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第10章 概率
10.2 事件的相互独立性
1.了解两个事件相互独立的概念，掌握判断事件是否相互独立的方法.
2.结合古典概型，利用独立性事件计算概率问题.
1.事件的关系
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
?????????
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
????????????或????+????
交事件(积事件)
A与B同时发生
????∩????或????????
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
????∩????=????
互为对立
A与B有且仅有一个发生
????∩????=????,????????????=????
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
交事件(积事件)
A与B同时发生
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
互为对立
A与B有且仅有一个发生
2.事件的基本性质
性质1：对任意的事件????，都有????(????)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
即????(????)=1，????(?)=0.
性质3：如果事件????与事件????互斥，那么????(????∪????)=????(????)+????(????).
性质4： 如果事件????与事件????互为对立事件，那么????(????)=1?????(????)，????(????)=1?????(????)
性质5：如果?????????，那么????(????)≤????(????).
性质6：设????，????是一个随机事件中的两个事件，我们有????(????∪????)=????(????)+????(????)?????(????∩????).
?
思考：我们知道，积事件????????就是事件????与事件????同时发生.因此，积事件????????发生的概率一定与事件????，????发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢？
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若事件????,????互斥，则P(????+????)=P(????)+P(????)，
那么P(????????)=P(????)P(????)会成立吗？什么条件下能成立？
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试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
????=“第一枚硬币正面朝上”，????=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异， 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
????=“第一次摸到球的标号小于3”，????=“第二次摸到球的标号小于3”.
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活动1：以下两个随机试验各定义了一对随机事件A和B.
1.你认为事件????发生与否会影响事件????发生的概率吗?
2.分别计算????(????)，????(????)，????(????????)，你有什么发现？
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探究：事件的相互独立性
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”
则样本空间为????={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.
而????={(1,1),(1,0)}，????={(1,0),(0,0)}，
所以????????={(1,0)}.
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由古典概型概率计算公式，得????(????)=????(????)=12，????(????????)=14.
于是????(????????)=????(????)????(????).
积事件的概率恰好等于????(????)与????(????)的乘积.
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????(????????)=????(????)????(????)
?
在试验2中，样本空间为????={(????,????)|????,????∈{1,2,3,4}}，
而????={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，
????={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，
????????={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，
?
所以????(????)=????(????)=12，????(????????)=14.
于是也有????(????????)=????(????)????(????).
积事件的概率恰好等于????(????)与????(????)的乘积.
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????(????????)=????(????)????(????)
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直观
若事件????发生与否不影响事件????发生的概率，
则事件????与????相互独立，从而有????(????????)=????(????)????(????)
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定义：对任意两个事件????与????，如果????(????????)=????(????)????(????)成立，则称事件????与事件????相互独立，简称为独立.
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数式
定义法判断事件是否相互独立
直接法判断事件是否相互独立
计算积事件的概率
(前提:????,????独立)
?
问题1： 必然事件????（不可能事件????）与任意事件独立吗？
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直接法：
必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；
不可能事件?总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响 .
定义法：
????(????????)=????(????)=????(????)????(????)、????(????????)=????(????)=????(????)????(????)
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必然事件Ω、不可能事件?与任意事件A相互独立.
活动2：与同学交流解决下列问题，并尝试归纳得出的结论.
问题2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件????与事件????相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
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做一做：以小组形式讨论，以下列打靶为例，分别计算概率（利用????(????????)=????(????)????(????)）进行（1）、（2）、（3）判断.
若事件A与B相互独立, 以下三对事件相互独立吗？为什么？
（1）????与????；
（2）????与????；
（3）????与????；
甲、乙各自射靶，结果互不影响，????=“甲中靶”，????=“乙中靶”
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对于????与????，因为????=????????∪????????，而且????????与????????互斥，所以
????(????)=????(????????∪????????)=????(????????)+????(????????)=????(????)????(????)+????(????????)
所以????(????????)=????(????)?????(????)????(????)=????(????)(1?????(????))=????(????)????(????).
由事件的独立性定义，????与????相互独立.
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若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.
独立事件的对立事件也相互独立
PA∪B∪C=PA+PB+P(C)
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旧知：如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式
?
