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浙江申金华市武义县2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（　　）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似
2．已知线段，，则a，b的比例中项线段c等于(　　)
A．36 B．6 C． D．6.5
3．如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，内接于，。若弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形
6．k为任意实数，抛物线的顶点总在（　　）
A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上
7．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为100mm，两直管道的长度都为200mm。则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（　　）
A．400 mm B． mm
C． mm D． mm
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点，的坐标分别为，。若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
9．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（　　）
A．　　　　 B． C．　　　　 D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知的半径为。若点在圆上，则　 　。（填“”“”或“”）
12．若，则的值为　 　。
13．武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近。已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为　 　千米（结果保留根号）。
14．一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
15．如图，点在以为直径的上，点关于弦的对称点在直径上。若，，则点到直径的距离为　 　。
16．在中，，将沿折叠得到，延长交于点，若，则的值为　 　。
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：。
18．“浙BA”城市争霸赛永康队的一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合。教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中、前锋中随机选一名，组成二人配合小组。
（1）求金倍司被选中的概率。
（2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率。
19．在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)。
（1）在图1中画出与相似的三角形DEF(全等三角形除外)，且点D，E，F都在格点上。
（2）在图2中的线段AB上作一点D，使得AD∶∶3。
20．武义琭园的文创店新进了一批“琭园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个。根据以往的销售经验，每周的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足关系式()。
（1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润。
（2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润。
21．如图1所示，在浙江磐安海拔750米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动。图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径。小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53°，随后沿着坡度：2.5的斜坡行走了29米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处。经测量，NC约为10米。
（1）求观景台到地面的高度。
（2）求摩天轮的直径。
（参考数据：，，，，结果精确到1米。）
22．如图，是的直径，点是圆上一点，连结，，过点作于点，交于点。
（1）求证：。
（2）若，，求的长。
（3）在（2）的条件下，求弓形的面积。
23．如图，抛物线（）与轴交于点，抛物线上的点与点分别位于第一象限与第四象限，连结，。
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴。
（2）若，且点的横坐标为，求抛物线的函数表达式。
（3）记点与点的横坐标分别为与，当时，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
24．如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使。
（1）求证：。
（2）如图2，连结，若，。
①求的半径。
②求的面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转，
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，将一个图形绕一定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵是和的比例中项，
∴，
又∵线段的长度为正数，
∴．
故选：B．
【分析】根据比例中项解答即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵，
∴．
故选：A ．
【分析】根据三角形内角和为可求解的度数，然后根据相似三角形的额对应角相等解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图所示：的开口向上，，
与开口向下，则，
∵的开口大于开口，
∴
∴，
∴
故选：D．
【分析】利用|a|越大，二次函数的图象开口大小越小，结合开口方向解答即可．
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
则，
∴这个正多边形是正十边形．
故选：A．
【分析】先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得多边形的边的数量解答即可．
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∵为任意实数，
∴顶点坐标满足，
∴顶点总在直线上．
故选：B
【分析】根据抛物线的解析式得到顶点为，然后逐项判断解答即可．
7．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：图中管道的展直长度，
故选：D．
【分析】根据弧长公式计算即可．
8．【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示：
则点就是位似中心，
点的坐标分别为，，
，
，
，
则，
点的坐标分别为，，
，
则，
，
即，解得，
的位似中心的坐标是，
故选：A．
【分析】先找出图中位似中心在x轴上，根据平行得到，然后根据对应边成比例求出OO'的长解答即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数开口向上，对称轴为y轴，在时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，且点到对称轴距离越远，函数值越大．
A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确．
B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确．
C：若，则，∵函数在时y随x的增大而增大，∴，C正确．
D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误．
