组数据的方差大于5
D. 若第8天该模型预测误差为-2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
【答案】 ACD
【详解】 A项：数据中出现次数最多的是3（出现2次），众数为3，正确.B项：数据排序后为-4, -2, -1, 0, 1, 3, 3，共7个数据.，取第5个数，即1，故 分位数为1，错误.C项：平均数 ，方差 ，正确.D项：原平均数为0，新数据-2小于0，加入后平均数变为 ，变小，正确.全选ACD.
【易错警示】 常见错误：百分位数计算时未将数据排序，或取数规则错误.防错方法：先排序，再按 确定位置，非整数时取下一个整数位置的数.
【规律总结】 通法：统计量计算需严格按定义进行.技巧：方差可用简化公式 计算.
10.（2026·湖南长沙·模拟） 设椭圆 的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆 交于 两点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 椭圆 的方程为
B. 当 时， 的最大值为
C. 若线段 的中点为 ，且 的斜率为 ，则 的值为
D. 若以 为直径的圆过原点，则
【答案】 ABD
【详解】 A项：由离心率 ，得 ，则 .又过点 ，代入得 ，解得 ，方程为 ，正确.B项：设直线 ，代入椭圆得 .弦长 ，正确.C项：由点差法得 ，若 ，则 ，恒成立，不能确定 的值，错误.D项：以 为直径的圆过原点即 ，即 .联立韦达定理代入化简得 ，正确.全选ABD.
【易错警示】 常见错误：点差法结论记错，斜率关系混淆；以直径圆过原点的向量转化不正确.防错方法：熟记椭圆中点弦斜率积公式 ，直径圆问题转化为向量数量积为0.
【规律总结】 通法：直线与椭圆综合问题，联立消元后利用韦达定理及判别式处理弦长、面积、垂直等条件.技巧：中点弦问题优先考虑点差法.
11.（2026·山东日照·模拟） 已知四面体 满足 ，，点 均在球 的表面上，球 与四面体的4个面均相切，过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ，则（ 　　）
A. 球 的表面积为
B. 当四面体 体积最大时，
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时， 的最小值为
【答案】 ACD
【详解】 A项：将四面体补形为长方体，易求外接球半径 ，表面积为 ，正确.B项：体积最大时 ，通过体积法求得内切球半径，进而算得 ，错误.C项：当 时，过 的截面为等腰三角形，面积最大值为 ，正确.D项：截面面积最小值为 ，正确.全选ACD.
【易错警示】 常见错误：外接球球心位置判断错误，或截面形状判断失误.防错方法：利用补形法求外接球，截面问题需结合对称性及几何体特征分析.
【规律总结】 通法：外接球问题常补成长方体或找球心到各顶点等距的方程；截面问题先定形状，再求最值.技巧：特殊四面体（如对棱相等）可补成长方体.
【一题多解】
解法一：（补形法）将对棱相等的四面体补成长方体，则外接球即为长方体的外接球.
解法二：（解析法）建立空间直角坐标系，通过坐标运算求外接球半径及截面面积.
对比：补形法直观简洁，解析法普适但运算量稍大.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·广东佛山·二模） 在三棱柱 中， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为__.
【答案】
【详解】 由 且 ，又 且异面，可知 垂直于 和 的公垂线.在三棱柱中，平移 至 或利用向量法，可得 与 所成角即为 的补角或相关角.计算得 ，由勾股定理及余弦定理得余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：异面直线所成角范围是 ，若计算出的角为钝角需取其补角.防错方法：求异面直线夹角时，通过平移将两直线交于一点，取锐角或直角.
【规律总结】 通法：求异面直线所成角，通常平移其中一条直线，与另一条相交，解三角形求角.技巧：补形或建系用向量法更便捷.
13.（2026·江苏南京、盐城·一模） 设正整数 ，其中 ， .记 .从集合 中随机抽取一个数 ，则 的概率为__.
【答案】
【详解】 ，故 的二进制表示最多有11位. 为二进制表示中1的个数. 且 ，满足条件的 均不超过2000. 有 个， 有 个， 有 个，共231个.概率为 .
【易错警示】 常见错误：二进制位数判断错误，或组合数计算失误.防错方法：确定最大值不超过 ，直接用组合数计数.
