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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（五）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60（计算过程：1-8题预估难度分别为0.85、0.85、0.80、0.80、0.75、0.70、0.65、0.45，9-11题分别为0.75、0.55、0.40，12-14题分别为0.70、0.65、0.45，15-19题分别为0.65、0.55、0.60、0.45、0.40.整卷难度 = (0.85×5×3 + 0.80×5×2 + 0.75×5 + 0.70×5×2 + 0.65×5×2 + 0.75×6 + 0.55×6 + 0.40×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.45×17 + 0.40×17) ÷ 150 ≈ 0.60）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·山西大学附中·阶段检测） 下面关于集合的表示正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】对于A，集合元素具有无序性，，故A错误；对于B，左边是点集，右边是数集，集合不同，故B错误；对于C，两个集合均表示大于1的实数构成的数集，是同一个集合，故C正确；对于D， 表示不含任何元素的集合，而 是含有一个元素0的集合，不相等，故D错误.故选C.
【易错警示】常见错误：混淆点集与数集；误认为空集等于含0的集合.防错方法：理解集合相等的定义（元素完全相同），并熟记空集是不含任何元素的集合.
【规律总结】集合相等判断：两个集合的元素完全相同则相等，与元素顺序、表示方法无关.
2.（2026·陕西宝鸡·二模） 复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点所在的象限是（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【详解】由 ，得 .所以 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.故选A.
【易错警示】常见错误：复数除法运算出错；将点的坐标写反.防错方法：复数除法时分子分母同乘分母的共轭复数；复平面内横坐标为实部，纵坐标为虚部.
【规律总结】复数 对应复平面内的点 ，象限由 的符号决定.
3.（2026·山西·小高考五） 若复数 满足 ，则 （ 　　）
A.
B.
C. 1
D. 2
【答案】A
【详解】由 ，得 ，所以 .故 .故选A.
【易错警示】常见错误：移项时未提取 ；忘记复数的模等于实部与虚部平方和的算术平方根.防错方法：先解出复数，再代入模长公式.
【规律总结】求解复数模的问题，通常先利用复数运算法则求出复数的一般形式，再利用 求解.
4.（2026·甘肃·二模） 数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，，，则 （ 　　）
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【详解】设等差数列 的公差为 ().由 ，得 ，即 .由 ，得 .代入 ，得 ，解得 （舍负），则 .所以 .故选C.
【易错警示】常见错误：等差数列性质使用错误；解方程时丢解或未舍去负值.防错方法：根据已知条件列出关于 和 的方程组，求解时注意 的条件.
【规律总结】等差数列基本量运算：将条件转化为关于首项 和公差 的方程（组），解出 即可求任意项、求和.
5.（2026·四川德阳·二诊） 若两条直线 ， 与圆 的四个交点能构成矩形，则 （ 　　）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】A
【详解】两直线 与 斜率均为2，相互平行.圆 的圆心为 .四个交点构成矩形，则该矩形的中心必为圆心，且两平行线关于圆心对称.故圆心到两直线的距离相等且不为零.圆心到 的距离为 ，到 的距离为 .由对称性得 ，所以 .故选A.
【易错警示】常见错误：误以为矩形的中心在直线上；未利用圆的对称性.防错方法：分析矩形与圆的对称关系，圆的内接矩形必以圆心为中心，故两平行弦关于圆心对称.
【规律总结】圆内接矩形的性质：圆内接矩形的对角线交点即为圆心，矩形两组对边到圆心的距离相等.
6.（2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数 的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】由最低点 知 .由点 得 ，即 ，又 ，故 .在 轴右侧的第一个零点为 ，且 为最低点，故 ，得 ，故 .所以 .当 时，.要使得在 上值域为 ，函数图象需到达最高点2，但不能到达下一个-1.令 ，得 ，此时取到最大值2.令 （使函数值为-1的下一个点），得 .因此 需在 和 之间，且可以取到 但不能取到 .即 .故选C.
【易错警示】常见错误：求参数 时出现偏差；判断区间端点是否取等时容易出错.防错方法：结合“五点法”准确求参，利用函数图象或单位圆判断函数值变化情况，注意区间端点的开闭.
【规律总结】求三角函数解析式的方法：通过最值求 ，通过周期求 ，通过代入已知点坐标求 .
7.（2026·东北三省·二模） 在 中，若内角 为锐角，满足 ，则 的最大值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】由 ，而 ，所以 .又 .两式结合得 ，即 .两边同除以 （因 锐角，故 待定），得 .则 .由基本不等式，，当且仅当 时取等号.故 .故选D.