故选：D．
【分析】根据二次函数的对称性与增减性逐项判断解答即可．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；确定圆的条件；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，取中点，连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴最小时，即时，有最小值，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的最小值是．
故选：C．
【分析】连接，取中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据三角形外角求出，根据勾股定理得到，然后根据垂线段最短得出时，有最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
11．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点在上，且的半径为，
，
故答案为：．
【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离等于半径解答即可．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据题意得到，然后代入约分计算即可．
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设唐风温泉为点A，百丈潭为点B，香樟公园为点C，
则点C在线段AB上，且．
由黄金分割点的定义，得．
∵千米，
∴千米．
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，作交于点D，
点P关于弦的对称点在直径上，
．
，
．
，
，
是等腰三角形．
，
．
，，
，
．
为直径，
，
，，
．
，
，
，
，
．
故填：．
【分析】 作交于点D，利用圆周角定理的推论和折叠的性质得到是等腰三角形，根据三线合一得到，根据勾股定理求出的长，然后根据两角对应相等推理得到，根据对应边成比例解答即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，过点作交射线于点，如图，
∵，将沿折叠得到，
∴，，，，
∴是等边三角形，，，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，延长交于点，过点作交射线于点，得到是等边三角形，设，求得，根据勾股定理求出，然后根据AAS得到，即可得到，再根据平行线分线段成比例求出，然后根据勾股定理求出长，计算比例解答即可．
17．【答案】原式=2×+1-(2-3)
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊三角得三角函数值、计算零次幂和绝对值，然后加减解答即可．
18．【答案】（1）解：由题意可知，金倍司被选中的概率为；
（2）解：设金倍司、黄盛翀、施泽政分别用字母、、表示，吴俊卓、潘卓辉分别用字母、表示，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果，其中恰好金倍司和吴俊卓，即的情况有1种，
∴恰好选中金倍司和吴俊卓的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】（1）运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．【答案】（1）解：如图所示．（答案不唯一）
（2）解：如图， 连接交于点，
由图可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）把 各边扩大2倍作出△DEF即可；
（2）取格点，，使得AM：BN=2：3，连接与的交点即为所求的点．
20．【答案】（1）解：设总利润为w元．
因为销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足：，
所以当时，，即销售单价25元时，销量为100个．
所以总利润（元）．
答：该文创店每周销售冰箱贴的总利润为1100元．
（2）解：设总利润为w元
因为，
所以当时，，
答：当销售单价定为32元时，该文创店每周销售冰箱贴的总利润最大，最大利润为1296元．
【知识点】二次函数的最值；有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把代入求出销售量，再根据利润=单利润×销售量列式计算解答即可；
（2）设总利润为w元，根据总利润=单利润×销售量得到二次函数关系式，配方为顶点式，根据顶点坐标求出最大值即可．
21．【答案】（1）解：过作于，则，
∵的坡比是，
∴，
设，则，
由勾股定理得，得，
解得，
∴（米），
答：观景台高度为米；
（2）解：过作于，于，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，即，
∴，
所以，
所以（米），
答：所以摩天轮直径为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】
【分析】（）过作于，根据坡度设，则，然后根据勾股定理求出x的值解答即可；
（）过作于，于，即可得到四边形是矩形，求出，然后根据正切的定义求得米，根据线段的和差解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
（2）解：在中，点O为的中点，
∵，
∴点D为中点．
∴．
设圆的半径为r，则．
在中，，
即，整理可得，
解得．
∵点O与点D分别为与的中点，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵圆的半径为6，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即，
∴弓形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据垂直的定义可得，根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在中根据勾股定理求出r的值解答即可．
（3）连接，求出，即，即可得到，进而得到哦啊为等边三角形，求出，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可．
23．【答案】（1）解：令，得，
解得或，
∴点A的坐标为，
∵抛物线
∴对称轴为直线．
（2）解：过点B作轴于点D，
∵，
∴．
∵点B的横坐标为，即，
∴．
∴点B的坐标为，
将点代入，
得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（3）解：过点B作轴于点D，过点C作轴于点E，
∵，
∴，
∴．
∵点B与点C的横坐标分别为与，
∴，．
∴，
化简得，即，
∴的值是定值，为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）令，解方程求出与的值得到点A的坐标，然后根据对称轴公式计算对称轴即可．
（2）过点作轴，利用正切的定义求出点的坐标，把点坐标代入解析式求出的值解答即可．
（3）过点作轴，根据正切的定义得到，再把点、的坐标代入计算即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，则， ，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴圆O的半径为；
②如图，过点作于点，
，即．
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；等积变换
【解析】【解答】
【分析】（1）根据垂直的定义得到，然后根据等边对等角得到，，即可得到，进而证明结论即可；
（2）①设，在Rt中，利用勾股定理求出半径长即可；
②过点作于点，根据三角形的面积公式求出长，然后计算的面积即可．
1 / 1浙江申金华市武义县2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（　　）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转，
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，将一个图形绕一定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，据此解答即可.