【规律总结】 通法：二进制表示与组合计数相结合的问题，先确定二进制位数，再利用组合数公式计算满足条件的数的个数.
14.（2026·湖北襄阳四中·模拟） 若实数 满足 ，则 的最小值为__.
【答案】
【详解】 由已知等式化简可得 .令 ，则 ，构造函数 ，因其单调递增且 ，故 ，即 .所求 表示点 到直线 上点 的距离.转化为求函数 图象上的点到直线 的最小距离.利用导数求切线斜率为 的切点，计算得最小距离为 .
【易错警示】 常见错误：等式变形复杂，无法发现构造函数；距离转化错误.防错方法：观察等式结构，尝试配凑出相同整体进行换元；几何意义明确后，用导数求切线.
【规律总结】 通法：复杂等式通过换元构造函数，利用函数单调性求解；代数式几何化，转化为距离最值问题.技巧：观察结构，配凑指数与对数组合.
【一题多解】
解法一：（代数法）如详解，通过换元构造函数求解.
解法二：（数形结合）直接分析等式的对称性，猜测并验证 是唯一解，再利用几何意义求解.
对比：换元法思路自然，是处理此类问题的通法.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·江西宜春·模拟）（13分）
在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1） 求角 ；
（2） 为 外一点，且与点 位于直线 的同侧， ， ，若 ，求 的面积.
【答案】 （1） ；（2）
【详解】 （1） 由 及正弦定理得 .将 代入，化简得 .因为 ，所以 ，即 ， .由 得 ，故 .
（2） 在 中，由余弦定理得 ，所以 .由正弦定理得 ，进而求得 .于是 .所以 .
【易错警示】 常见错误：边角互化时漏乘 或符号错误；面积公式中夹角选取错误.防错方法：严格遵循正弦定理、余弦定理的形式进行转化，计算三角函数值时注意角的范围.
【规律总结】 通法：解三角形问题，利用正余弦定理实现边角互化，结合三角恒等变换求角或边.技巧：遇到 等结构时，可考虑用正弦定理统一为角或边的关系.
16.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练）（15分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 已知 ，平面 平面 .
（i） 求三棱锥 外接球的表面积；
（ii） 求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】 （1） 见解析；（2） （i） ；（ii）
【详解】 （1） 过 作 交 于 ，连接 .由 得 ，又 ，故 ，四边形 为平行四边形，所以 .由 平面 ， 平面 ，得 平面 .
（2） （i） 由 ，得 .又平面 平面 ，，故 平面 .所以 是三棱锥 外接球的直径，且 .球表面积为 .
（ii） 建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则夹角的余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：证明线面平行时条件叙述不完整；求外接球半径时找不到直径.防错方法：线面平行需强调面外、面内、平行三要素；找外接球注意是否有线面垂直结构，从而确定球心位置.
【规律总结】 通法：线面平行通常转化为线线平行证明；外接球问题常通过补形或找球心到各顶点等距的方程求解.技巧：若一条棱垂直于一个面，则该棱为长方体或直棱柱的一部分，外接球直径易求.
17.（2026·广东江门·一模）（15分）
某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从 三类问题中各抽取一个问题回答， 类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答 类问题的概率依次为 ，乙同学能正确回答 类问题的概率都为 ，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
（1） 求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；
（2） 记 为甲同学的总得分，求 的分布列及期望；
（3） 已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.
【答案】 （1） ；（2） 分布列见解析，期望为6；（3）
【详解】 （1） 设乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确为事件 .乙同学正确回答每个问题的概率均为 ，且各问题相互独立.则
（2） 甲同学的总得分 的可能取值为0, 2, 3, 5, 7, 8, 10.各类问题的得分相互独立，计算每个取值的概率：
；
；
；
；
；
；
.
分布列：
数学期望：
（3） 记乙同学的总得分为 ，其可能取值为0,2,3,5,7,8,10，每个取值的概率均为 （因为乙同学每题得分情况与甲不同，但概率均为 ）.事件“乙获胜”即 ，事件“甲的总得分不低于5分”即 .利用全概率公式计算条件概率 .分别计算：
（具体计算略，涉及所有 与 取值的组合）；
.
因此所求概率为 .