【易错警示】常见错误：诱导公式使用错误；化简过程中符号出错；忘记基本不等式取等条件.防错方法：严格按三角形内角和关系及两角和差公式化简，利用基本不等式求最值时验证取等条件.
【规律总结】三角形中边角关系处理：常利用 进行角的代换，结合和差角公式化简.
8.（2026·重庆万州一中·模拟） 过点 有两条直线与 的图象相切，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】设切点为 ，，切线斜率 .切线方程为 ，代入点 得 ，即 ，整理得 .令 ()，则 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减. 的最大值为 .当 时，；当 时，.过点 有两条切线，即关于 的方程 有两个不同的正实数解，故 .故选D.
【易错警示】常见错误：切线方程列错；对方程解的存在性分析不清.防错方法：写出切点处的切线方程，代入已知点得到关于切点横坐标的方程，问题转化为该方程解的个数问题，再用导数研究函数图象.
【规律总结】过定点的曲线的切线问题：设切点坐标，写出切线方程，利用切线过定点建立方程，转化为方程解的个数问题.
【一题多解】
解法一：如上所述，转化为 有两个解，研究函数 的图象.
解法二：考虑 的上凸性，过点 存在两条切线，等价于点 位于曲线 的下方且在 轴右侧.曲线 在 处的切线方程为 ，而点 在 轴上方，通过几何分析也可得 .
对比：解法一为代数通法，适用范围广；解法二借助几何直观，更快捷但需对曲线凹凸性有清晰认识.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为94
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为8
D. 该组数据的方差为4.44
【答案】BCD
【详解】将10个数据从小到大排列：90，92，93，95，95，95，95，95，96，98.对于A，平均数为 ，A错误.对于B，众数为95（出现5次），中位数为第5、6个数据的平均数，即 ，众数与中位数相同，B正确.对于C，极差为 ，C正确.对于D，方差计算：各数据与平均数94.4的差的平方和除以10，结果为4.44，D正确.故选BCD.
【易错警示】常见错误：平均数计算时漏项或加错；众数与中位数概念混淆；方差公式记错（忘记除以n）.防错方法：有序排列数据后准确计算；方差公式 .
【规律总结】样本数字特征：先排序再求中位数；众数看频次最高；极差为最大值减最小值；方差衡量离散程度.
10.（2026·甘肃·二模） 数列 是各项为正数的等比数列，其前 项和为 ，，，则（ 　　）
A.
B. 数列 是公比为2的等比数列
C.
D. 数列 是公差为1的等差数列
【答案】ACD
【详解】设等比数列 的公比为 ().由 ，得 ，因各项为正，得 ，解得 （舍负）.由 ，得 ，所以 .则 .对于A，，A正确；对于B，，所以数列 是公比为4的等比数列，B错误；对于C，，而 ，故 ，C正确；对于D，，，所以 是公差为1的等差数列，D正确.故选ACD.
【易错警示】常见错误：公比计算错误；等比数列求和公式记错；对数运算不熟练.防错方法：利用已知项的关系列出方程求公比；求和时注意公式中 的条件.
【规律总结】等比数列问题：抓住首项 和公比 两个基本量，将条件转化为关于它们的方程求解.
11.（2026·重庆南开中学·质检） 已知双曲线 的一条渐近线为 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的动直线 与双曲线 的左支交于点 ，与右支交于点 ，点 均在 轴上方，设 与 的内切圆半径分别为 ，则（ 　　）
A. 双曲线 的离心率为
B.
C. 若 ，则直线 的斜率为
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【详解】对于A，由渐近线 得 ，设 ，则 ，离心率 ，A正确.
对于B，设 ，.由双曲线定义，.在 中，设内切圆圆心为 ，半径为 ，则 .由 ，得 ，，所以 ，即 ，B正确.
对于C，由 ，得 .直线 的倾斜角为 ，其斜率 .由 ，得 ，所以 ，其绝对值不等于 ，C错误.
对于D，设 $\triangle ABF_2}$ 的内切圆圆心为 ，半径为 .由切线长定理可得 .结合 ，可推导出 .由渐近线斜率 及几何关系得 ，从而 ，代入得 ，D正确.
故选ABD.
【易错警示】常见错误：在C选项中，误将直线 的斜率当作 ，而未考虑倾斜角与三角形内角的关系.防错方法：注意直线过左焦点交左支于 ，直线倾斜角与 互补，斜率应为 .
【规律总结】双曲线焦点三角形的内切圆问题，常利用切线长定理及双曲线定义，建立边长与内切圆半径的关系，转化为角度函数进行求解.
