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第10章 概率
10.3.2 随机模拟
1.理解随机模拟试验出现的意义.
2.通过具体实例模拟随机试验，在大量重复试验中体会频率的稳定性.
3. 能利用随机模拟试验求概率，能用计算工具模拟随机试验.
问题：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有些试验费时费力，具有破坏性，有些试验无法真正进行，有没有其他方法可以替代试验呢
抛硬币 10000 次,估计 “正面朝上” 的概率
估计某路口一年内发生交通事故
检测一批灯泡的使用寿命 / 合格率
为了更好地保证试验的准确性，借助计算器或计算机软件可以产生随机数。也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，从而达到利用随机模拟试验求概率的目的.
生成随机数的具体方法
有哪些呢？
例如，我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.
1.由试验产生的随机数
(一)产生随机数的方法
类似于学过的抽签法
特点：以上方法是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数（不能保证完全等可能）
例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0，1} 的随机数，用0 表示反面朝上，用1表示正面朝上 . 这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
在电子表格软件中RANDBETWEEN（1，n）函数表示产生于1~n范围内的整数随机数.
2.计算机产生的随机数
又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别 . 对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球.
这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.
n 10 20 50 100 150 200 250 300
nA 6 7 20 45 66 77 104 116
fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39
画出频率折线图
从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果。其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率．
利用随机模拟解决问题的方法叫做蒙特卡洛方法.
在随机模拟试验时，应注意的问题:
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正的模拟随机事件.
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生.
随机模拟试验出现的意义：
解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.故选B.
1.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（　　）
A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法
练一练
B
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二月是等可能的. 设事件A=“至少有两人出生月份相同”, 设计一种试验方法, 模拟20次, 估计事件A发生的概率.
分析：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
方法1 可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：
1.在袋子中装入编号为1, 2, …, 12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.
2.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表 6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验 . 如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.
3.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
方法2 利用电子表格软件模拟试验.
1.在A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格分别输人“=RANDBETWEEN (1 , 12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验 .
2.选中A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验 .
3.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
下表是20次模拟试验的结果. 事件A发生了15次，事件A的概率估计值为0.75，与事件A的概率(约0.78)相差不大.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
1 4 8 12 7 12 7 11 2 1 6 7 12 4 2 8 10 8 3 3 7
2 3 6 5 12 2 3 4 2 7 10 1 1 5 9 6 4 6 12 12 1
3 2 1 8 8 2 1 4 4 10 5 6 5 5 7 7 1 9 5 10 3
4 11 2 4 6 9 10 12 9 1 5 4 9 3 3 8 6 6 12 4 2
5 11 9 6 3 12 1 5 5 1 7 3 12 4 8 6 2 2 2 5 5
6 4 1 2 3 11 2 7 2 8 5 5 11 3 2 12 3 2 11 9 10
1.随机数产生的方法比较
方法 抽签法/由试验产生 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，有时不具有实际操作性 因为是伪随机数，不能保证完全等可能
要点归纳
2.一般适用于有以下特点的事件用随机模拟试验求概率的情况
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，可以采用随机模拟方法来估计概率.
（2）对一些基本事件的总数比较大，很难把它们列举的不重复、不遗漏的概率问题、对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率.
3.用随机模拟估计概率的步骤：
（1）建立概率模型，构造或描述概率过程，构造与问题相一致的随机数组进行模拟；
（2）进行模拟试验，可用计算器或者计算机软件按要求产生随机变量进行模拟试验；
（3）统计试验结果，建立估计量，得到问题的解.
例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛 . 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4 . 利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.(比赛规则是3局2胜制）
分析: 奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1 .
显然，甲连胜2局或在前两局中输一局，并赢得第三局的概率，与打满三局，甲胜2局或3局的概率相同.
每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能的，因此不是古典概率，可以用计算机模拟比赛结果.
甲连胜2局(相当于连胜3局)的概率为0.6×0.6×0.6，
甲胜第1局和第3局的概率为0.6×0.4×0.6.
不相等
解: 设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.
用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6 . 由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组 . 例如，产生20组随机数:
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了20次重复试验 . 其中事件A发生了13次，用频率估计事件A的概率的近似为=0.65.
利用随机模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果，可从以下三个方面考虑：
（1）当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
（2）研究等可能性事件的概率时，用按比例分配的方法确定每个结果的数字个数及总个数.
（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
要点归纳
2.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算机生成0到9之间整数值的随机数，用0, 1, 2, 3, 4, 5表示甲获胜；6, 7, 8, 9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6 . 因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为 ．
0. 367
练一练
1．随机模拟试验的步骤：
(1)设计概率模型；(2)进行模拟试验；(3)统计试验结果．
2．计算器和计算机产生随机数的方法：
构建模拟试验产生随机数或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
本节课我们学到了哪些知识与方法？
1.掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( ）
A. 1 B. 2 C. 9 D. 12
解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组.
B
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果:经随机模拟产生了如下 20 组随机数:
966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
解：易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271，932，812，393,
所以 p==0.25.
0.25
3.某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去
解：要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成.
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；
(2)用随机函数按顺序给每名学生一个随机数(每人都不相同)；
(3)使用计算机的排序功能将随机数按从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001,0002，…，1200，然后00010030为第一考场，00310060为第二考场，依次类推.
4.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球和1个红球.现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验，计算恰好第三次摸到红球的概率.
解:用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间取整数值的随机数,因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数.
666　743　671　464　571
561　156　567　732　375
716　116　614　445　117
573　552　274　114　622
就相当于做了20次试验,在这组数中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7,就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次恰好是红球,它们分别是567和117，共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.

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