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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026学年高三下期 04月测试（一）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C A A A B B BCD AC BCD
12．1
13．
14． /
15．(1) ，
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1） ，
令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， .
（2）因为 ，
又 为 的内角，则
故 ，
所以 ，所以 .
设角 所对边分别为 ，
因为 ，由正弦定理得 .①
因为三角形的面积为 ，所以 .②
1
由①②解得： ，
由余弦定理得 ，
所以 .
16．(1)
(2) 或
【分析】（1）当直线 垂直 轴时，可求出 、 的坐标进而求出 的值；
（2）三角形的面积可以用弦长公式和点到直线的距离公式表示底和高.
【详解】（1）设点
因为抛物线 ，所以 ，
当直线 过点 且垂直 轴时，直线 的方程为 ，
把 代入 可得 ，
故 ，所以 ，所以方程为 .
（2）由（1）可知 ，设直线 方程为 ，
联立 得 ，
则 ， ，
所以 ，
又点 到直线 距离 ，
所以 ，
令 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
所以直线 方程为 或 .
17．(1)证明见解析
(2)
2
【分析】（1）取 的中点 ，证得 和 ，利用线面垂直的判定定理，证得
平面 ，进而证得 ；
（2）取 的中点 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，求得向量
和平面 的法向量 ，利用向量的距离公式，列出方程，求得
，再由 的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由底面 为菱形，且 ，可得 为等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）取 的中点 ，连接 ，因为 是 的中点，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设 ，可得 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，可得 ，
3
令 ，可得 ，所以 ，
因为点 到平面 的距离为 ，可得 ，
则 ，解得 ，所以 ，所以 ，且 .
又因为平面 与 轴所在直线垂直，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，可得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
18．(1) ，
(2)1
(3) （ ）
【分析】（1）求出导函数，由题意 且 ，列式求解 ，最后再验证即可；
（2）求导函数，利用导数研究 的单调性，结合 ，利用函数的最值思想求解即
可；
（3）设切点为 ，利用导数的几何意义及切点在 x轴上，得 ，然后
利用函数法求得方程的根为 ，进而求得 .
【详解】（1）由 得 ，
因为 在 取极小值，所以 ， ①
又 ，代入得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，所以 ；
验证：当 ， 时， ，当 时， ，当 时，
，所以 为 的极小值点，符合题意，故 ， ；
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，符合 ， ，
4
令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，
若 ，（即 ），则 ， 在 上单调递增，
故 ，符合条件；
若 ，（即 ），则存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，此时 ，不符合条件；
所以 ，即 ，当 时，等号成立，故 最大值为 1；
（3）若 与 轴相切，设切点为 ，则需满足 ，且 ，
即 ，由第二个方程得 ，
代入第一个方程得 ，
整理得 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ， ，令 ，得 或 ，
所以当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值（也是最大值） ，
当 x无限趋向于正无穷大时， 无限趋向于负无穷大， 无限趋向于正无穷大，
所以 无限趋向于负无穷大，当 x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于 0，
所以 无限趋向于 0且 ，所以 时， ，
即方程 的解为 ，所以 ，
所以 可以与 轴相切，此时 满足 （ ）.
5
19．(1)
(2) ，
(3) .
【分析】（1）由概率新定义计算可得；
（2）记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为 ，则第 次投掷后，
前 次的结果中出现 种点数的概率为 ，记第 次投掷后，前 次的结果中出现
种点数的概率为 ，则第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为
，由 可得递推关系；由递推关系得到
，然后设 ，求出 即可；
（3） 为第 次投掷后出现的点数种类数，则 ，当 时，
通过计算得到 ，令 ，得到 是以 为首项，
为公比的等比数列即可.
【详解】（1） .
（2）记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为 ，则第 次投掷后，
前 次的结果中出现 种点数的概率为 ；
记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为 ，则第 次投掷后，前
次的结果中出现 种点数的概率为 ；
故 ，
，
，
6
，
设 ，
则 ，于是 ，得 ，
，
所以 ，
所以 ，
又 也满足上式，
所以 .
（3） 为第 次投掷后出现的点数种类数，
则 ，
当 时，
7
，
令 ，则 ，
，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，即 ，
.
8河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026学年高三下期 04月测试（一）
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据
的中位数相等，则删除的数为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2．在正方体 中，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列 的公差为 ，其前 n项和为 ，则“ ”是“ 存在最小值”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设 O为△ABC的外心，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，若 b=3，c=5，则 =
（ ）
A．8 B． C．6 D．
5．已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系 ( 为保鲜时间， 为储
存温度)，若该食品在冰箱中 0 的保鲜时间是 144小时，在常温 20 的保鲜时间是 48小
时，则该食品在高温 40 的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
6．已知函数 f(x)=x(lnx-ax)没有极值点，则实数 a的取值范围是（ ）
A． B．a≤0 C． D．
7．已知数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，若 ，存在 ，使得 成立，则 的
最大值为（ ）
1
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知 ， .若随机事件 A，B相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆 上存在一点 P，使椭圆 C在点 P处的切线 l与直线 所
成角的大小是 ，点 Q是切线 l上的动点， ， 为椭圆 C的焦点，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的面积为 2
B．椭圆 C的离心率
C．
D．
11．已知 ，函数 ，则（ ）
A． 的图象关于 y轴对称
B． 恰有 3个零点
C． 恰有 2个极值点
D． 在 上单调递增
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．设 ，i为虚数单位.若集合 ， ，且 ，则 m＝
________.
13．若圆 与双曲线 （ ， ）的一条渐近线相切，则双曲
线的离心率为______.
14．若正四棱锥的棱长均为 2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十
面体的外接球的表面积为________.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
2
15．（13分）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中， ， ， 的面积为 ，求边 的长.
16．（15分）已知抛物线 ，点 为 的焦点， 是 上任意不重合的
两点，当直线 过点 且垂直 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 且 的面积为 ，求 的方程.
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2的菱形， ，
平面 ，点 是棱 的中点．
(1)求证： ；
(2)若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18．（17分）已知函数 .
(1)若 在 取极小值，且 ，求 的值;
(2)当 时， 恒成立，求 最大值；
(3) 是否可以与 轴相切 若可以，求 间关系式； 若不可以，说明理由.
3
19．（17分）依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数， 表示在第
次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率，规定 .记 为
第 次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为 ，则只有“3”“5”
两种点数，于是 ）.
(1)求 ；
(2)求 的递推关系式，并求 ；
(3)求 的数学期望 （用含有 的式子表示）.
4

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