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第10章 概率
10.3.1 频率的稳定性
1.通过做重复试验，探求频率的稳定性规律.
2.通过试验了解随机事件发生的频率和概率的联系与区别.
3.理解频率估计概率的应用实例.
问题1：一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息你可以估计白色围棋的数目有多少颗吗？
解：设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗.
问题2：盒子中的白色围棋，显然比黑色围棋多，再随机取出一枚围棋，是否一定是白棋子呢？
问题3：你对用频率估计概率有怎样认识？
频率描述事件发生的频繁程度，而概率是事件发生的可能性大小的度量.
一般地，如果事件A的概率越大，那么，在重复试验中，事件A发生得比较频繁，因此事件A的频率一般较大.反之，在重复试验中，事件A发生的频率较大（小），说明该事件发生的概率也较大（小）.
问题4：在重复试验中频率的大小是否就决定了概率的大小？频率和概率到底是怎样的一种关系？
需要用试验来探究和验证
想一想：能否设计一个试验，来验证用频率估计概率是合理的？
（1）试验结果可验证——试验的样本点是等可能的。
（2）试验获取的数据——当试验次数相同时，看事件频率的变化规律；当试验次数增加时，看事件频率的变化规律。
试验标准
试验标准
设计方案
实施试验
收集数据
分析数据
试验步骤：
发现规律
试验方案：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件
A=“一个正面朝上，一个反面朝上”。
1.计算事件A的概率为 .
2.把全班42名学生分成21组，每组2人，每小组其中一人掷硬币50次，另一人记录下事件A发生次数，并计算频率。然后将各小组的试验数据汇总并填入下表（excel)。
3.比较各小组的实验结果，找出你发现的规律.
活动：按照以下实验试验完成探究，找出频率和概率的区别与联系.
问题1：各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
试验次数相同时，可能不同，说明随机事件A发生的频率具有随机性。
问题2：随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
从整体上看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。
比较与发现：
利用excel模拟同时抛掷两枚硬币试验，在重复试验次数20,100,500，1000时各做5轮试验，然后用折线图表示频率的波动，并对上面的结论进行验证.
验证：
知新探究
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,以在重复试验次数为20,100,500时为例，各做5组试验，得到事件A发生的频数nA和频率fn(A)（如下表）.
序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 216 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况
我们发现：
⑴试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
⑵从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小. 但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
用折线图表示频率的波动情况
① 频率是随机的，在实验之前不能确定；
② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；
③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率.
归纳：
当试验次数较大时，用频率来估计概率
1.根据试验结果，能不能用频率估计概率？
2.用频率估计概率，是否试验的次数越多，估计的结果就越精确？
当试验次数较大时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。换句话说，当试验次数足够多时，用频率估计概率误差较小的可能性大。
议一议：
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
结论：
雅各布第一 伯努利(Jakob I Bernoulli，1654—1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律．大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近．
2014年男婴出生频率为
解：(1)
0.537
2015年男婴出生频率为
0.532
由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
⑴分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；
⑵根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗
(2)由于调查新生儿人数的样本非常大,根据频率的稳定性,上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度. 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.
2014年男婴出生频率为
解：(1)
0.537
2015年男婴出生频率为
0.532
由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
男婴出生率
理论概率模型（认为男婴出生率0.5）
重复试验，频率验证
？
这就是统计学中的假设检验方法
解:当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了
1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小，相对10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【例2】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论 为什么
说一说：气象工作者有时用概率预报天气,如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%" 又该如何评价预报的结果是否准确呢
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验,经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.
小结：只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实下雨了,那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.
（1）你对频率和概率之间的区别与联系的认识相比初中有了哪些提高？
（2）你能简要叙述如何用频率估计概率吗？
（3）你还能举出用频率估计概率的例子吗？
1.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2500套座椅中大约有 套次品.
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2500套座椅中大约有50套次品.
50
2.（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次朝上的点数都是6，则下列说法正确的是（　　）
A.朝上的点数是6的概率和频率均为1
B.若抛掷10 000次，则朝上的点数是6的概率约为
C.抛掷第11次，朝上的点数一定不是6
D.抛掷6000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000次
解析：对A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，故A错误；对B，因为频率随着试验次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，故B正确；对C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，所以抛掷第11次，朝上的点数可能是6，也可能不是6，故C错误；对D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，抛掷6 000次，频率接近，频数大约为1 000次，故D正确.
BD
3.某校高一年级（1）（2）班准备联合举行晚会，晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？
解析：该方案是公平的，理由如下.各种情况如下表所示.
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.

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