【易错警示】 常见错误：将得分直接相乘或相加，未正确理解各题得分的独立性；条件概率事件混淆.防错方法：先列出所有可能得分组合，再根据事件定义筛选符合条件的组合数.
【规律总结】 通法：离散型随机变量分布列问题，先确定变量的所有可能取值，再计算每个取值的概率，最后求期望.涉及条件概率时，严格按定义式计算.
18.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练）（17分）
已知 是抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点（ 在 轴的上方）.
（1） 求 的值；
（2） 若 ，求 的方程；
（3） 记 为坐标原点， 为 轴上异于 的点，且 ，延长 交 于点 ，设直线 的斜率分别为 ，求 的最小值.
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【详解】 （1） 由焦点 得 ，所以 ，抛物线 .
（2） 设直线 ，与抛物线联立得 .设 ，由 及抛物线定义得 .又 ，且 ，解得 ，进而 .所以直线方程为 ，即 .
（3） 由 及抛物线定义得 .设 ，由直线 方程与抛物线联立，结合韦达定理得 .又 ， .所以 （因 ），当 时取等.
【易错警示】 常见错误：焦半径公式使用错误；联立方程后计算 时符号或系数出错.防错方法：熟记抛物线焦半径公式 ；直线与圆锥曲线联立后，仔细运用韦达定理消元.
【规律总结】 通法：抛物线的焦点弦问题，常设直线方程 ，与抛物线联立，利用韦达定理及定义进行转化.技巧：涉及斜率之和或积的定值最值问题，常通过坐标关系化为单变量函数，再用基本不等式求解.
【一题多解】
（3） 解法一：（设线法）如详解，利用韦达定理表示 ，将斜率用 表示.
解法二：（设点法）设 坐标，利用定比分点及抛物线方程直接表示 点坐标，再求斜率关系.计算量略大，但思维直接.
对比：设线法更符合一般解析几何解题习惯，计算也较简洁.
19.（2026·浙江绍兴·二模）（17分）
已知函数 （ ）.
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 ，求 的取值范围；
（3） 证明：当 时， 有且仅有一个零点.
【答案】 （1） ；（2） ；（3） 见解析
【详解】 （1） ， ， ，切线方程为 .
（2） 由 得 . .分析导函数符号，可得 在 递减， 递增，故 恒成立等价于 .
（3） 当 时，设 ，其在 递增，且存在唯一零点 .分 ， ， 三种情况讨论 的单调性与极值，结合零点存在定理及放缩，证明无论哪种情况 均有且仅有一个零点.
【易错警示】 常见错误：求导出错；讨论参数时遗漏情况或分类标准不清.防错方法：求导后尽量因式分解，便于判断符号；分类讨论时以导函数零点与定义域的关系为界.
【规律总结】 通法：含参函数零点个数问题，通常先求导研究单调性，结合极值、端点趋势及零点存在定理进行讨论.技巧：对于复杂函数，可通过分离参数或构造函数转化为两图象交点问题.
【一题多解】
（3） 解法一：（含参讨论）如详解，对 进行分类，逐一分析单调区间及最值，结合零点定理证明.
解法二：（分离参数）将 转化为 ，研究 的单调性及值域，利用图象交点说明零点个数.此法可避免复杂讨论，但对函数变形技巧要求较高.
对比：分类讨论是常规通法，思路清晰但稍显繁琐；分离参数法更简洁，但需保证分离后的函数易于研究.
