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10.2 事件的相互独立性
1.了解两个事件相互独立的概念，掌握判断事件是否相互独立的方法.
2.结合古典概型，利用独立性事件计算概率问题.
三个臭皮匠，抵个诸葛亮
问题1：如何用概率知识解释呢？
问题2：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，那么对于积事件P(AB)
=P(A)P(B)会成立吗？什么条件下能成立？
事件的关系或运算 含义 符号表示 概率表示
包含 A发生导致B发生 A B P(A)≤P(B)
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B= A∪B=Ω
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
P(A∪B)=P(A)+P(B) 可推广
P(A)+P(B)=1
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，
采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.
A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.
（1）你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
（2）分别计算，你有什么发现？
（一）事件的相互独立性
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率.
事件发生均不会影响事件发生的概率
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”.
1 0
1
0
第一枚
第二枚
解：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”.
则由表格知样本空间为
，
（1，1）
（1，0）
（0，1）
（0，0）
试验2：一个袋子中装有标号分别1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设“第一次摸到球的标号小于3”,
“第二次摸到球的标号小于3”.
解：样本空间
第二次 第一次 1 2 3 4
1
2
3
4
若改为“大于等于3”，即 呢？
试验3：一个袋子中装有标号分别1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设“第一次摸到球的标号大于等于3”,“第二次摸到球的标号小于3”.
解：样本空间
第二次 第一次 1 2 3 4
1
2
3
4
直接法：必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；
不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响 .
注意：①必然事件Ω、不可能事件 与任意事件A相互独立.
定义法：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)、P(A )=P( )=P(A)P( )
要点生成
1.事件的相互独立性的定义
定义法判断事件是否相互独立
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，
则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
若事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
则事件A与B相互独立，从而有P(AB)=P(A)P(B)
直接法判断事件是否相互独立
计算积事件的概率(前提:A,B独立)
②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.
举例说明：甲、乙各自射靶，结果互不影响，A=“甲中靶”，B=“乙中靶”
③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，
但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
推理证明：
2.判断事件是否相互独立的方法
3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与 , 与B, 与 是否具有独立性可互相转化.
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.
2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
例1 一个袋子中装有标号分别1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从袋中任意摸球两次.设事件“第一次摸到球的标号小于3”,事件“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
提示：
1.列出样本空间；
2.找出满足的事件，计算对应的概率；
3.进行利用定义（直接法）判断。
例1 一个袋子中装有标号分别1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从袋中任意摸球两次.设事件“第一次摸到球的标号小于3”,事件“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
解：样本空间
事件与事件不独立.
第二次 第一次 1 2 3 4
1
2
3
4
例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
(1) “两人都中靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72
(2)“恰有1人中靶”= AB∪AB，且AB与AB互斥，
∴P(AB∪AB) =P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26
(3) “两人都脱靶”=AB，∴P(AB) =P(A)P(B) =0.2×0.1=0.02
例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，
乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”.
由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，
且A与B，A与B，A与B都相互独立.
[变式]天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，
假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
=0.2×0.3=0.06
=0.8×0.7=0.56
(拆分事件)P(M)=________________________
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
=0.2+0.3－0.2×0.3=0.44
P(A)=0.2
P(B)=0.3
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
－
－
－
－
事件M
(对立事件)P(M)=1－P(AB)
－
－
=1－0.56=0.44
=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44
1.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 .
练一练
0.88
例3.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 在每轮活动中，甲和乙猜对与否
互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
即两轮活动中“甲对1个,乙对2个”或“甲对2个,乙对1个”
解：设A=“星队两轮活动猜对3个成语”，
J1=“甲两轮猜对1个成语”，
J2=“甲两轮猜对2个成语”，
Y1=“乙两轮猜对1个成语”，
Y2=“乙两轮猜对2个成语”，
则A=J1Y2∪J2Y1, 且J1Y2与J2Y1互斥, 且J1,Y2独立, J2,Y1独立,
∴P(A) =P(J1Y2∪J2Y1)= P(J1Y2)＋P(J2Y1)
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
想一想： 互斥事件和相互独立事件一样吗？如何区分呢？
互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;（计算和事件概率）
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.（计算积事件概率）
不一样
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
2.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝
P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
M＝{2,4,6}，N＝{3,6}，MN＝{6}
P(MN)=P(M)P(N)
M、N 相互独立但不互斥
注：若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与事件A、B互斥不能同时成立
练一练
3.(问题解决）假设已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大独自解出问题的概率为0.5，老二独自解出问题的概率为0.45，老三独自解出问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有一个人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问题的概率比较，谁大？比较，谁大？
0.8
0.4
0.45
正难则反
0.5
团队的力量大于个人的力量
0.8
0.4
0.45
0.5
定性描述
定量描述
事件之间互不影响
定义：
归纳推理
应用：
正难则反
复杂
对立
性质：
类比推理
如果两个事件相互独立，那么它们的对立事件也相互独立。
如果三个事件相互独立，那么它们的对立事件也相互独立。
本节课我们学到了哪些知识与方法？
事件间的独立性关系：
已知两个事件相互独立，它们的概率分别为，
事件 表示 概率
同时发生
都不发生
恰有一个发生
中至少有一个发生
中至多有一个发生

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