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浙江省宁波余姚市2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2026的相反数是（　　）
A．　　　 B．2026
C．　　　 D．
2． “浙BA”自开赛以来，以“体育赛事引流、文商旅农融合消费”的方式火爆出圈。据统计，赛事已带动综合消费超过25亿元。其中“25亿”用科学记数法表示为（　　）
A．　　 B．
C．　　　 D．
3．下列实数中，比大的无理数的是(　　)
A．　　　　 B． C．-1 D．0
4．下列运算正确的是（　　）
A．　　 B．
C．　　 D．
5．已知，则下列等式中，不一定成立的是（　　）
A．　　　 B．
C．　　　 D．
6．一副三角板按如图方式摆放，若，则（　　）
A．　　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．近似数5.7万精确到十分位 B．16的平方根是4
C．单项式的系数是2 D．同角的补角相等
8．实数，在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（　　）
A．　　　 B． C．　　　 D．
9． 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形。已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3。若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道小长方形①的周长；
乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差；
丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和；
丁说：只需要知道大长方形的周长；
下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确 B．甲和乙均正确
C．乙、丙和丁均正确 D．甲、丙和丁均正确
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 若气温零上记为，则气温零下记为　 　。
12． 已知单项式与是同类项，则的值为　 　。
13． 若整数满足，则的值是　 　。
14． 若关于的方程的解为最大的负整数，则的值是　 　。
15． 已知为直线上一点，与的长度之比为，是线段的中点，若，则PC=　 　。
16． 如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中数之和都相等，已知，，，则　 　。
三、解答题(第rId156题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分)
17． 计算：
（1）
（2）
18． 解方程：
（1）
（2）
19． 先化简，再求值：，其中，。
20． 如图，平面内有、、、四点，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）。
（1）画直线，射线。
（2）连结并延长到点，使得。
（3）在线段上找一点，使得点到、两点距离之和最小，请在图中画出点。
21． 近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加。王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）。以40km为标准，多于40km的记为“+”，不足40km的记为“-”，刚好40km的记为“0”。
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程/km -7 -4 +10 0 -13 +19 +15
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　 　km。
（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费。
22． 如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“Z”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，。
（1）若设所表示的数为，则表示的数为　 　（用的代数式表示）。
（2）若这五个数的和为115，求所表示的数。
（3）代数式的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由。
23． 某市居民年用天然气阶梯价格方案如下：
分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米）
第一阶梯 不超过250立方米的部分 2.8
第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 3.4
第三阶梯 超过800立方米的部分 4.2
（1）若小余家2024年用天然气200立方米，则应缴纳天然气费 　 　元。
（2）若小余家2025年缴纳天然气费2780元，求小余家2025年的用气量。
（3）小姚家2024年和2025年共用天然气500立方米，两年共缴纳天然气费1406元，且2025年的用气量比2024年多，求小姚家2024年和2025年的天然气用量各是多少立方米？
24． 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使°，将一个直角三角尺DOE的一个顶点放在O处，边EO与直线AB重合，°，°。
（1）如图1，求的度数。
（2）将直角三角尺DOE绕点O以3度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线OC绕点O以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线OB重合，再绕点O以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺DOE的停止而停止，记旋转时间为t秒。
①如图2，当直角三角尺DOE旋转到直线AB上方，且OD平分时，求的度数。
②探究：在旋转过程中，当时，求t的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026的相反数是-2026，
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴ 比大的无理数的是，
故选：B.
【分析】先比较实数的大小，然后根据无理数的定义判断解答即可.
4．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、5a-3a=2a≠2，故A错误；
故B错误；
C、5ab-3ba=2ab，故C正确；
D、5a+3b≠15ab，故D错误.
故选：C【分析】根据合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：
，故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意；
D.当m=0时，原式不成立，故本选项符合题意.
故选： D.
【分析】根据等式的基本性质，逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：
又：
故选： A.
【分析】根据题意得出 解答即可.
7．【答案】D
【知识点】单项式的次数与系数；平方根的概念与表示；近似数与准确数；补角
【解析】【解答】解：A：近似数5.7万精确到千位，原说法错误；
B：16的平方根是±4，原说法错误；
C：单项式的系数是，原说法错误；
D：同角的补角相等，说法正确，
故答案为：D.
【分析】根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数、补角的性质逐项判断解答即可.
8．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得-1则
故选： C.