【一题多解】
对于B选项：也可利用三角形面积公式 及正弦定理、余弦定理推导，但利用内切圆半径与半角正切的关系最为直接.对比：半角正切法简洁高效，面积法过程较繁琐但思路自然.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山西·小高考五） 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为______.
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为 ，由轴截面为等腰直角三角形，则母线长 .侧面积 ，底面积 ，所以侧面积与底面积的比值为 .
【易错警示】常见错误：混淆轴截面等腰直角三角形的直角边对应关系，导致母线长计算错误.防错方法：画出轴截面图形，明确底面直径等于等腰直角三角形的斜边，母线为直角边，从而得到 或 的关系.
【规律总结】圆锥的轴截面包含底面直径和两条母线，其形状由底面半径和母线长决定，常用于求侧面展开图的圆心角、表面积等.
13.（2026·东北三省·二模） 过 引直线 ，与圆 相切于 ，则 \______.
【答案】2
【详解】圆 的圆心 ，半径 .点 到圆心 的距离 .由圆的切线性质，切线长 .
【易错警示】常见错误：圆心坐标符号写错；切线长公式记错.防错方法：写出圆的标准方程，准确找出圆心和半径；熟记切线长公式 .
【规律总结】过圆外一点引圆的切线，切线长 ，其中 是点到圆心的距离， 是圆的半径.
14.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上一点，.圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，且 ，，则椭圆 离心率的取值范围是______.
【答案】
【详解】由椭圆定义，，又 ，解得 ，.由切线长定理，，，且 .而 ，.所以 ，得 .又 ，解得 .由条件 知 ，所以 ，即 .故离心率 .由 ，得 ，故 .
【易错警示】常见错误：切线长定理应用不熟练，导致关系式列错；向量比例关系未转化为线段长度关系.防错方法：准确利用切线长定理将圆外一点到两切点的线段长转化为焦点三角形边长；明确 的含义，建立等量关系.
【规律总结】涉及椭圆焦点三角形的内切圆或旁切圆问题，常借助切线长定理将边的关系转化为线段长，结合椭圆定义求解.
【一题多解】
解法一：如上，利用旁切圆性质和切线长定理.
解法二：设旁切圆与三边的切点，根据切线长性质列出等式，再结合椭圆定义求解.对比：解法一直接利用旁切圆切点线段长的已知结论，更简洁.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·云南玉溪·模拟） （13分）
设向量 ，，.
（1）求 的单调递减区间；
（2）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）.令 ，解得 ，.所以 的单调递减区间为 .
（2）由 ，得 ，即 .因 为锐角，，故 ，解得 .由正弦定理 ，，得 .所以 ，得 .由余弦定理 ，即 ，解得 .故 的面积 .
【易错警示】常见错误：辅助角公式使用错误；求单调区间时忽略周期性；解三角形时角的范围判断错误.防错方法：辅助角公式要提取 ；单调区间需加上周期 ；根据已知条件限制角的范围.
【规律总结】三角函数与解三角形综合题，先利用三角恒等变换化简函数，再结合正余弦定理求解三角形的边角.
16.（2026·辽宁沈阳·二模） （15分）
如图，三棱柱 的所有棱长均为2，且 .
（1）证明：；
（2）若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 .因为三棱柱各棱长均为2，所以 和 均为等边三角形.则 ，.又 ，所以 平面 .因为 平面 ，故 .
（2）由体积 ，而 ，故 .又由（1）知 ，所以 即为三棱柱的高，即 平面 .以 为原点， 为 轴建系.则 .设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 .设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 .则 .故所求余弦值为 .
【易错警示】常见错误：建系时坐标写错；法向量计算错误；二面角余弦值忘记取绝对值.防错方法：建立坐标系后仔细核对关键点坐标；解方程组求法向量时固定一个变量再解；二面角为锐角时余弦值为正.
【规律总结】立体几何求二面角常用空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用夹角公式求解.
17.（2026·重庆·康德调研四） （15分）
小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：小明和小红在每轮的开始每人都拿一张王牌和一张鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束.
（1）记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为 ，求 的分布列及数学期望；
（2）在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？
【答案】（1）分布列见解析，；（2）愿意，理由见解析.
【详解】
（1）交换1次后，小明手中王牌张数 的可能取值为 .小明和小红初始各有1张王牌和1张鬼牌，共4张牌，王牌和鬼牌各2张.随机交换1次：两人各随机出1张牌交换.小明出王牌的概率为 ，出鬼牌的概率为 ；小红同理.
表示小明手中没有王牌，即小明出了王牌，小红出了鬼牌，交换后小明得到鬼牌.概率 .
