资源简介

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）
2025-2026学年高一下期 04月测试（一）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B B B C C C ABC ABC BC
12． 13． 14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由向量坐标运算即可求解；
（2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解.
【详解】（1）若 ，则 ， ，所以 ，
所以 ．
（2） ， ．
即 ，平方得： ，
∴ 或 ， ．
由于 ，所以 不符合要求，故舍去；
∴ ．
16．(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）条件可转化为 ，解方程即可；
（2）根据向量加法坐标运算公式求 ，再由向量的模的坐标公式求解；
（3）条件可转化为 ，且需排除 同向共线情况，解不等式可得结论.
【详解】（1）由题设， 得 ，即 ，
所以 .
1
（2）当 时， ，
所以
故 .
（3）由题设， ，故 ，
当 ， 同向共线时，有 且 ，此时 ，
可得 ，不满足 ， 夹角为锐角，
综上， 或 .
所以 的取值范围为 .
17．(1) 或
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出 的值；
（2）利用余弦定理结合完全平方式求出 ，进而求出三角形面积.
【详解】（1）由 ，
得 ，
.
因为 ，所以 ，
所以 ， 可得 或 ．
（2）因为角 是锐角，所以 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
故 的面积为 ．
2
18．(1)① ；② ，
(2)
【分析】（1）依据已知条件先求出 、 和 ，进而求出 ，
则①由 即可求解；②法一（坐标法）：作 于点M，由
得 ，依次求出 和 进而求出 ，则以 所在直线分别为 x轴，y轴
建立平面直角坐标系，求出 、 和 即可由求出 ；法二（向量法）：先求得
， ，作 于点M，接着又由数量积定义公式和投影几何意义
得 ， ，进而得 ， ，再利用 和
求出 和 即可求解 .
（2）设 与 相交于点 Q，得 ，过点 C作直线 的平行线 l，作 垂直 l
于点 F，交 于点 E，有 ，设 ， ，由余弦定理以及等
面积法，结合三角恒等变换可得 关于 的表达式，再利用基本不等式可求得最值.
【详解】（1）当 时，由条件知 ， ，
，
所以 ， ，
所以
，
①三角形 的面积为 .
②方法一（坐标法）：作 交 于点 M，
3
由①知 ，同理 ，
所以 ，
，
所以 ，
以 所在直线分别为 x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， .
方法二（向量法）：因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
作 于点 M，则 ， ，
所以 ，
，
所以 ， .
由①知 ，同理 ，
所以 ，
，
所以 ，
4
所以 ， .
（2）设 与 相交于点 Q，则 且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，过点 C作直线 的平行线 l，作 垂直 l于点 F，交 于点 E，
则 ，设 ， ，
由余弦定理知 ，
又在 中由等面积法知 ，
所以 ，所以 ，
又正三角形 的高为 ，所以 ，
所以 ，
即
5
，
当且仅当 ，即 ，即 时， 取得最小值为 .
【点睛】思路点睛：对于求 最小值，可先设 与 相交于点 Q，由 三点
共线结合 得 ，过点 C作直线 的平行线 l，作 垂直 l于点
F，交 与点 E，于是有 ，设 ， ，接着由余弦定理得
及在 中由等面积法得 ，再由 即可得
，结合三角恒等变换公式可得 关于 的表达
式，再利用基本不等式即可得最小值.
19．(1)（i） ；（ii）
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用余弦定理可得 .（i）由题意
可得 ，进而可得 和 ；（ii）根据面积公式可得 ，整理可得
，进而分析最值；
（2）利用余弦定理可得 ，可知 A，B，C，D四点共圆，且圆的半径
，根据正弦定理已经圆的性质可得 ，运算求解即可.
【详解】（1）设 ， ，其中 ，
在 中，由余弦定理可得 ；
在 中，由余弦定理可得 ；
即 ，可得 .
（i）若 A，B，C，D四点共圆 M，则 ，
可得 ， ，
6
由 可得 ，即 ，
则 ，即 ；
（ii）因为四边形 面积 ，
即 ，且 ，
又因为 ，
当且仅当 时，等号成立
即 ，解得 ，
所以四边形 面积 S的最大值为 .
（2）在 中，由余弦定理可得
，
即 ，
则 ，即 ，
因为 ，可知 A，B，C，D四点共圆，且圆的半径 ，
则 ，
且 ，可知 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以当 时， .
7河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）
2025-2026学年高一下期 04月测试（一）
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知 ，若 （i为虚数单位），则实数 a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设 是单位向量， ，则四边形 一定是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3． 为 所在平面上动点，点 满足 , ,则射线 过
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．在平行四边形 ABCD中， 为 AB中点， 为 BC上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 .若 ，则向量 在向量 上的投影
向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量
D．零向量没有方向
7．已知三点 共线， 不共线且 在线段 上（不含 端点），若
，则 的最小值为（ ）
1
A．7 B．4 C．9 D．11
8．在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为 的面积， ，且
，则 的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选的得部分分，有选错的得 0分.
9． 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则 有两解
C．若 ， ，则 面积的最大值为
D．若 为钝角三角形，则
10．设 ， ， 是非零向量，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ， ，则
11．下列关于非零复数 、 的结论正确的有（ ）
A．若 ，则 、 互为共轭复数
B．
C． 在复平面内对应的点为 ，且满足 ，则点 所在的区域的面积为
D．若 ，则
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．在 中， ，则 的最小内角的余弦值为___________．
13．已知复数 ， 为虚数单位，则 的共轭复数 __________．
14．已知 的面积为 分别是 的中点，若 ，则 BC长度的最小
值为__________.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
2
15．（13分）已知 ， ， ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 与 的夹角为 ，求实数 的值．
16．（15分）已知向量 ，
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，求 ；
(3)若向量 ， 夹角为锐角，求 的取值范围
17．（15分）在 中，角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若角 是锐角， ，求 的面积．
18．（17分）如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上一点， ，B为半圆上任意
一点，以 为一边作等边三角形 .
(1)当 时，
①求三角形 的面积.
②若 ，求 m、n.
(2)若 ，求 的最小值.
3
19．（17分）在平面四边形 中， ， .
(1)若 .
（i）若 A，B，C，D四点共圆 M，求 ；
（ii）求四边形 面积 S的最大值.
(2)若 ， ， 与 交于点 .记 ，求当 为何值时，
.
4

展开更多......

收起↑