【分析】根据数轴可得-19．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故选： B.
【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小长方形①的长和宽分别为a，b，周长为2(a+b)，
则大长方形的长为a+b+1，宽为a-1-3+b=a+b-4，
则大长方形的面积为(a+b+1)(a+b-4)，故甲的说法正确；
设长方形③的长和宽为c和d，
则长方形②的长为a-1=d+1+3，正方形④的边长为b+1=c-1，
∴a-d=5，b-d=-2，
∴a+b-(c+d)=3，不能表示大长方形的面积，故乙说法错误；
设长方形②的长为e，宽为e-3，正方形④的边长为g，②和④的周长为4e-12+4g，
则a=e-1，b=g-1，
∴(a+b+1)(a+b-4)=(e-1+g-1+1)(e-1+g-1-4)=(e+g-1)(e+g-6)，故大长方形的面积与e+g有关，即与 ②与④的周长和有关，故丙说法正确；
大长方形的周长为2(a+b+1+a+b-4)=2=2[2(a+b)-3]，即大正方形的面积与周长都与a+b有关，即丁说法正确；
故选D.
【分析】设长方形①的长和宽分别为a，b，长方形②的长为e，宽为e-3，长方形③的长和宽为c和d，正方形④的边长为g，根据题意利用整式的加减表示大长方形的周长和面积，然后判断解答即可.
11．【答案】-2
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，
所以，若气温零上 记为+ 则气温零下 记为
故答案为：-2.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
12．【答案】5
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 单项式与是同类项，
∴m=3，n=2，
∴m+n=3+2=5，
故答案为：5.
【分析】同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，据此求出m和n的值，然后求和解答即可.
13．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 而整数a满足 +1，
故答案为：4.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可.
14．【答案】-1
【知识点】有理数的分类；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程：3x-ax=-4的解为最大的负整数，
∴此方程的解是x=-1，
把x=-1代入方程3x-ax=-4中，得 +a=-4，
故答案为：-1.
【分析】先得出x的值，再把x的值代入方程3x-ax=-4中即可求出a的值.
15．【答案】1或7
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，
当点P在线段AB之间时，如图所示，
∵AP与PB的长度之比为3：4， 且.AP=6，
∵C是线段AB的中点，
当点P在BA延长线上时，如图所示，
∵AP与PB的长度之比为3：4， 且.AP=6，
∵C是线段AB的中点，
综上所述，PC=1或7.
故答案为：1或7.
【分析】根据题意，画出示意图，再结合线段中点的定义进行计算即可.
16．【答案】2022
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵任意四个相邻“”中数之和都相等，
∴4个“”中数字重复，
∵13÷4=3余1，35÷4=8余3，19÷4=4余3，2022÷4=505余2，
∴5x=5，解得x=1，
∴第三个数为2x+6=8，第一个数为1-8=-7，即-5+5+8+(-2)=4，
又∵2026÷4=506余2，
∴，
故答案为：2022.
【分析】根据题意可得数列中4个数重复出现，然后根据5x=5求出x的值，即可求出第三个数和第一个数，再根据2026÷4=506余2解答即可.
17．【答案】（1）原式
（2）解： 原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先运算绝对值和算术平方根，然后加减解答即可；
（2）先运算乘方和立方根，然后根据乘法分配律计算，然后加减解答即可.
18．【答案】（1）移项，得
合并同类项，得
解得
（2）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1解答即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
19．【答案】原式
当，时，原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】将原式去括号后合并同类项，然后代入已知数值计算即可.
20．【答案】（1）解：如图，直线，射线即为所作；
（2）解：如图，线段BE即为所求的线段.
（3）解：如图，点P即为所求的点.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)根据直线，射线的定义画出图形；
(2)根据射线，线段的定义作出图形；
(3)连接BD交AC于点P，点P即为所求.
21．【答案】（1）32
（2）（km）
（元）
答：王老师这7天开新能源汽车的电费为25.2元
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：(1)+19-(-13)
=19+13
=32(km)，
即这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶32km，
故答案为：32；
【分析】(1)根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可；
(2)根据正数和负数的实际意义列式计算即可.
