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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟综合巩固练习卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将沿方向平移得到，已知周长为，四边形周长为，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：
①；
②；
③，
④；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80° B．82° C．84° D．86°
5．如图，直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10． 如图，BD是的角平分线，，，，，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若PA平分，则的面积为.其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠 、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：
a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；
b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；
c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．
①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为　 　：
②一个花坛花盆数量的最小值为　 　．
12． 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 　 　．
13．如图，直角三角形的周长为2022，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是　 　．
14．如图，在等边中，，，则　 　．
15．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为　 　．
16． 如图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过P点作EF∥BC ，EF分别交AB、AC于点E、F， PD⊥BC于点D．下列结论：①；②C△AEF＝AB+AC；③若AE+AF＝m，PD=n，则三角形AEF的面积＝．其中正确的是 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，．求：
（1）的度数；
（2）的度数．
18．已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证：
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：
（1）请问老师的提示中①是　 　，②是　 　．
（2）请根据以上思路写出完整的证明过程．
19．（1）解下面的不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解下面的一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解.
20． 已知一次函数y= kx+b的图象如图所示，完成下列问题.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当x<2时，求y的取值范围.
21．如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　，∠DEC＝　 　；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以 ，请说明理由．
23． 在四边形中，，和的角平分线或邻补角角平分线分别为和．
如图1，当，都为角平分线时，小明发现，并给出下面的理由：
解：∵，，，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
根据小明的发现，解决下面的问题：
（1）如图2，当，都为邻补角的角平分线时，与的位置关系是什么？并给出理由．
（2）如图3，当是角平分线，是邻补角的角平分线时，请你探索与的位置关系，并给出理由．（提示：两直线平行，内错角相等）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟综合巩固练习卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将沿方向平移得到，已知周长为，四边形周长为，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，，∵周长为，四边形周长为，
∴，，
∴，
∴，
∴平移的距离为，
故选：．
【分析】本题主要考查平移的性质。根据平移的特征可知，平移前后对应线段相等，因此可得，。解题时需利用三角形和四边形的周长公式进行计算，关键要理解平移的性质：平移后的图形中，对应点连接的线段平行且相等，对应线段也平行且相等。
2．2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得
不能由 平移得到，
故A不符合题意；
不能由 平移得到，
故B不符合题意；
不能由 平移得到，
故C不符合题意；
能由 平移得到，
故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小与方向，据此判断.
3．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：
①；
②；
③，
④；
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知
，
①正确；
是角平分线，
②正确；
③正确；
，
④正确；
故选：D．
【分析】由垂直的定义可推出，可得，故①正确；由角平分线的定义及三角形外角的性质可推出
，，从而得出
，据此判断②；利用三角形的内角和及角平分线的定义可推出 ，据此判断③；根据角平分线的定义及三角形外角的性质可得，据此判断④.
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80° B．82° C．84° D．86°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105° 25°＝80°．
故答案为：A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠2＋∠3＝75°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．如图，直线，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设AE与CD的交点为F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠DFA=180°，
∵∠A=70°，
∴∠DFA=110°，
∴∠C+∠E=180°-110°=70°，
∴∠E=30°，
故答案为：A
【分析】先根据平行线的性质得到∠A+∠DFA=180°，进而得到∠DFA=110°，再根据对顶角的定义结合三角形内角和定理即可求解。
6．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠B=78°，
∴∠C+∠BAC=180°-∠B=180°-78°=102°，
∵AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
∴∠C=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠C=∠BAD=∠CAD，
∴∠C+∠BAC=∠C+∠BAD+∠CAD=3∠BAD=102°，
∴∠BAD=34°，
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-78°-34°=68°，
故答案为：B.
【分析】先利用角平分线和垂直平分线的性质证出∠C=∠BAD=∠CAD，再结合∠C+∠BAC=∠C+∠BAD+∠CAD=3∠BAD=102°，求出∠BAD=34°，最后利用三角形的内角和求出∠ADB的度数即可.
7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
如图，当DE取最小值时，AE⊥BC，此时A，D，E三点共线，且DE为点E到BC的距离．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE．
又∵DE的最小值为1，
∴AD=DE=1，AB=AC=AE=AD+DE=2．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，即，
∵点D为BC中点，
∴BC=2BD=.
故答案为：B.
【分析】先根据等腰三角形三线合一，得出AD⊥BC；再分析DE取最小值的条件，即AE⊥BC，此时A，D，E共线，结合等边三角形性质得到AB=AE=2；最后在Rt△ABD中用勾股定理求出BD=，从而得到BC=.
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，由①得，x＞-3，
由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：-3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选A．
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10． 如图，BD是的角平分线，，，，，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若PA平分，则的面积为.其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵BA=BC=5，
∴△ABC为等腰三角形，
∵BD是△ABC的角平分线，AC=6，
∴BD⊥AC，AD=CD=AC=3，
∴BD垂直平分AC，
∴AP= PC，
∴PC+PQ= AP+ PQ，
.∵AP+PQ≥AQ，
∴PC+PQ> AQ，故本项正确；
②∵DE // BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴ED=EA，
∴DE=BE=AE=BC=AB，
∴AE+DE=BC，故本项正确；
③由①可知，PC+PQ= AP+PQ，
则当AP+ PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，
当点P在AM与BD交点上时，AP+P Q =AM，且最小值为AM，
∵BD⊥AC，
∴BD===4，
∵△ABC的面积=BD×AC=BC×AM，
∴AM==，
∴PC+PQ的最小值是，故本项正确；
④过点P作PF⊥AB于点F，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴PF= PD，
∴，
∵+===6，
∴=×==，故本项错误，
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：B .