第 2 页，共 17 页中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（五）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.63（计算过程：）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·江西宜春·模拟） 设 是10的正约数， ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·江苏南京·栖霞名校联盟一模） 若复数 ，则复数 在复平面内所对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（2026·江西·联考） 设单位向量 的夹角为 ， ， ，则 在 上的投影数量为（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·福建宁德·适应性练习） 已知函数 为增函数，则 的最小值是（ 　　）
A. B. 2 C. 4 D. 5
5.（2026·江苏南京、盐城·一模） 已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·广东湛江·二模） 已知定义在 上的可导函数 满足 是偶函数；；，则 （ 　　）
A. B. C. 1 D. 3
7.（2026·湖南长沙·模拟） 已知数列 是公比大于0的等比数列，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为 ，点 为 右支上异于 的一点，过 作 轴的垂线，垂足为 .若 ，且直线 与 垂直，则 的离心率为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·广东湛江·二模） 2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差 = 实际浓度 - 预测浓度，单位：）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差 -4 -2 -1 0 1 3 3
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ 　　）
A. 这组数据的众数是3
B. 这组数据的 分位数是0.5
C. 这组数据的方差大于5
D. 若第8天该模型预测误差为-2，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
10.（2026·湖南长沙·模拟） 设椭圆 的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆 交于 两点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 椭圆 的方程为
B. 当 时， 的最大值为
C. 若线段 的中点为 ，且 的斜率为 ，则 的值为
D. 若以 为直径的圆过原点，则
11.（2026·山东日照·模拟） 已知四面体 满足 ，，点 均在球 的表面上，球 与四面体的4个面均相切，过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ，则（ 　　）
A. 球 的表面积为
B. 当四面体 体积最大时，
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时， 的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·广东佛山·二模） 在三棱柱 中， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为__.
13.（2026·江苏南京、盐城·一模） 设正整数 ，其中 ， .记 .从集合 中随机抽取一个数 ，则 的概率为__.
14.（2026·湖北襄阳四中·模拟） 若实数 满足 ，则 的最小值为__.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·江西宜春·模拟）（13分）
在 中，角 所对的边分别为 ， .
（1） 求角 ；
（2） 为 外一点，且与点 位于直线 的同侧， ， ，若 ，求 的面积.
16.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练）（15分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 已知 ，平面 平面 .
（i） 求三棱锥 外接球的表面积；
（ii） 求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（2026·广东江门·一模）（15分）
某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从 三类问题中各抽取一个问题回答， 类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答 类问题的概率依次为 ，乙同学能正确回答 类问题的概率都为 ，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.
（1） 求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；
（2） 记 为甲同学的总得分，求 的分布列及期望；
（3） 已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.
18.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练）（17分）
已知 是抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点（ 在 轴的上方）.
（1） 求 的值；
（2） 若 ，求 的方程；
（3） 记 为坐标原点， 为 轴上异于 的点，且 ，延长 交 于点 ，设直线 的斜率分别为 ，求 的最小值.
19.（2026·浙江绍兴·二模）（17分）
已知函数 （ ）.
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 ，求 的取值范围；
（3） 证明：当 时， 有且仅有一个零点.
答案解析
一、选择题
1. 【答案】 C
【详解】 10的正约数为1, 2, 5, 10，故 .解不等式 得 ，故 .又 应为集合 中元素，所以 .
【易错警示】 常见错误：忽视 是列举集合，直接取 中所有小于等于6的实数.防错方法：交集运算时，必须从 中选取满足条件的元素.
【规律总结】 通法：先分别求出两集合的明确范围或列举出元素，再取公共部分.技巧：当 为有限列举集时，可直接将 中元素代入 的条件检验.
2. 【答案】 A
【详解】 计算 .该复数在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.
【易错警示】 常见错误：忘记 ，导致实部与虚部符号错误.防错方法：严格按照复数乘法法则展开，注意实部与虚部的区分.
【规律总结】 通法：将复数化为标准代数形式 ，根据 的符号判断所在象限.技巧：复数的乘法运算可类比多项式乘法，注意合并同类项.
3. 【答案】 D
【详解】 投影数量公式为 .计算得 . ，故 .投影数量为 .
【易错警示】 常见错误：混淆投影数量与投影向量；计算数量积时弄错夹角余弦值.防错方法：牢记公式 在 上的投影数量为 ，投影向量为 .注意单位向量夹角为 时，数量积为负.
【规律总结】 通法：利用数量积及模长公式直接运算.技巧：在涉及单位向量的计算中，可直接使用数量积定义简化.
4. 【答案】 C
【详解】 由对勾函数性质， 在 递减，在 递增.故要使 在 递增，需 .又 在 上递增，且在连接点处需满足 .结合 ，解得 .所以 的最小值为 4.
【易错警示】 常见错误：仅考虑两段函数各自的单调性，而忽略分段点处函数值的大小关系.防错方法：分段函数为增函数的充要条件是各段递增且连接点处左极限不大于右极限.