表示小明手中有2张王牌，即小明出了鬼牌，小红出了王牌，交换后小明得到王牌.概率 .
表示小明手中仍有1张王牌，包括两人出牌相同的情况（都出王牌或都出鬼牌）.概率 .
所以 的分布列为：
数学期望 .
（2）记每轮结束时小明手中两张牌相同（即均为王牌或均为鬼牌）为事件 .交换1次后，牌相同（ 或 ）的概率为 .交换2次后，牌相同的概率 （若相同，再换必不同；若不同，换后有 概率相同）.交换3次后，牌相同的概率 .所以一轮结束时小明获胜（即牌相同）的概率为 .两轮至少一轮获胜的概率为 .因为 ，小明获胜概率大于小红，所以愿意接受该游戏规则.
【易错警示】常见错误：混淆条件概率，直接认为每次交换后牌相同的概率恒为 .防错方法：明确状态转移关系，建立递推模型或状态转移图计算每一步的概率.
【规律总结】涉及多步随机过程的概率问题，可利用马尔可夫链的思想，分析状态转移概率，建立递推关系求解.
18.（2026·山西卓越联盟·质量检测） （17分）
已知椭圆 与椭圆 ，过 的右顶点 与 轴垂直的直线与 的一个交点为 ，过 的右焦点 作 轴的垂线与 的一个交点为 .
（1）求 的方程；
（2）若斜率为 的直线 交 于点 ， 是坐标原点，垂直于 的直线 交 于点 .
（i）求 的最小值；
（ii）是否存在一个与直线 相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）存在，.
【详解】
（1）由题意知 的右顶点 ，过 垂直于 轴的直线 与 交于点 ，故 .点 在 上，代入 方程得 .过 的右焦点 作 轴垂线与 交于点 ，故 .该点在 上，代入 方程得 ，解得 .所以 方程为 .对于 ，由 得 .联立 ，将 代入，得 .去分母整理得 ，即 ，解得 （舍负），从而 .所以 方程为 .
（2）（i）当 时， 为 长轴端点 或 ， 为 短轴端点 或 ，.当 时，设直线 ，代入 得 ，，，故直线 ，代入 得 .所以 .利用基本不等式或函数单调性可得 ，故 .综上， 的最小值为 .
（ii）过原点 作 于 ，则 .当 时，，，.当 时，代入前面求得的 ，化简得 .故原点 到直线 的距离恒为 .因此存在定圆 与直线 始终相切.
【易错警示】常见错误：椭圆方程求错；弦长计算或距离公式代入错误；忽略斜率不存在的情况.防错方法：仔细根据已知点坐标列方程；涉及动直线问题注意分类讨论斜率是否存在.
【规律总结】解析几何中的定值问题：通过设直线方程、联立、韦达定理等步骤，表示出目标量，利用代数化简证明其为常数.
【一题多解】
（i）求 最小值，除了上述代数法，还可考虑参数方程：设 ，，利用垂直关系 建立参数间关系，再用距离公式和三角函数求最值.对比：代数法通用性强，参数方程在特定曲线下可能更简洁.
19.（2026·辽宁鞍山·二模） （17分）
已知函数 .
（1）证明：当 时，；
（2）设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 .
（i）求数列 的项数 ；
（ii）求证：.
【答案】（1）见解析；（2）（i）2027；（ii）见解析.
【详解】
（1）当 时，令 ，.设 ，则 .当 时，，；当 时，，故 恒成立.所以 ，即 ，所以 .
（2）（i）.当 时，.令 ，即 .在 上， 是一个零点.当 时，分析可知在每段长为 的区间内有且仅有一个零点.由于 包含 个长度为 的周期，加上端点，在 上共有 个零点.故 .
（ii）由零点性质，每个 满足 .可证 ，且 .则 .对 求和，即得 ，显然大于 .原不等式成立.
【易错警示】常见错误：零点个数计数错误；不等式放缩过度或不足.防错方法：利用函数图象和单调性分析零点分布；求和时对每一项进行适当的放缩.
【规律总结】与三角函数和指数函数相关的零点问题，常需结合周期性、单调性和特殊点的函数值来讨论根的个数与分布.
【一题多解】
（2）（ii）除了上述分组放缩，也可利用积化和差或更精细的切线放缩得到更强的不等式.对比：解法一利用零点所在区间进行最粗放缩，过程简单；解法二可能得到更精确的下界，但计算量大.
