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数学模拟练习（二）参考答案
（※ 若有其他正确解法或证法请参照此标准赋分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 B D A D C B C A D B
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．x≥-2 且 x≠0 12．29 13．8 14 5． 15 24 32． 或
2 5 5
三、解答题：（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．解答题：（每题 5 分，共 10 分）
（1） (2 )0 12 4sin 60 2 3
＝1 2 3 4 3 2 3
2
＝3 3 ；........................................................................................................................5 分
a a2 4
（2） (1 )
a 2 a2
4a 4
2 (a 2)2
＝
a 2 (a 2)(a 2)
2
＝ ． .......................................................................................................................10
a 2
分
17．（1）设甲种汽车模型的销售单价为 x 元，乙种汽车模型的销售单价为 y 元，
4x 5y 620
∴ ，
2x 6y 520
x 80
解得： ，
y 60
答：甲、乙两种汽车模型的采购单价分别为 80 元和 60 元；.............................4 分
（2）设甲种汽车模型采购 m 件，则乙种汽车模型采购（20-m）件，
80m+60（20﹣m）≤1400，
∴m≤10，
数学试题参考答案及评分标准 第 1 页 （共 8 页）
答：甲种汽车模型最多采购 10 件．.....................................................................8 分
18．（1）由折线统计图可知，A 款扫地机器人测试员打分从低到高排列为：
6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
∴A 9 9款扫地机器人测试员打分的中位数m 9 （分），
2
由扇形统计图可知，C 款扫地机器人的得分为：
n 10 30% 10 10 10% 9 10 40% 8 10 20% 6 83（分），
答：m 和 n 的值分别为 9，83；............................................................................3 分
（2）A 的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分），
B 的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分），
C 的综合成绩为：90×40%+83×60%＝85.8（分），
∵86.2＞85.8，
∴B 款扫地机器人的综合成绩最高；......................................................................6 分
（3）推荐 B 款扫地机器人，理由如下：
由折线统计图可判断 B 款扫地机器人的导航避障能力得分波动比 A 款扫地机器
人的得分波动小，再结合统计表可知，s2<1.85<2.01，
∴B 款扫地机器人导航避障能力比较稳定，并且 B 款的导航避障能力总得分也
是最高的，
∴推荐 B 款扫地机器人．......................................................................................8 分
19．（1）∵y＝x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴当 x＝0 时，y＝1；当 y＝0 时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∵C（ 2 1，0），
∴OC＝ 2 1，
∴AC＝ 2 2 ，
∵CD⊥x 轴，AC＝CD＝ 2 2 ，
∴∠ADC=45°，
过点 C 作 CP⊥AD 于点 P，
∴∠CPD=90°，
∴△CPD 为等腰直角三角形，
∴CP＝ 2 1，
∴CP＝OC，
又∵OC⊥y 轴，CP⊥BD，
数学试题参考答案及评分标准 第 2 页 （共 8 页）
∴BC 是∠OBD 的角平分线；............................................................................4 分
（2）∵M（0，m），B（0，1），
∵点 M 在点 B 的上方时，
∴BM＝m 1，
∵BM＝CN，
∴ON＝ 2 1 (m 1) 2 2 m ，
S 1 BM ON 1∴ BMN (m 1) ( 2 2 m) 2 2
1 2 3 2 2
　　　　 m2 m
2 2 2
∵ a 1 0 ，开口向下，S 有最大值，
2
b 2 3
∴当m 时，△BMN 面积最大．......................................8 分
2a 2
20．（1）由题意可得，A（8，0），抛物线顶点坐标为（2，3），
设抛物线的函数表达式为 y＝a（x﹣2）2+3，
∴把点 A（8，0）代入得：36a+3＝0，
a 1∴ ＝ ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为 y＝ （x﹣2）2+3；..........................................4 分
12
（2）由题意，带球向正前方移动 n 米，
1
则移动后的抛物线为 y＝ （x﹣2+n）2+3，
12
当球从 B 处射入球门时，
∵OB＝2.52，
∴B（0，2.52），
∴2.52 1＝ （0﹣2+n）2+3，
12
解得：n1＝﹣0.4（舍去），n2＝4.4，
当球从 C 处射入球门时，
∵OC=2.25，
∴C（0，2.25），
∴2.25 1＝ （0﹣2+n）2+3，
12
∴n1＝5 或 n＝﹣1（舍去）．
∴n 的取值范围为 4.4＜n＜5．..................................................................8 分
数学试题参考答案及评分标准 第 3 页 （共 8 页）
21．（1）连接 AC，OD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝135°，