【规律总结】 通法：分段函数单调性问题，先求各段单调区间，再通过不等式约束分段点处的大小关系.技巧：对勾函数 的单调区间需熟记.
5. 【答案】 B
【详解】 设圆锥底面半径为 ，因轴截面为直角三角形，故圆锥高 ，体积 .设球半径为 ，由勾股定理 解得 ，故球体积 .两者体积之比为 .
【易错警示】 常见错误：轴截面直角三角形未正确转化为圆锥高与半径的关系，或球半径计算错误.防错方法：画出轴截面图，明确球心到圆锥底面距离与半径的几何关系.
【规律总结】 通法：多面体或旋转体的内切、外接球问题，通常作轴截面转化为平面几何求解.技巧：抓住球心到各顶点或切点的距离相等列方程.
6. 【答案】 B
【详解】 由 知 关于 对称，即 .由 得 ，进而 ，故 ，周期为 4.对 两边求导得 ，故 .计算得 ，，和为 .
【易错警示】 常见错误：对称性与周期性转化不熟练，求导时漏掉常数或符号错误.防错方法：熟练掌握常见抽象函数模型（如 对称， 中心对称），并注意复合函数求导法则.
【规律总结】 通法：由对称性、周期性及函数方程推导函数性质.技巧：赋值法或换元法处理抽象函数等式，求导时注意链式法则.
7. 【答案】 B
【详解】 设等比数列 的公比为 ，则 .当且仅当 ，即 时取等号.
【易错警示】 常见错误：通项公式写错导致指数错误；基本不等式使用条件忽略（正项等比数列保证各项为正）.防错方法：设出首项和公比，准确代入通项公式，验证等号成立条件.
【规律总结】 通法：将所求表达式化为关于公比 的函数，再利用基本不等式求最值.技巧：分子分母同除以 简化表达式.
8. 【答案】 B
【详解】 设 ，则 .在 中，由 ，设 ，则 .由正弦定理得 .可得 ，代入 得 .由 及几何关系可得 为直角三角形，结合离心率定义解得 .
【易错警示】 常见错误：角度关系转化错误；未能利用垂直条件建立关于 的方程.防错方法：画出标准图形，明确各角位置，利用正余弦定理及几何性质逐步推导.
【规律总结】 通法：求离心率即求 的比值，通过题目中的几何或代数条件建立关于 的齐次方程.技巧：焦点三角形问题常结合正余弦定理及双曲线定义求解.
【一题多解】
解法一：（解析法）设 点坐标，利用斜率关系及 建立方程，代入双曲线方程求解 .运算量较大，但对几何转化能力要求较低.
解法二：（几何法）利用角平分线性质及双曲线定义，构造相似三角形或射影定理，结合离心率公式直接求解.对几何素养要求较高，但计算简洁.
对比：几何法更快捷，但需敏锐的观察力；解析法普适性强，适合大部分学生.
二、选择题
9. 【答案】 ACD
【详解】 A项：方差性质 ，正确.B项：中位数不一定是原数据中的数（如1,2,3,4的中位数为2.5），错误.C项：决定系数 越接近1拟合越好，正确.D项：由对称性，，故 ，正确.全选ACD.
【易错警示】 常见错误：误认为中位数一定是原数据中的数；决定系数概念不清.防错方法：理解中位数定义，牢记决定系数的统计意义.
【规律总结】 通法：统计量性质及分布特征需牢记.技巧：正态分布概率计算画数轴辅助理解.
10. 【答案】 ABD
【详解】 A项：由离心率及定点求得椭圆方程为 ，正确.B项：设 坐标，联立直线与椭圆，利用弦长公式及判别式求得最大值 ，正确.C项：由点差法得 ，若 ，则 ，恒成立，不能确定 的值，错误.D项：以 为直径的圆过原点即 ，联立韦达定理化简得 ，正确.全选ABD.
【易错警示】 常见错误：点差法结论记错，斜率关系混淆；以直径圆过原点的向量转化不正确.防错方法：熟记椭圆中点弦斜率积公式 ，直径圆问题转化为向量数量积为0.
【规律总结】 通法：直线与椭圆综合问题，联立消元后利用韦达定理及判别式处理弦长、面积、垂直等条件.技巧：中点弦问题优先考虑点差法.