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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（五）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60（计算过程：1-8题预估难度分别为0.85、0.85、0.80、0.80、0.75、0.70、0.65、0.45，9-11题分别为0.75、0.55、0.40，12-14题分别为0.70、0.65、0.45，15-19题分别为0.65、0.55、0.60、0.45、0.40.整卷难度 = (0.85×5×3 + 0.80×5×2 + 0.75×5 + 0.70×5×2 + 0.65×5×2 + 0.75×6 + 0.55×6 + 0.40×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.45×17 + 0.40×17) ÷ 150 ≈ 0.60）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·山西大学附中·阶段检测） 下面关于集合的表示正确的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
2.（2026·陕西宝鸡·二模） 复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点所在的象限是（ 　　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.（2026·山西·小高考五） 若复数 满足 ，则 （ 　　）
A.
B.
C. 1
D. 2
4.（2026·甘肃·二模） 数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，，，则 （ 　　）
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
5.（2026·四川德阳·二诊） 若两条直线 ， 与圆 的四个交点能构成矩形，则 （ 　　）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
6.（2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数 的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 ，函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
7.（2026·东北三省·二模） 在 中，若内角 为锐角，满足 ，则 的最大值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
8.（2026·重庆万州一中·模拟） 过点 有两条直线与 的图象相切，则 的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为94
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为8
D. 该组数据的方差为4.44
10.（2026·甘肃·二模） 数列 是各项为正数的等比数列，其前 项和为 ，，，则（ 　　）
A.
B. 数列 是公比为2的等比数列
C.
D. 数列 是公差为1的等差数列
11.（2026·重庆南开中学·质检） 已知双曲线 的一条渐近线为 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的动直线 与双曲线 的左支交于点 ，与右支交于点 ，点 均在 轴上方，设 与 的内切圆半径分别为 ，则（ 　　）
A. 双曲线 的离心率为
B.
C. 若 ，则直线 的斜率为
D. 的取值范围是
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·山西·小高考五） 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为______.
13.（2026·东北三省·二模） 过 引直线 ，与圆 相切于 ，则 \______.
14.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上一点，.圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，且 ，，则椭圆 离心率的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·云南玉溪·模拟） （13分）
设向量 ，，.
（1）求 的单调递减区间；
（2）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，，，求 的面积.
16.（2026·辽宁沈阳·二模） （15分）
如图，三棱柱 的所有棱长均为2，且 .
（1）证明：；
（2）若三棱柱 的体积为3，求平面 与平面 所成角的余弦值.
17.（2026·重庆·康德调研四） （15分）
小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：小明和小红在每轮的开始每人都拿一张王牌和一张鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束.
（1）记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为 ，求 的分布列及数学期望；
（2）在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？
18.（2026·山西卓越联盟·质量检测） （17分）
已知椭圆 与椭圆 ，过 的右顶点 与 轴垂直的直线与 的一个交点为 ，过 的右焦点 作 轴的垂线与 的一个交点为 .
（1）求 的方程；
（2）若斜率为 的直线 交 于点 ， 是坐标原点，垂直于 的直线 交 于点 .
（i）求 的最小值；
（ii）是否存在一个与直线 相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
19.（2026·辽宁鞍山·二模） （17分）
已知函数 .
（1）证明：当 时，；
（2）设 在 上的零点从小到大构成有穷数列 .
（i）求数列 的项数 ；
（ii）求证：.
答案解析
一、选择题
1.
【答案】C
【详解】对于A，集合元素具有无序性，，故A错误；对于B，左边是点集，右边是数集，集合不同，故B错误；对于C，两个集合均表示大于1的实数构成的数集，是同一个集合，故C正确；对于D， 表示不含任何元素的集合，而 是含有一个元素0的集合，不相等，故D错误.故选C.
【易错警示】常见错误：混淆点集与数集；误认为空集等于含0的集合.防错方法：理解集合相等的定义（元素完全相同），并熟记空集是不含任何元素的集合.
【规律总结】集合相等判断：两个集合的元素完全相同则相等，与元素顺序、表示方法无关.
2.
【答案】A
【详解】由 ，得 .所以 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.故选A.
【易错警示】常见错误：复数除法运算出错；将点的坐标写反.防错方法：复数除法时分子分母同乘分母的共轭复数；复平面内横坐标为实部，纵坐标为虚部.
【规律总结】复数 对应复平面内的点 ，象限由 的符号决定.
3.
【答案】A
【详解】由 ，得 ，所以 .故 .故选A.
【易错警示】常见错误：移项时未提取 ；忘记复数的模等于实部与虚部平方和的算术平方根.防错方法：先解出复数，再代入模长公式.
【规律总结】求解复数模的问题，通常先利用复数运算法则求出复数的一般形式，再利用 求解.
4.
【答案】C
【详解】设等差数列 的公差为 ().由 ，得 ，即 .由 ，得 .代入 ，得 ，解得 （舍负），则 .所以 .故选C.