22．【答案】（1）
（2）设，则，，，
解得
答：表示的数是15
（3）设，则，，，
代数式的值为定值
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解： (1)设C所表示的数为a， 则点D =a+7， 则E=a+8，
故答案为： a+8；
【分析】(1)根据题意正确列式即可；
(2)设C=a， 则B=a﹣7， A=a﹣8， D=a+7， E =a+8， 相加求解即可；
(3)设C=a， 则B=a﹣7， A=a﹣8， D=a+7， E=a+8， 然后代入A-2B+3C+4D-6E，运用整式的加减运算法则求解即可.
23．【答案】（1）560
（2）设小余家2025年用气量立方米
2025年的用气量属于第三阶梯
解得
答：小余家2025年用气量为850立方米
（3）2025年的用气量比2024年的用气量多，且两年的用气量之和为500立方米
2024年的用气量小于250立方米，2025年的用气量大于250立方米
设小姚家2024年的用气量立方米，则2025年的用气量为立方米
解得
答：小姚家2024年的用气量为240立方米，2025年的用气量为260立方米
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解： (1)根据题意得： 2.8×200=560(元)，
∴应缴纳天然气费560元.
故答案为： 560；
【分析】(1)利用应缴纳天然气费= 2.8×小余家2024年的用气量，即可求出结论；
(2)设小余家2025年用气量为x立方米，根据小余家2025年缴纳天然气费2780元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小姚家2024年的用气量为y(024．【答案】（1）∵，
∴
（2）①如图2，∵ 平分 ，
∴
当旋转时间为 秒时，，
则 ， 解得
∴
②（i）当 顺时针旋转未与 重合，即当 时，如图3
，
由 ，得
解得
（ii）当 与 重合后开始逆时针旋转，即当 时，如图4
，，
则
由 ，得
解得 ，此情况不符合题意，舍去
（iii）当在下方，即当时，如图5
，
由，得
解得
综上所述，或。
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角的和差解答即可；
（2）①根据角平分线的定义得到∠DOC=30°，然后根据旋转了事∠AOE和∠BOC的度数，再根据平角的定义求出时间t的值即可；
②分为 顺时针旋转未与 重合和 与 重合后开始逆时针旋转，两种情况，分别表示∠AOE，∠COD的度数，根据 列方程求出时间t的值解答即可.
1 / 1浙江省宁波余姚市2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2026的相反数是（　　）
A．　　　 B．2026
C．　　　 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2026的相反数是-2026，
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2． “浙BA”自开赛以来，以“体育赛事引流、文商旅农融合消费”的方式火爆出圈。据统计，赛事已带动综合消费超过25亿元。其中“25亿”用科学记数法表示为（　　）
A．　　 B．
C．　　　 D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．下列实数中，比大的无理数的是(　　)
A．　　　　 B． C．-1 D．0
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴ 比大的无理数的是，
故选：B.
【分析】先比较实数的大小，然后根据无理数的定义判断解答即可.
4．下列运算正确的是（　　）
A．　　 B．
C．　　 D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、5a-3a=2a≠2，故A错误；
故B错误；
C、5ab-3ba=2ab，故C正确；
D、5a+3b≠15ab，故D错误.
故选：C【分析】根据合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．已知，则下列等式中，不一定成立的是（　　）
A．　　　 B．
C．　　　 D．
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：
，故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意；
D.当m=0时，原式不成立，故本选项符合题意.
故选： D.
【分析】根据等式的基本性质，逐项判断即可.
6．一副三角板按如图方式摆放，若，则（　　）
A．　　　　　　 B．
C．　　　　　　 D．
【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：
又：
故选： A.
【分析】根据题意得出 解答即可.
7．下列说法正确的是（　　）
A．近似数5.7万精确到十分位 B．16的平方根是4
C．单项式的系数是2 D．同角的补角相等
【答案】D
【知识点】单项式的次数与系数；平方根的概念与表示；近似数与准确数；补角
【解析】【解答】解：A：近似数5.7万精确到千位，原说法错误；
B：16的平方根是±4，原说法错误；
C：单项式的系数是，原说法错误；
D：同角的补角相等，说法正确，
故答案为：D.
【分析】根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数、补角的性质逐项判断解答即可.
8．实数，在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（　　）
A．　　　 B． C．　　　 D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得-1则
故选： C.
【分析】根据数轴可得-19． 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：依题意，得：
故选： B.