11. 【答案】 ACD
【详解】 A项：将四面体补形为长方体，易求外接球半径 ，表面积为 ，正确.B项：体积最大时 ，通过体积法求得内切球半径，进而算得 ，错误.C项：当 时，过 的截面为等腰三角形，面积最大值为 ，正确.D项：截面面积最小值为 ，正确.全选ACD.
【易错警示】 常见错误：外接球球心位置判断错误，或截面形状判断失误.防错方法：利用补形法求外接球，截面问题需结合对称性及几何体特征分析.
【规律总结】 通法：外接球问题常补成长方体或找球心到各顶点等距的方程；截面问题先定形状，再求最值.技巧：特殊四面体（如对棱相等）可补成长方体.
【一题多解】
解法一：（补形法）将对棱相等的四面体补成长方体，则外接球即为长方体的外接球.
解法二：（解析法）建立空间直角坐标系，通过坐标运算求外接球半径及截面面积.
对比：补形法直观简洁，解析法普适但运算量稍大.
三、填空题
12. 【答案】
【详解】 由 且 ，又 且异面，可知 垂直于 和 的公垂线.在三棱柱中，平移 至 或利用向量法，可得 与 所成角即为 的补角或相关角.计算得 ，由勾股定理及余弦定理得余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：异面直线所成角范围是 ，若计算出的角为钝角需取其补角.防错方法：求异面直线夹角时，通过平移将两直线交于一点，取锐角或直角.
【规律总结】 通法：求异面直线所成角，通常平移其中一条直线，与另一条相交，解三角形求角.技巧：补形或建系用向量法更便捷.
13. 【答案】
【详解】 ，故 的二进制表示最多有11位. 为二进制表示中1的个数. 且 ，满足条件的 均不超过2000. 有 个， 有 个， 有 个，共231个.概率为 .
【易错警示】 常见错误：二进制位数判断错误，或组合数计算失误.防错方法：确定最大值不超过 ，直接用组合数计数.
【规律总结】 通法：二进制表示与组合计数相结合的问题，先确定二进制位数，再利用组合数公式计算满足条件的数的个数.
14. 【答案】
【详解】 由已知等式化简可得 .令 ，则 ，构造函数 ，因其单调递增且 ，故 ，即 .所求 表示点 到直线 上点 的距离.转化为求函数 图象上的点到直线 的最小距离.利用导数求切线斜率为 的切点，计算得最小距离为 .
【易错警示】 常见错误：等式变形复杂，无法发现构造函数；距离转化错误.防错方法：观察等式结构，尝试配凑出相同整体进行换元；几何意义明确后，用导数求切线.
【规律总结】 通法：复杂等式通过换元构造函数，利用函数单调性求解；代数式几何化，转化为距离最值问题.技巧：观察结构，配凑指数与对数组合.
【一题多解】
解法一：（代数法）如详解，通过换元构造函数求解.
解法二：（数形结合）直接分析等式的对称性，猜测并验证 是唯一解，再利用几何意义求解.
对比：换元法思路自然，是处理此类问题的通法.
四、解答题
15. 【答案】 （1） ；（2）
【详解】 （1） 由 及正弦定理得 .将 代入，化简得 .因为 ，所以 ，即 ， .由 得 ，故 .
（2） 在 中，由余弦定理得 ，所以 .由正弦定理得 ，进而求得 .于是 .所以 .
【易错警示】 常见错误：边角互化时漏乘 或符号错误；面积公式中夹角选取错误.防错方法：严格遵循正弦定理、余弦定理的形式进行转化，计算三角函数值时注意角的范围.
【规律总结】 通法：解三角形问题，利用正余弦定理实现边角互化，结合三角恒等变换求角或边.技巧：遇到 等结构时，可考虑用正弦定理统一为角或边的关系.
16. 【答案】 （1） 见解析；（2） （i） ；（ii）
【详解】 （1） 过 作 交 于 ，连接 .由 得 ，又 ，故 ，四边形 为平行四边形，所以 .由 平面 ， 平面 ，得 平面 .
（2） （i） 由 ，得 .又平面 平面 ，，故 平面 .所以 是三棱锥 外接球的直径，且 .球表面积为 .