【易错警示】常见错误：等差数列性质使用错误；解方程时丢解或未舍去负值.防错方法：根据已知条件列出关于 和 的方程组，求解时注意 的条件.
【规律总结】等差数列基本量运算：将条件转化为关于首项 和公差 的方程（组），解出 即可求任意项、求和.
5.
【答案】A
【详解】两直线 与 斜率均为2，相互平行.圆 的圆心为 .四个交点构成矩形，则该矩形的中心必为圆心，且两平行线关于圆心对称.故圆心到两直线的距离相等且不为零.圆心到 的距离为 ，到 的距离为 .由对称性得 ，所以 .故选A.
【易错警示】常见错误：误以为矩形的中心在直线上；未利用圆的对称性.防错方法：分析矩形与圆的对称关系，圆的内接矩形必以圆心为中心，故两平行弦关于圆心对称.
【规律总结】圆内接矩形的性质：圆内接矩形的对角线交点即为圆心，矩形两组对边到圆心的距离相等.
6.
【答案】C
【详解】由最低点 知 .由点 得 ，即 ，又 ，故 .在 轴右侧的第一个零点为 ，且 为最低点，故 ，得 ，故 .所以 .当 时，.要使得在 上值域为 ，函数图象需到达最高点2，但不能到达下一个-1.令 ，得 ，此时取到最大值2.令 （使函数值为-1的下一个点），得 .因此 需在 和 之间，且可以取到 但不能取到 .即 .故选C.
【易错警示】常见错误：求参数 时出现偏差；判断区间端点是否取等时容易出错.防错方法：结合“五点法”准确求参，利用函数图象或单位圆判断函数值变化情况，注意区间端点的开闭.
【规律总结】求三角函数解析式的方法：通过最值求 ，通过周期求 ，通过代入已知点坐标求 .
7.
【答案】D
【详解】由 ，而 ，所以 .又 .两式结合得 ，即 .两边同除以 （因 锐角，故 待定），得 .则 .由基本不等式，，当且仅当 时取等号.故 .故选D.
【易错警示】常见错误：诱导公式使用错误；化简过程中符号出错；忘记基本不等式取等条件.防错方法：严格按三角形内角和关系及两角和差公式化简，利用基本不等式求最值时验证取等条件.
【规律总结】三角形中边角关系处理：常利用 进行角的代换，结合和差角公式化简.
8.
【答案】D
【详解】设切点为 ，，切线斜率 .切线方程为 ，代入点 得 ，即 ，整理得 .令 ()，则 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减. 的最大值为 .当 时，；当 时，.过点 有两条切线，即关于 的方程 有两个不同的正实数解，故 .故选D.
【易错警示】常见错误：切线方程列错；对方程解的存在性分析不清.防错方法：写出切点处的切线方程，代入已知点得到关于切点横坐标的方程，问题转化为该方程解的个数问题，再用导数研究函数图象.
【规律总结】过定点的曲线的切线问题：设切点坐标，写出切线方程，利用切线过定点建立方程，转化为方程解的个数问题.
【一题多解】
解法一：如上所述，转化为 有两个解，研究函数 的图象.
解法二：考虑 的上凸性，过点 存在两条切线，等价于点 位于曲线 的下方且在 轴右侧.曲线 在 处的切线方程为 ，而点 在 轴上方，通过几何分析也可得 .
对比：解法一为代数通法，适用范围广；解法二借助几何直观，更快捷但需对曲线凹凸性有清晰认识.
二、选择题
9.
【答案】BCD
【详解】将10个数据从小到大排列：90，92，93，95，95，95，95，95，96，98.对于A，平均数为 ，A错误.对于B，众数为95（出现5次），中位数为第5、6个数据的平均数，即 ，众数与中位数相同，B正确.对于C，极差为 ，C正确.对于D，方差计算：各数据与平均数94.4的差的平方和除以10，结果为4.44，D正确.故选BCD.
【易错警示】常见错误：平均数计算时漏项或加错；众数与中位数概念混淆；方差公式记错（忘记除以n）.防错方法：有序排列数据后准确计算；方差公式 .
【规律总结】样本数字特征：先排序再求中位数；众数看频次最高；极差为最大值减最小值；方差衡量离散程度.
10.
【答案】ACD
【详解】设等比数列 的公比为 ().由 ，得 ，因各项为正，得 ，解得 （舍负）.由 ，得 ，所以 .则 .对于A，，A正确；对于B，，所以数列 是公比为4的等比数列，B错误；对于C，，而 ，故 ，C正确；对于D，，，所以 是公差为1的等差数列，D正确.故选ACD.