2．已知线段，，则a，b的比例中项线段c等于(　　)
A．36 B．6 C． D．6.5
【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵是和的比例中项，
∴，
又∵线段的长度为正数，
∴．
故选：B．
【分析】根据比例中项解答即可．
3．如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵，
∴．
故选：A ．
【分析】根据三角形内角和为可求解的度数，然后根据相似三角形的额对应角相等解答即可．
4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：如图所示：的开口向上，，
与开口向下，则，
∵的开口大于开口，
∴
∴，
∴
故选：D．
【分析】利用|a|越大，二次函数的图象开口大小越小，结合开口方向解答即可．
5．如图，内接于，。若弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
则，
∴这个正多边形是正十边形．
故选：A．
【分析】先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得多边形的边的数量解答即可．
6．k为任意实数，抛物线的顶点总在（　　）
A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∵为任意实数，
∴顶点坐标满足，
∴顶点总在直线上．
故选：B
【分析】根据抛物线的解析式得到顶点为，然后逐项判断解答即可．
7．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为100mm，两直管道的长度都为200mm。则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（　　）
A．400 mm B． mm
C． mm D． mm
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：图中管道的展直长度，
故选：D．
【分析】根据弧长公式计算即可．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点，的坐标分别为，。若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示：
则点就是位似中心，
点的坐标分别为，，
，
，
，
则，
点的坐标分别为，，
，
则，
，
即，解得，
的位似中心的坐标是，
故选：A．
【分析】先找出图中位似中心在x轴上，根据平行得到，然后根据对应边成比例求出OO'的长解答即可．
9．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数开口向上，对称轴为y轴，在时y随x的增大而减小，时y随x的增大而增大，且点到对称轴距离越远，函数值越大．
A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确．
B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确．
C：若，则，∵函数在时y随x的增大而增大，∴，C正确．
D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误．
故选：D．
【分析】根据二次函数的对称性与增减性逐项判断解答即可．
10．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（　　）
A．　　　　 B． C．　　　　 D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；确定圆的条件；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，取中点，连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴最小时，即时，有最小值，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的最小值是．
故选：C．
【分析】连接，取中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据三角形外角求出，根据勾股定理得到，然后根据垂线段最短得出时，有最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知的半径为。若点在圆上，则　 　。（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点在上，且的半径为，
，
故答案为：．
【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离等于半径解答即可．
12．若，则的值为　 　。
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据题意得到，然后代入约分计算即可．
13．武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近。已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为　 　千米（结果保留根号）。
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设唐风温泉为点A，百丈潭为点B，香樟公园为点C，
则点C在线段AB上，且．
由黄金分割点的定义，得．
∵千米，
∴千米．
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
14．一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．如图，点在以为直径的上，点关于弦的对称点在直径上。若，，则点到直径的距离为　 　。
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，作交于点D，
点P关于弦的对称点在直径上，
．
，
．
，
，
是等腰三角形．
，
．
，，
，
．
为直径，
，
，，
．
，
，
，
，
．
故填：．
【分析】 作交于点D，利用圆周角定理的推论和折叠的性质得到是等腰三角形，根据三线合一得到，根据勾股定理求出的长，然后根据两角对应相等推理得到，根据对应边成比例解答即可．
16．在中，，将沿折叠得到，延长交于点，若，则的值为　 　。
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，过点作交射线于点，如图，
∵，将沿折叠得到，
∴，，，，
∴是等边三角形，，，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，延长交于点，过点作交射线于点，得到是等边三角形，设，求得，根据勾股定理求出，然后根据AAS得到，即可得到，再根据平行线分线段成比例求出，然后根据勾股定理求出长，计算比例解答即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：。
【答案】原式=2×+1-(2-3)
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊三角得三角函数值、计算零次幂和绝对值，然后加减解答即可．
18．“浙BA”城市争霸赛永康队的一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合。教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中、前锋中随机选一名，组成二人配合小组。
