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第二十三章 一次函数
章末复习
人教版2026·八年级下册
1. 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的函数，叫作一次函数，特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，形如y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的函数，叫作正比例函数，其中k 叫作比例系数.
2. 一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 当k>0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随x 的增大而增大； 当k<0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小.
核心必读
3. 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx平移|b| 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移). 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
4. 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)具有如下性质：
当k>0 时，y随x的增大而增大；
当k<0 时，y随x的增大而减小.
核心必读
5. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数). 解方程组后就能具体写出一次函数的解 析式.
核心必读
6. 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)从“数”的角度看是二元一次方程，从“形”的角度看是直线. 一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的关系都是数形结合思想的体现.
核心必读
专题
一次函数的图象和性质
1
[中考·济南]若m＜－2，则一次函数y＝(m＋1)x＋1－m的图象可能是图23－1 中的(　　)
例 1
知识必学
解题秘方：由m＜－2得出m＋1＜0，1－m＞0，进而利用一次函数图象在平面直角坐标系中的位置与k，b的关系解答.
解：因为m＜－2，所以m＋1＜0，1－m＞0，所以一次函数y＝(m＋1)x＋1－m的图象经过第一、二、四象限.
答案：D
专题
一次函数的图象和性质
1
知识必学
一次函数y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：______________．
解题秘方：根据一次函数的增减性与系数的关系列不等式求解.
例 2
1(答案不唯一)
专题
一次函数的图象和性质
1
知识必学
专题
用待定系数法求一次函数的解析式
2
[中考·东营]在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)是所挂物体质量x(单位：kg)的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长13.5 cm. 当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为_______cm.
例 3
15
知识必学
解题秘方：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k ≠ 0)，由待定系数法求出解析式，并把x＝5代入解析式求出对应的值 即可.
专题
用待定系数法求一次函数的解析式
2
知识必学
专题
一次函数与方程(组)或不等式之间的关系
3
例 4
知识必学
解题秘方：求解此类问题时，一要明确一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系，二要掌握数形结合思想．
专题
一次函数与方程(组)或不等式之间的关系
3
知识必学
解：A. 由函数图象可知，直线y1＝ax＋b从左至右呈上升趋势，所以y1的值随着x 值的增大而增大，故选项A结论正确，不符合题意；
B. 由两函数图象可知，直线y2与y轴的交点在直线y1与y轴的交点的上方，所以n>b，故选项B结论正确，不符合题意；
专题
一次函数与方程(组)或不等式之间的关系
3
知识必学
答案：C
专题
一次函数与方程(组)或不等式之间的关系
3
知识必学
专题
一次函数的实际应用
4
知识必学
[中考·南通]某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下：
信息一 信息二
例 5
A型机器 人台数 B型机器 人台数 合计金
额/万元
1 3 260
3 2 360
解题秘方：列二元一次方程组求解；
专题
一次函数的实际应用
4
知识必学
(2)现该企业准备用不超过700 万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
解题秘方：设购买A型机器人a台. 先列不等式求出a的取值范围，再求每天分拣的件数关于a的函数解析式，利用增减性得出最佳方案.
专题
一次函数的实际应用
4
知识必学
解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 (10－a)台.
根据题意，得80a＋60(10－a)≤ 700，解得a ≤ 5.
设每天分拣的件数为b，则b＝22a＋18(10－a)＝4a＋180，可知b随a的增大而增大. 故当a＝5 时，b取得最大值.
因此，选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多．
专题
一次函数的实际应用
4
知识必学
专题
分类讨论思想
5
知识必学
定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫作这个函数图象的“近轴点”.若一次函数y＝mx－3m的图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为________________.
例 6
解题秘方：本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义, 熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键，依据题意，分两种情况：m>0或m<0，分别画图计算边界点可解答.
专题
分类讨论思想
5
知识必学
专题
分类讨论思想
5
知识必学
专题
分类讨论思想
5
知识必学
专题
数形结合思想
6
知识必学
领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a m/s的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6 s 时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96 m 时，进行了时长为t s的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．
例 7
甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机飞行的时间x(单位：s)之间的函数关系如图23－4所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a＝______，t＝______.
8
20
解题秘方：根据图象计算即可求解;
专题
数形结合思想
6
知识必学
(2)求线段MN所在直线的函数解析式.
解题秘方：先求得甲无人机单独表演所用时间为19－96÷8＝7(s)，得到M(13，48)，利用待定系数法即可 求解；
专题
数形结合思想
6
知识必学
专题
数形结合思想
6
知识必学
(3)当两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12 m ？
解题秘方：设(0，20)为点A，(6，48)为点B. 利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解
专题
数形结合思想
6
知识必学
解：如图23－4，易知线段OB所在直
线的函数解析式为y＝8x，线段AN所
在直线的函数解析式为y＝4x＋20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48.
当0≤x≤6时，由题意得|4x＋20－8x|＝12，
解得x＝2 或x＝8(舍去)；
专题
数形结合思想
6
知识必学
当6当13解得x＝16.
综上，当两架无人机表演训练到2 s 或10 s或16 s 时，它们距离地面的高度差为12 m.
专题
数形结合思想
6
知识必学
课堂练习
1.若一次函数y＝x＋4的图象上有A B(1，y2)两点，则下列说法正确的是 ( )
A. y1＞y2
B. y1≥y2
C. y1＜y2
D. y1≤y2
C
2.(2025·番禺区期末)对于函数y＝－x＋3，下列结论中正确的是 ( )
D
A. 它的图象经过点(－1，3)
B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 当x>0时，y>3
D. y的值随x值的增大而减小
课堂练习
3.如图，一次函数y＝ax＋b的图象经过A，B两点，那么关于x的不等式ax＋b<0的解集是______．
x<2
课堂练习
4.(2025·荔湾区期末)如图，一次函数y1＝ax＋b(a，b为常数且a＜0)与正比例函数y2＝kx(k为常数且k>0)的图象交于点P(－4，－2)，那么关于x的方程(a－k)x＋b＝0的解是_________．
x＝－4
课堂练习
5.(2025·番禺区期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3,底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数x.
其中,变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是( )
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
A
课堂练习
6.某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费，居民每月应交水费y(单位：元)是用水量x(单位：t)的函数，其图象如图所示．
(1)分别写出0＜x≤5和x＞5时,y关于x的函数解析式．
(2)若该月交水费9元，
则用水多少吨？
课堂练习
解：(1)当0＜x≤5时，设y关于x的函数解析式为
y＝kx(k≠0).
将(5，3.6)代入，得5k＝3.6，解得k＝0.72.
∴y＝0.72x(0＜x≤5).
当x＞5时，设y关于x的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0).
将(5，3.6)和(8，6.3)代入，得
∴y＝0.9x－0.9(x＞5).
解得
∴y关于x的解析式为y＝
课堂练习

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