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10.3.2 随机模拟
1.理解随机数的产生的基本过程和随机数的意义.
2.理解用随机模拟方法估计概率的实质，会用随机模拟方法确定概率的估计值.
3.会利用随机数来求简单事件的概率.
1.频率的性质： .
2.频率与概率的区别与联系
随机性和稳定性
频率 概率
区别 本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定． 是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关．
联系 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近，所以当试验次数比较大时，我们常常用频率估计概率． 用频率估计概率，需要做大量的重复试验. 有没有其他方法可以替代试验呢
为了更好地保证试验的准确性，借助计算器或计算机软件可以产生随机数。也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，从而达到利用随机模拟试验求概率的目的.
想一想 以古典概型为例，你认为可以从哪些角度去研究概率的性质？如何产生随机数
比如，要产生1～25之间的整数随机数，你有哪些方法？
这种随机模拟方法叫做随机数模拟.
(一)产生随机数的方法
方法一：（1）由试验产生随机数：
优点：产生的数是真正的随机数，当需要的数不是很多时，一般采用此方法产生.
缺点：当需要的随机数的量很大时，速度太慢.
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25个球
标号
装袋→充分搅拌→摸球
方法二：
Excel产生随机数
1.选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
2.选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格
3.点击粘贴，则在选中的单元格中均为随机产生的1～25之间的数.
思路：构建模拟试验产生随机数或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
方法二：
Excel产生随机数
优点：速度比较快，适用于产生大量随机数；
缺点：产生的随机数具有周期性（周期很长），具有类似随机数的性质，但并不是真正的随机数，称为伪随机数.（不能保证完全等可能）
发现：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行.因此利用计算机（或计算器）进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法,它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.
我们称利用随机模拟解决问题的方法叫做蒙特卡洛方法.
用计算器或计算机产生随机数的特点：
试一试： 结合上面学习的随机模拟的知识，你能设计一种方案完成下列随机试验吗？
试验1：对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，用0表示反面朝上，用１表示正面朝上，通过试验产生取值于集合 ｛0，1｝的两个随机数．
试验2：一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球．产生取值于集合 ｛1,2,3,4,5｝之间的整数随机数.
对于试验1，抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.这样不断产生0,1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
对于试验2，一个袋子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别.对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合的随机数，用1,2表示红球，用3,4,5表示白球.这样不断产生1--5之间的整数随机数，相对于不断地从袋中摸球的试验.
下表是用电子格表软件模拟上述摸球试验的结果，其中为试验次数，为摸到红球的频数，为摸到红球的频率.
试验2：一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别．对于从袋中摸出一个球的试验，用1，2表示红球，用3,4,5表示白球．产生取值于集合 ｛1,2,3,4,5｝之间的整数随机数.
n 10 20 50 100 150 200 250 300
nA 6 7 20 45 66 77 104 116
fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39
fn
n
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蒙特卡洛方法
随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
n 为试验次数
nA为摸到红球的频数
fn(A)为摸到红球的频率
画出频率折线图：
随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果。其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率．
（二）用随机模拟方法估计概率的实质
在随机模拟试验时，应注意:
要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正的模拟随机事件.
注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生.
例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的．设事件A ＝ “至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率．
分析：每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出 生月份可以看成可重复试验．
在袋子中装入编号为01，02，…，11,12 的12个球
这些球除编号外没有什么差别
方法１
有放回摸球试验进行模拟
重复20次
有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数 代表6个人的出生月份
这6个数中至少有2个相同，表示事件 A 发生了
在A1，B1，C1，D1，E1, F1单元格分别输入 “＝RANDBETWEEN（1,12）”，得到6个数,代表6个人的出生月份
方法2
电子表格软件模拟试验
选中A1，B1，C1，D1，E1, F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验
统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值．
事件A发生了14次，
事件A 的概率估计值为 0.70
用随机模拟估计概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果，可从以下三个方面考虑：
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
归纳总结
例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中（奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制），运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．
分析：3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1
甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同．
每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种， 但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果．
解：设事件 A ＝ “甲获得冠军”，事件 B＝ “单局比赛甲胜”，则 P（B）＝0.6．
用计算器或计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获 胜，其概率为0.6．
由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．
用频率估计事件A 的概率近似为＝0.65．
423 123 423 344 114
453 525 332 152 342
534 443 512 541 125
432 334 151 314 354
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453 525 332 152 342
534 443 512 541 125
432 334 151 314 354
结合以下内容，回顾本节课学到的知识：
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数；
(2)构建模拟试验产生随机数．
2.适用随机模拟方法估计概率的情况
有以下特点的事件用随机模拟试验求概率的情况
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，可以采用随机模拟方法来估计概率.
（2）对一些基本事件的总数比较大很难把它们列举的不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率.
3.用随机模拟方法估计概率的基本思想及具体步骤
（1）思想：随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果．其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率．
（2）步骤：
建立概率模型，构造或描述概率过程，构造与问题相一致的随机数组进行模拟；
进行模拟试验，可用计算器或者计算机软件按要求产生随机变量进行模拟试验；
统计试验结果，建立估计量，得到问题的解.
1．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．9　　　　D．12
2．下列不能产生随机数的是(　　)
A．抛掷骰子试验 B．抛硬币 C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1, 2, 2, 3, 4, 5，抛掷该正方体
B
D
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1, 2, 3, 4表示命中，5, 6, 7, 8, 9, 0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
B
解析：20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271，932，812，393,
所以 p==0.25.
4.某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
解：要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成.
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推.
5.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，设计一个模拟试验求恰好第三次摸到红球的概率．
解：用1, 2, 3, 4, 5, 6表示白球，7表示红球，利用计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：
666　743　671　464　571　561　156　567　732　375
716　116　614　445　117　573　552　274　114　662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为0.1.

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