【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
10． 如图，一个大长方形被分割成五个小长方形，④号和⑤号均为正方形。已知⑤号正方形的边长为1，②号小长方形的长与宽差3。若想求得大长方形的面积，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道小长方形①的周长；
乙说：只需要知道小长方形①与③的周长差；
丙说：只需要知道小长方形②与④的周长和；
丁说：只需要知道大长方形的周长；
下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确 B．甲和乙均正确
C．乙、丙和丁均正确 D．甲、丙和丁均正确
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小长方形①的长和宽分别为a，b，周长为2(a+b)，
则大长方形的长为a+b+1，宽为a-1-3+b=a+b-4，
则大长方形的面积为(a+b+1)(a+b-4)，故甲的说法正确；
设长方形③的长和宽为c和d，
则长方形②的长为a-1=d+1+3，正方形④的边长为b+1=c-1，
∴a-d=5，b-d=-2，
∴a+b-(c+d)=3，不能表示大长方形的面积，故乙说法错误；
设长方形②的长为e，宽为e-3，正方形④的边长为g，②和④的周长为4e-12+4g，
则a=e-1，b=g-1，
∴(a+b+1)(a+b-4)=(e-1+g-1+1)(e-1+g-1-4)=(e+g-1)(e+g-6)，故大长方形的面积与e+g有关，即与 ②与④的周长和有关，故丙说法正确；
大长方形的周长为2(a+b+1+a+b-4)=2=2[2(a+b)-3]，即大正方形的面积与周长都与a+b有关，即丁说法正确；
故选D.
【分析】设长方形①的长和宽分别为a，b，长方形②的长为e，宽为e-3，长方形③的长和宽为c和d，正方形④的边长为g，根据题意利用整式的加减表示大长方形的周长和面积，然后判断解答即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 若气温零上记为，则气温零下记为　 　。
【答案】-2
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，
所以，若气温零上 记为+ 则气温零下 记为
故答案为：-2.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
12． 已知单项式与是同类项，则的值为　 　。
【答案】5
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 单项式与是同类项，
∴m=3，n=2，
∴m+n=3+2=5，
故答案为：5.
【分析】同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，据此求出m和n的值，然后求和解答即可.
13． 若整数满足，则的值是　 　。
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 而整数a满足 +1，
故答案为：4.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可.
14． 若关于的方程的解为最大的负整数，则的值是　 　。
【答案】-1
【知识点】有理数的分类；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程：3x-ax=-4的解为最大的负整数，
∴此方程的解是x=-1，
把x=-1代入方程3x-ax=-4中，得 +a=-4，
故答案为：-1.
【分析】先得出x的值，再把x的值代入方程3x-ax=-4中即可求出a的值.
15． 已知为直线上一点，与的长度之比为，是线段的中点，若，则PC=　 　。
【答案】1或7
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，
当点P在线段AB之间时，如图所示，
∵AP与PB的长度之比为3：4， 且.AP=6，
∵C是线段AB的中点，
当点P在BA延长线上时，如图所示，
∵AP与PB的长度之比为3：4， 且.AP=6，
∵C是线段AB的中点，
综上所述，PC=1或7.
故答案为：1或7.
【分析】根据题意，画出示意图，再结合线段中点的定义进行计算即可.
16． 如图，在2026个“”中依次填入一列数，，，，，使得其中任意四个相邻“”中数之和都相等，已知，，，则　 　。
【答案】2022
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵任意四个相邻“”中数之和都相等，
∴4个“”中数字重复，
∵13÷4=3余1，35÷4=8余3，19÷4=4余3，2022÷4=505余2，
∴5x=5，解得x=1，
∴第三个数为2x+6=8，第一个数为1-8=-7，即-5+5+8+(-2)=4，
又∵2026÷4=506余2，
∴，
故答案为：2022.
【分析】根据题意可得数列中4个数重复出现，然后根据5x=5求出x的值，即可求出第三个数和第一个数，再根据2026÷4=506余2解答即可.
三、解答题(第rId156题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共72分)
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）原式
（2）解： 原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先运算绝对值和算术平方根，然后加减解答即可；
（2）先运算乘方和立方根，然后根据乘法分配律计算，然后加减解答即可.
18． 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）移项，得
合并同类项，得
解得
（2）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1解答即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
19． 先化简，再求值：，其中，。
【答案】原式
当，时，原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】将原式去括号后合并同类项，然后代入已知数值计算即可.
20． 如图，平面内有、、、四点，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）。
（1）画直线，射线。
（2）连结并延长到点，使得。
（3）在线段上找一点，使得点到、两点距离之和最小，请在图中画出点。
【答案】（1）解：如图，直线，射线即为所作；
（2）解：如图，线段BE即为所求的线段.