（1）求金倍司被选中的概率。
（2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率。
【答案】（1）解：由题意可知，金倍司被选中的概率为；
（2）解：设金倍司、黄盛翀、施泽政分别用字母、、表示，吴俊卓、潘卓辉分别用字母、表示，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果，其中恰好金倍司和吴俊卓，即的情况有1种，
∴恰好选中金倍司和吴俊卓的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】（1）运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)。
（1）在图1中画出与相似的三角形DEF(全等三角形除外)，且点D，E，F都在格点上。
（2）在图2中的线段AB上作一点D，使得AD∶∶3。
【答案】（1）解：如图所示．（答案不唯一）
（2）解：如图， 连接交于点，
由图可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）把 各边扩大2倍作出△DEF即可；
（2）取格点，，使得AM：BN=2：3，连接与的交点即为所求的点．
20．武义琭园的文创店新进了一批“琭园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个。根据以往的销售经验，每周的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足关系式()。
（1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润。
（2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润。
【答案】（1）解：设总利润为w元．
因为销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足：，
所以当时，，即销售单价25元时，销量为100个．
所以总利润（元）．
答：该文创店每周销售冰箱贴的总利润为1100元．
（2）解：设总利润为w元
因为，
所以当时，，
答：当销售单价定为32元时，该文创店每周销售冰箱贴的总利润最大，最大利润为1296元．
【知识点】二次函数的最值；有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）把代入求出销售量，再根据利润=单利润×销售量列式计算解答即可；
（2）设总利润为w元，根据总利润=单利润×销售量得到二次函数关系式，配方为顶点式，根据顶点坐标求出最大值即可．
21．如图1所示，在浙江磐安海拔750米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动。图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径。小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53°，随后沿着坡度：2.5的斜坡行走了29米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处。经测量，NC约为10米。
（1）求观景台到地面的高度。
（2）求摩天轮的直径。
（参考数据：，，，，结果精确到1米。）
【答案】（1）解：过作于，则，
∵的坡比是，
∴，
设，则，
由勾股定理得，得，
解得，
∴（米），
答：观景台高度为米；
（2）解：过作于，于，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，即，
∴，
所以，
所以（米），
答：所以摩天轮直径为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】
【分析】（）过作于，根据坡度设，则，然后根据勾股定理求出x的值解答即可；
（）过作于，于，即可得到四边形是矩形，求出，然后根据正切的定义求得米，根据线段的和差解答即可．
22．如图，是的直径，点是圆上一点，连结，，过点作于点，交于点。
（1）求证：。
（2）若，，求的长。
（3）在（2）的条件下，求弓形的面积。
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
（2）解：在中，点O为的中点，
∵，
∴点D为中点．
∴．
设圆的半径为r，则．
在中，，
即，整理可得，
解得．
∵点O与点D分别为与的中点，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵圆的半径为6，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即，
∴弓形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据垂直的定义可得，根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据垂径定理得到AD长，设圆的半径为r，在中根据勾股定理求出r的值解答即可．
（3）连接，求出，即，即可得到，进而得到哦啊为等边三角形，求出，然后根据弓形面积=扇形OAC面积-△AOC的面积解答即可．
23．如图，抛物线（）与轴交于点，抛物线上的点与点分别位于第一象限与第四象限，连结，。
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴。
（2）若，且点的横坐标为，求抛物线的函数表达式。
（3）记点与点的横坐标分别为与，当时，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
【答案】（1）解：令，得，
解得或，
∴点A的坐标为，
∵抛物线
∴对称轴为直线．
（2）解：过点B作轴于点D，
∵，
∴．
∵点B的横坐标为，即，
∴．
∴点B的坐标为，
将点代入，
得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（3）解：过点B作轴于点D，过点C作轴于点E，
∵，
∴，
∴．
∵点B与点C的横坐标分别为与，
∴，．
∴，
化简得，即，
∴的值是定值，为．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）令，解方程求出与的值得到点A的坐标，然后根据对称轴公式计算对称轴即可．
（2）过点作轴，利用正切的定义求出点的坐标，把点坐标代入解析式求出的值解答即可．
（3）过点作轴，根据正切的定义得到，再把点、的坐标代入计算即可．
24．如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使。
（1）求证：。
（2）如图2，连结，若，。
①求的半径。
②求的面积。
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，则， ，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴圆O的半径为；
②如图，过点作于点，
，即．
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；等积变换
【解析】【解答】
【分析】（1）根据垂直的定义得到，然后根据等边对等角得到，，即可得到，进而证明结论即可；
（2）①设，在Rt中，利用勾股定理求出半径长即可；
②过点作于点，根据三角形的面积公式求出长，然后计算的面积即可．
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