【易错警示】常见错误：公比计算错误；等比数列求和公式记错；对数运算不熟练.防错方法：利用已知项的关系列出方程求公比；求和时注意公式中 的条件.
【规律总结】等比数列问题：抓住首项 和公比 两个基本量，将条件转化为关于它们的方程求解.
11.
【答案】ABD
【详解】对于A，由渐近线 得 ，设 ，则 ，离心率 ，A正确.
对于B，设 ，.由双曲线定义，.在 中，设内切圆圆心为 ，半径为 ，则 .由 ，得 ，，所以 ，即 ，B正确.
对于C，由 ，得 .直线 的倾斜角为 ，其斜率 .由 ，得 ，所以 ，其绝对值不等于 ，C错误.
对于D，设 的内切圆圆心为 ，半径为 .由切线长定理可得 .结合 ，可推导出 .由渐近线斜率 及几何关系得 ，从而 ，代入得 ，D正确.
故选ABD.
【易错警示】常见错误：在C选项中，误将直线 的斜率当作 ，而未考虑倾斜角与三角形内角的关系.防错方法：注意直线过左焦点交左支于 ，直线倾斜角与 互补，斜率应为 .
【规律总结】双曲线焦点三角形的内切圆问题，常利用切线长定理及双曲线定义，建立边长与内切圆半径的关系，转化为角度函数进行求解.
【一题多解】
对于B选项：也可利用三角形面积公式 及正弦定理、余弦定理推导，但利用内切圆半径与半角正切的关系最为直接.对比：半角正切法简洁高效，面积法过程较繁琐但思路自然.
三、填空题
12.
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为 ，由轴截面为等腰直角三角形，则母线长 .侧面积 ，底面积 ，所以侧面积与底面积的比值为 .
【易错警示】常见错误：混淆轴截面等腰直角三角形的直角边对应关系，导致母线长计算错误.防错方法：画出轴截面图形，明确底面直径等于等腰直角三角形的斜边，母线为直角边，从而得到 或 的关系.
【规律总结】圆锥的轴截面包含底面直径和两条母线，其形状由底面半径和母线长决定，常用于求侧面展开图的圆心角、表面积等.
13.
【答案】2
【详解】圆 的圆心 ，半径 .点 到圆心 的距离 .由圆的切线性质，切线长 .
【易错警示】常见错误：圆心坐标符号写错；切线长公式记错.防错方法：写出圆的标准方程，准确找出圆心和半径；熟记切线长公式 .
【规律总结】过圆外一点引圆的切线，切线长 ，其中 是点到圆心的距离， 是圆的半径.
14.
【答案】
【详解】由椭圆定义，，又 ，解得 ，.由切线长定理，，，且 .而 ，.所以 ，得 .又 ，解得 .由条件 知 ，所以 ，即 .故离心率 .由 ，得 ，故 .
【易错警示】常见错误：切线长定理应用不熟练，导致关系式列错；向量比例关系未转化为线段长度关系.防错方法：准确利用切线长定理将圆外一点到两切点的线段长转化为焦点三角形边长；明确 的含义，建立等量关系.
【规律总结】涉及椭圆焦点三角形的内切圆或旁切圆问题，常借助切线长定理将边的关系转化为线段长，结合椭圆定义求解.
【一题多解】
解法一：如上，利用旁切圆性质和切线长定理.
解法二：设旁切圆与三边的切点，根据切线长性质列出等式，再结合椭圆定义求解.对比：解法一直接利用旁切圆切点线段长的已知结论，更简洁.
四、解答题
15.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）.令 ，解得 ，.所以 的单调递减区间为 .
（2）由 ，得 ，即 .因 为锐角，，故 ，解得 .由正弦定理 ，，得 .所以 ，得 .由余弦定理 ，即 ，解得 .故 的面积 .
【易错警示】常见错误：辅助角公式使用错误；求单调区间时忽略周期性；解三角形时角的范围判断错误.防错方法：辅助角公式要提取 ；单调区间需加上周期 ；根据已知条件限制角的范围.
【规律总结】三角函数与解三角形综合题，先利用三角恒等变换化简函数，再结合正余弦定理求解三角形的边角.
16.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 .因为三棱柱各棱长均为2，所以 和 均为等边三角形.则 ，.又 ，所以 平面 .因为 平面 ，故 .
（2）由体积 ，而 ，故 .又由（1）知 ，所以 即为三棱柱的高，即 平面 .以 为原点， 为 轴建系.则 .设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 .设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 .则 .故所求余弦值为 .