∴∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
∵AD＝AD，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴AD=BD；......................................................................................................4 分
（2）证明：连接 OC，
在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，
∴AC= AB2 BC 2 132 52 12 ，
∵CE 是⊙O 的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠OAC＝∠BCE，
∵∠E＝∠E，
∴△CBE∽△ACE，
BE BC CE
∴ ，
CE AC AE
BE 5
∴ ，
CE 12
BE 5∴ CE ，
12
∴CE 2 BE 5 AE CE (13 5 CE)，
12 12
CE 780∴ ．.....................................................................................................8 分
119
数学试题参考答案及评分标准 第 4 页 （共 8 页）
22．（1）过点 E 作 EM∥AD 交 CD 于点 M，
∴∠BDC=∠EMD，
由折叠可得，∠BDC=∠EDC，
∴∠BDC=∠EMD，
∴EM＝ED，
∵EM∥AD，
∴∠CEM=∠A，∠CME=∠CDA，
∴△CEM∽△CAD，
CE EM
∴ ，
AC AD
CE ED
∴ ；..............................................................................................4 分
AC AD
（2）过 F 作 FM∥AB 交 CD 于点 M，
∴∠FMD＝∠BDC，
由折叠可得，∠BDC=∠FDC，
∴∠FMD＝∠FDC，
∴FD＝FM，
∵FM∥AD，
∴∠CFM=∠A，∠CMF=∠CDA，
∴△CFM∽△CAD，
CF FM
∴ ，
AC AD
∵CF 4AF
FD 4
∴ ；...................................................................................................8 分
AD 5
（3）延长 CE 交 AD 于点 G，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，
由折叠可得，∠B=∠CEF=90°，BD=DE=5，CE=CB，
∵AE 平分∠BCA，
∴∠FCE＝∠GCB，
∴△CEF≌△CBG（ASA），
∴EF=BG，
设 DF＝x，EF＝x﹣5＝BG，
∴DG＝BG﹣DB＝x﹣10，
2 FD 4由（ ）知 ，
AD 5
数学试题参考答案及评分标准 第 5 页 （共 8 页）
AD 5∴ ＝ x ，
4
∴AB 5 5x 20＝ x 5＝ ，
4 4
∵FH∥BC，
AH AF 1
∴ ，
AB AC 5
AH 1 x 4∴ ＝ AB ，
5 4
DH AD AH 5x x 4∴ ＝ ﹣ ＝ x 1，
4 4
∵∠FDH＝∠EDG，∠FHD＝∠GED＝90°，
∴△FDH∽△GDE，
ED DG
∴ ，
DH DF
5 x 10
∴ ，
x 1 x
整理得 x2﹣16x+10＝0，
∴x1＝8 3 6 ，x2＝8 3 6 （舍），
AD 5 40 15 6∴ ＝ x = ．...........................................................................12 分
4 4
23．（1 P y 1）∵点 在抛物线 x2 x 3 上，
2 2
P t 1 t 2 t 3∴ （ ， ），
2 2
∵点 P 在第一象限，
∴t>0，
∵点 Q 在 y 轴上，
∴Q（0 3， ），
2
∵T 是抛物线的顶点，
∴T（1，﹣2），
当 0≤x≤t 时，
∴ g t 0 t t
，
1 3 1 1
∴最高点与最低点纵坐标的差 h= t 2 t ( 2) t 2 t ，
2 2 2 2
数学试题参考答案及评分标准 第 6 页 （共 8 页）
∴ f h g 1 t 2 t 1 1 1 t t 2
2 2 2 2 ；......................................................4 分
（2）当 y=0 时 x1 1， x2 3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴A，T 两点的特征值为 4，
∵抛物线上 P，C 两点的特征值等于 A，T 两点的特征值，
∴P，C 两点的特征值为 4，
∴点 P 在第二象限或在第四象限对称轴的右侧，
当 t 0 时，即点 P 在第二象限时，
∴f= 1 t 2 2t 4，
2
∴ t1 2 3 2， t2 2 3 2 （舍），
P 2 3 2 9∴ （ ， 2 3 ），
2
当1 t 3时，即点 P 在第四象限对称轴的右侧，
f= 1∴ t 2 1 4 ，
2 2
∴ t1 7 ， t2 7 （舍），
∴P（ 7 ， 2 7 ），
9
综上所述，P1（ 2 3 2， 2 3 ），P2（ 7 ， 2 7 ）；................9 分 2
3 1 3（ ）∵P（t， t 2 t ），PQ∥x 轴，
2 2
∴P，Q 关于抛物线对称轴对称，
∴Q（2-t 1， t 2 t 3 ），
2 2
当 t 2 时，
f = t (1 t 2 t 3 2) 1 11 t 2 ， 2 2 2 2
f = t 2 (1 t 2 t 3 3 12 ) t 2 2 ， 2 2 2 2
∴f1+f2= t 2
3
，
2
∵f1+f
5 11
2最小值为 ，f1+f2最大值为 ， 2 4
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17
∴ 2 t ，
2
当1 t 2 时，
f = t ( 31 2)
1
t ，
2 2
f 3 1 2 3 12= 2 t ( t t ) t 2 2， 2 2 2 2
f 1∴ 21+f2= t t
5
，
2 2
∵f 51+f2最小值为 ，f1+f
11
2最大值为 ， 2 4
1 2∴ t 2 ，
2
2 17
综上所述，t 的取值范围为1 t ．........................................13 分
2 2
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