（3）解：如图，点P即为所求的点.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)根据直线，射线的定义画出图形；
(2)根据射线，线段的定义作出图形；
(3)连接BD交AC于点P，点P即为所求.
21． 近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加。王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）。以40km为标准，多于40km的记为“+”，不足40km的记为“-”，刚好40km的记为“0”。
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程/km -7 -4 +10 0 -13 +19 +15
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　 　km。
（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费。
【答案】（1）32
（2）（km）
（元）
答：王老师这7天开新能源汽车的电费为25.2元
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：(1)+19-(-13)
=19+13
=32(km)，
即这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶32km，
故答案为：32；
【分析】(1)根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可；
(2)根据正数和负数的实际意义列式计算即可.
22． 如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“Z”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，。
（1）若设所表示的数为，则表示的数为　 　（用的代数式表示）。
（2）若这五个数的和为115，求所表示的数。
（3）代数式的值是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由。
【答案】（1）
（2）设，则，，，
解得
答：表示的数是15
（3）设，则，，，
代数式的值为定值
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解： (1)设C所表示的数为a， 则点D =a+7， 则E=a+8，
故答案为： a+8；
【分析】(1)根据题意正确列式即可；
(2)设C=a， 则B=a﹣7， A=a﹣8， D=a+7， E =a+8， 相加求解即可；
(3)设C=a， 则B=a﹣7， A=a﹣8， D=a+7， E=a+8， 然后代入A-2B+3C+4D-6E，运用整式的加减运算法则求解即可.
23． 某市居民年用天然气阶梯价格方案如下：
分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米）
第一阶梯 不超过250立方米的部分 2.8
第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 3.4
第三阶梯 超过800立方米的部分 4.2
（1）若小余家2024年用天然气200立方米，则应缴纳天然气费 　 　元。
（2）若小余家2025年缴纳天然气费2780元，求小余家2025年的用气量。
（3）小姚家2024年和2025年共用天然气500立方米，两年共缴纳天然气费1406元，且2025年的用气量比2024年多，求小姚家2024年和2025年的天然气用量各是多少立方米？
【答案】（1）560
（2）设小余家2025年用气量立方米
2025年的用气量属于第三阶梯
解得
答：小余家2025年用气量为850立方米
（3）2025年的用气量比2024年的用气量多，且两年的用气量之和为500立方米
2024年的用气量小于250立方米，2025年的用气量大于250立方米
设小姚家2024年的用气量立方米，则2025年的用气量为立方米
解得
答：小姚家2024年的用气量为240立方米，2025年的用气量为260立方米
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解： (1)根据题意得： 2.8×200=560(元)，
∴应缴纳天然气费560元.
故答案为： 560；
【分析】(1)利用应缴纳天然气费= 2.8×小余家2024年的用气量，即可求出结论；
(2)设小余家2025年用气量为x立方米，根据小余家2025年缴纳天然气费2780元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小姚家2024年的用气量为y(024． 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使°，将一个直角三角尺DOE的一个顶点放在O处，边EO与直线AB重合，°，°。
（1）如图1，求的度数。
（2）将直角三角尺DOE绕点O以3度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线OC绕点O以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线OB重合，再绕点O以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺DOE的停止而停止，记旋转时间为t秒。
①如图2，当直角三角尺DOE旋转到直线AB上方，且OD平分时，求的度数。
②探究：在旋转过程中，当时，求t的值。
【答案】（1）∵，
∴
（2）①如图2，∵ 平分 ，
∴
当旋转时间为 秒时，，
则 ， 解得
∴
②（i）当 顺时针旋转未与 重合，即当 时，如图3
，
由 ，得
解得
（ii）当 与 重合后开始逆时针旋转，即当 时，如图4
，，
则
由 ，得
解得 ，此情况不符合题意，舍去
（iii）当在下方，即当时，如图5
，
由，得
解得
综上所述，或。
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角的和差解答即可；
（2）①根据角平分线的定义得到∠DOC=30°，然后根据旋转了事∠AOE和∠BOC的度数，再根据平角的定义求出时间t的值即可；
②分为 顺时针旋转未与 重合和 与 重合后开始逆时针旋转，两种情况，分别表示∠AOE，∠COD的度数，根据 列方程求出时间t的值解答即可.
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