【易错警示】常见错误：建系时坐标写错；法向量计算错误；二面角余弦值忘记取绝对值.防错方法：建立坐标系后仔细核对关键点坐标；解方程组求法向量时固定一个变量再解；二面角为锐角时余弦值为正.
【规律总结】立体几何求二面角常用空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，分别求出两个半平面的法向量，利用夹角公式求解.
17.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）愿意，理由见解析.
【详解】
（1）交换1次后，小明手中王牌张数 的可能取值为 .小明和小红初始各有1张王牌和1张鬼牌，共4张牌，王牌和鬼牌各2张.随机交换1次：两人各随机出1张牌交换.小明出王牌的概率为 ，出鬼牌的概率为 ；小红同理.
表示小明手中没有王牌，即小明出了王牌，小红出了鬼牌，交换后小明得到鬼牌.概率 .
表示小明手中有2张王牌，即小明出了鬼牌，小红出了王牌，交换后小明得到王牌.概率 .
表示小明手中仍有1张王牌，包括两人出牌相同的情况（都出王牌或都出鬼牌）.概率 .
所以 的分布列为：
数学期望 .
（2）记每轮结束时小明手中两张牌相同（即均为王牌或均为鬼牌）为事件 .交换1次后，牌相同（ 或 ）的概率为 .交换2次后，牌相同的概率 （若相同，再换必不同；若不同，换后有 概率相同）.交换3次后，牌相同的概率 .所以一轮结束时小明获胜（即牌相同）的概率为 .两轮至少一轮获胜的概率为 .因为 ，小明获胜概率大于小红，所以愿意接受该游戏规则.
【易错警示】常见错误：混淆条件概率，直接认为每次交换后牌相同的概率恒为 .防错方法：明确状态转移关系，建立递推模型或状态转移图计算每一步的概率.
【规律总结】涉及多步随机过程的概率问题，可利用马尔可夫链的思想，分析状态转移概率，建立递推关系求解.
18.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）存在，.
【详解】
（1）由题意知 的右顶点 ，过 垂直于 轴的直线 与 交于点 ，故 .点 在 上，代入 方程得 .过 的右焦点 作 轴垂线与 交于点 ，故 .该点在 上，代入 方程得 ，解得 .所以 方程为 .对于 ，由 得 .联立 ，将 代入，得 .去分母整理得 ，即 ，解得 （舍负），从而 .所以 方程为 .
（2）（i）当 时， 为 长轴端点 或 ， 为 短轴端点 或 ，.当 时，设直线 ，代入 得 ，，，故直线 ，代入 得 .所以 .利用基本不等式或函数单调性可得 ，故 .综上， 的最小值为 .
（ii）过原点 作 于 ，则 .当 时，，，.当 时，代入前面求得的 ，化简得 .故原点 到直线 的距离恒为 .因此存在定圆 与直线 始终相切.
【易错警示】常见错误：椭圆方程求错；弦长计算或距离公式代入错误；忽略斜率不存在的情况.防错方法：仔细根据已知点坐标列方程；涉及动直线问题注意分类讨论斜率是否存在.
【规律总结】解析几何中的定值问题：通过设直线方程、联立、韦达定理等步骤，表示出目标量，利用代数化简证明其为常数.
【一题多解】
（i）求 最小值，除了上述代数法，还可考虑参数方程：设 ，，利用垂直关系 建立参数间关系，再用距离公式和三角函数求最值.对比：代数法通用性强，参数方程在特定曲线下可能更简洁.
19.
【答案】（1）见解析；（2）（i）2027；（ii）见解析.
【详解】
（1）当 时，令 ，.设 ，则 .当 时，，；当 时，，故 恒成立.所以 ，即 ，所以 .
（2）（i）.当 时，.令 ，即 .在 上， 是一个零点.当 时，分析可知在每段长为 的区间内有且仅有一个零点.由于 包含 个长度为 的周期，加上端点，在 上共有 个零点.故 .
（ii）由零点性质，每个 满足 .可证 ，且 .则 .对 求和，即得 ，显然大于 .原不等式成立.
【易错警示】常见错误：零点个数计数错误；不等式放缩过度或不足.防错方法：利用函数图象和单调性分析零点分布；求和时对每一项进行适当的放缩.
【规律总结】与三角函数和指数函数相关的零点问题，常需结合周期性、单调性和特殊点的函数值来讨论根的个数与分布.
【一题多解】
（2）（ii）除了上述分组放缩，也可利用积化和差或更精细的切线放缩得到更强的不等式.对比：解法一利用零点所在区间进行最粗放缩，过程简单；解法二可能得到更精确的下界，但计算量大.
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