但当三个事件????，????，????两两独立时，等式????(????????????)=????(????)????(????)????(????)
一般不成立.
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问题3 互斥事件和相互独立事件一样吗？你是如何区分的？
互斥事件
相互独立事件
定义
概率公式
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
和事件（并事件）的概率
积事件（交事件）的概率
题型1 事件相互独立性的判断
例1.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。
采用不放回方式从中任意摸球两次.
记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与B是否相互独立？
解：样本空间Ω={(m, n)|m, n∈{1, 2, 3, 4}, 且m≠n}，共12个样本点.
A={(1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(2 , 1) , (3 , 1) , (4 , 1) ,(1 , 2) , (3 , 2) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 2) , (2 , 1)}，
定义法
1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列各组事件中相互独立的是________.
①A，B； ②A，C； ③B，C.
直接法
定义法
P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5
P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C)
P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)
定义法
①②③
练一练
2.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，
则下列正确的是( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
判断事件是否相互独立的方法
3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与? ,?与B,?与?是否具有独立性可互相转化.??
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
方法归纳1
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
题型2 相互独立事件概率的计算
先尝试用字母表示题中有关事件，再考虑、分析它们的关系，最后结合事件关系，计算概率.
解：设????=“甲中靶”，????=“乙中靶”，
则????=“甲脱靶”，????=“乙脱靶”，
由于两个人射击的结果互不影响，所以????与????相互独立，????与????，????与????都相互独立。所以，????(????)=0.8，????(????)=0.9，????(????)=0.2，????(????)=0.1.
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(2)“恰好有一人中靶”=????????∪????????，且????????与????????互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
????(????????∪????????)=????(????????)+????(????????)=????(????)????(????)+????(????)????(????)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
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(3)事件“两人都脱靶”=????????，
所以????(????????)=????(????)????(????)=(1?0.8)×(1?0.9)=0.02.
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(4)法1：事件“至少有一人中靶”=????????∪????????∪????????，且????????，????????与????????两两互斥，所以????(????????∪????????∪????????)=????(????????)+????(????????)+????(????????)=????(????????)+????(????????∪????????)=0.72+0.26=0.98.
法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1?????(????????)=1?0.02=0.98
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例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率.
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即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个”
你能描述这个事件的含义吗？
解：设????1，????2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，????1，????2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
????(????1)=2×34×14=38，????(????2)=34×34=916.
????(????1)=2×23×13=49，????(????2)=23×23=49.
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设????=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则????=????1????2∪????2????1，且????1????2与
????2????1互斥，????1与????2，????2与????1分别相互独立，所以
????(????)=????(????1????2)+????(????2????1)=????(????1)????(????2)+????(????2)????(????1)
=38×49+916×49=512.
因此，“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率是512.
?
用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
方法归纳2
(1)用恰当的字母表示题中有关事件；
(2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(注意：相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率.
议一议：根据事件间的独立性关系，以小组形式讨论，已知两个事件????，????相互独立，它们的概率分别为????(????)，????(????)，则有
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}事件
表示
概率
????，????同时发生
????????
????，????都不发生
????????
????，????恰有一个发生
????，????中至少有一个发生
????，????中至多有一个发生
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}事件
表示
概率
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}(????????)∪(????????)
(????????)∪(????????)∪(????????)
(????????)∪(????????)∪(????????)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????(????)????(????)
????(????)????(????)
????(????)????(????)+????(????)????(????)
????(????)????(????)+????(????)????(????)+????(????)????(????)
????(????)????(????)+????(????)????(????)+????(????)????(????)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
1.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝?
P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
M＝{2,4,6}，N＝{3,6}，MN＝{6}
P(MN)=P(M)P(N)
M、N 相互独立但不互斥
注：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与事件A、B互斥不能同时成立
2.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 ；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为 ；
?
解：记“甲气象台独立预报天气准确”为事件????，“甲气象台独立预报天气准确”为事件????.
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为????(????????)=????(????)????(????)
=45×34=35.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为????=1?????(????????)=1?????(????)????(????)
=1?15×14=1920.
?
35
?
1920

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