（ii） 建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则夹角的余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：证明线面平行时条件叙述不完整；求外接球半径时找不到直径.防错方法：线面平行需强调面外、面内、平行三要素；找外接球注意是否有线面垂直结构，从而确定球心位置.
【规律总结】 通法：线面平行通常转化为线线平行证明；外接球问题常通过补形或找球心到各顶点等距的方程求解.技巧：若一条棱垂直于一个面，则该棱为长方体或直棱柱的一部分，外接球直径易求.
17. 【答案】 （1） ；（2） 分布列见解析，期望为6；（3）
【详解】 （1） 设乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确为事件 .乙同学正确回答每个问题的概率均为 ，且各问题相互独立.则
（2） 甲同学的总得分 的可能取值为0, 2, 3, 5, 7, 8, 10.各类问题的得分相互独立，计算每个取值的概率：
；
；
；
；
；
；
.
分布列：
数学期望：
（3） 记乙同学的总得分为 ，其可能取值为0,2,3,5,7,8,10，每个取值的概率均为 （因为乙同学每题得分情况与甲不同，但概率均为 ）.事件“乙获胜”即 ，事件“甲的总得分不低于5分”即 .利用全概率公式计算条件概率 .分别计算：
（具体计算略，涉及所有 与 取值的组合）；
.
因此所求概率为 .
【易错警示】 常见错误：将得分直接相乘或相加，未正确理解各题得分的独立性；条件概率事件混淆.防错方法：先列出所有可能得分组合，再根据事件定义筛选符合条件的组合数.
【规律总结】 通法：离散型随机变量分布列问题，先确定变量的所有可能取值，再计算每个取值的概率，最后求期望.涉及条件概率时，严格按定义式计算.
18. 【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【详解】 （1） 由焦点 得 ，所以 ，抛物线 .
（2） 设直线 ，与抛物线联立得 .设 ，由 及抛物线定义得 .又 ，且 ，解得 ，进而 .所以直线方程为 ，即 .
（3） 由 及抛物线定义得 .设 ，由直线 方程与抛物线联立，结合韦达定理得 .又 ， .所以 （因 ），当 时取等.
【易错警示】 常见错误：焦半径公式使用错误；联立方程后计算 时符号或系数出错.防错方法：熟记抛物线焦半径公式 ；直线与圆锥曲线联立后，仔细运用韦达定理消元.
【规律总结】 通法：抛物线的焦点弦问题，常设直线方程 ，与抛物线联立，利用韦达定理及定义进行转化.技巧：涉及斜率之和或积的定值最值问题，常通过坐标关系化为单变量函数，再用基本不等式求解.
【一题多解】
（3） 解法一：（设线法）如详解，利用韦达定理表示 ，将斜率用 表示.
解法二：（设点法）设 坐标，利用定比分点及抛物线方程直接表示 点坐标，再求斜率关系.计算量略大，但思维直接.
对比：设线法更符合一般解析几何解题习惯，计算也较简洁.
19. 【答案】 （1） ；（2） ；（3） 见解析
【详解】 （1） ， ， ，切线方程为 .
（2） 由 得 . .分析导函数符号，可得 在 递减， 递增，故 恒成立等价于 .
（3） 当 时，设 ，其在 递增，且存在唯一零点 .分 ， ， 三种情况讨论 的单调性与极值，结合零点存在定理及放缩，证明无论哪种情况 均有且仅有一个零点.
【易错警示】 常见错误：求导出错；讨论参数时遗漏情况或分类标准不清.防错方法：求导后尽量因式分解，便于判断符号；分类讨论时以导函数零点与定义域的关系为界.
【规律总结】 通法：含参函数零点个数问题，通常先求导研究单调性，结合极值、端点趋势及零点存在定理进行讨论.技巧：对于复杂函数，可通过分离参数或构造函数转化为两图象交点问题.
【一题多解】
（3） 解法一：（含参讨论）如详解，对 进行分类，逐一分析单调区间及最值，结合零点定理证明.
解法二：（分离参数）将 转化为 ，研究 的单调性及值域，利用图象交点说明零点个数.此法可避免复杂讨论，但对函数变形技巧要求较高.
对比：分类讨论是常规通法，思路清晰但稍显繁琐；分离参数法更简洁，但需保证分离后的函数易于研究.
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