【分析】①先说明BD垂直平分AC，得出AP=PC，再根据三角形三边关系，即可得出结论，最后判断对错即可；
②根据角平分线的定义平行线的性质、等腰三角形的性质、说明∠EDB=∠EBD，∠ADE=∠BAD，得出
EB=ED，EA=ED，即可得出结论；
③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，再根据等积法求出AM即可；
④过点P作PF⊥AB于点F，得出PF=PD，求出，进而得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠 、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：
a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；
b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；
c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．
①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为　 　：
②一个花坛花盆数量的最小值为　 　．
【答案】6；12
【解析】【解答】解：设三色堇x盆，四季海棠y盆，
①根据已知得：即
都是整数，
∴x最大值为7，y最大值为6，
∴四季海棠盆数的最大值为6．
故答案为：6．
②设蔷薇m盆，则一个花坛花盆数量是盆，
根据题意得：
都是整数，
（m与2m中间至少有两个整数），
∴当时，
此时一个花坛花盆数量最小，最小值是（盆）
故答案为：12．
【分析】设三色堇x盆，四季海棠y盆，①根据已知得：即都是整数，x最大值为7，y最大值为6，
故四季海棠盆数的最大值为6；②设蔷薇m盆，则一个花坛花盆数量是盆，根据题意得：都是整数，
（m与2m中间至少有两个整数），当时，此时一个花坛花盆数量最小，最小值是12（盆）。
12． 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 　 　．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由三角形内角和定理可得，由平移可得，再根据平行线的性质即可求解.
13．如图，直角三角形的周长为2022，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是　 　．
【答案】2022
【解析】【解答】解：由平移的性质，5个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，
较短的直角边平移后等于边，
斜边之和等于边长，
∴5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长，
∵直角三角形的周长为2022，
∴5个小直角三角形的周长之和为2022．
故答案为：2022．
【分析】利用平移的性质可得5个小直角三角形的周长之和等于直角三角形的周长，再结合“直角三角形的周长为2022”从而得解.
14．如图，在等边中，，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理.根据是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：，再结合BD=CE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可求出的度数，再根据三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出答案.
15．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，当 时，DE的值最小，如图所示，
∵BD平分∠ABC， ，∠C＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案是2．
【分析】根据题意，当DE⊥AB时，DE的值最小，根据已知条件求解即可。
16． 如图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过P点作EF∥BC ，EF分别交AB、AC于点E、F， PD⊥BC于点D．下列结论：①；②C△AEF＝AB+AC；③若AE+AF＝m，PD=n，则三角形AEF的面积＝．其中正确的是 　 　．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，，
∴，
∴，故正确；
∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故正确；
过点作于，作于，连接，
∵在中，和的平分线相交于点，
∴，
∴，故正确；
综上正确，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和变形得到与的和与的关系，再根据角平分线定义即可得到正确；由平行线性质和角平分线定义可以得到，，则有，故正确；过点作于，作于，连接，根据角平分线性质得到，求出和的面积和，即可求出的面积即可得到正确．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，．求：
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：，
.
（2）解：
，
由（1）知
．
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义及角的运算求出∠ADE的度数即可；
（2）利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出∠DAC的度数即可.
（1）解：，
；
（2）解：
，
由（1）知
．
已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证：
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：
（1）请问老师的提示中①是　 　，②是　 　．
（2）请根据以上思路写出完整的证明过程．
【答案】（1）∠1+∠2=∠3+∠2；BA=BC
（2）证明： ∵△ABC与△BED是等边三角形，
∴∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，
∴∠1+∠2=∠3+∠2
即：∠ABE=∠CBD
在△CBD与△ABE中，
∴△CBD≌△ABE(SAS).
∴CD=AE.
【解析】【解答】
解：（1）∵
∴∠1+∠2=∠3+∠2
∴
故答案为：∠1+∠2=∠3+∠2
∵ 是等边三角形
∴BA=BC
故答案为：BA=BC
【分析】
（1）根据角度的和差运算可得∠1+∠2=∠3+∠2；根据等边三角形的性质得到BA=BC，解答即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，再计算角度的和差运算得到∠ABE=∠CBD，即可利用SAS证明△CBD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可解答.
19．（1）解下面的不等式组，并把解集在数轴上表示出来.
（2）解下面的一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解.
【答案】（1）解：解不等式x-3(x-2)≤8，得x≥-1，解不等式 得x<2，将不等式的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为-1≤x<2
（2）解：
解不等式①，得x>-1，解不等式②，得x≤2，所以不等式组的解集为-1【解析】【分析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得非负整数解.
20． 已知一次函数y= kx+b的图象如图所示，完成下列问题.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当x<2时，求y的取值范围.
【答案】（1）解：根据函数图象知，该图像经过（2，0），（0，-4），
将（2，0），（0，-4）代入 y= kx+b ，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为 y=2x-4
（2）解：由（1）知：一次函数的表达式为 y=2x-4.
∴当x<2时，
2x<4，
2x-4<0，
故当x<2时，y<0
【解析】【分析】⑴利用待定系数法，根据图像上点的坐标求函数表达式.
⑵根据自变量的取值范围，利用不等式的基本性质确定因变量的取值范围.
21．如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　，∠DEC＝　 　；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以 ，请说明理由．
【答案】（1）25°；115°
（2）解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE .
理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵∠B＝∠C，AB＝DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）解：△ADE的形状可以是等腰三角形；∠BDA的度数为110°或80°
【解析】【解答】解：（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°，
在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°，
故答案为：25°，115°。
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据平角的定义，利用角的和差关系可得∠EDC的度数，利用三角形内角和即可求出∠DEC的度数；
（2）根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠BAD=∠EDC，根据∠B＝∠C，要使△ABD≌△DCE，则CD=AB，即可得答案；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可得答案。
23． 在四边形中，，和的角平分线或邻补角角平分线分别为和．
如图1，当，都为角平分线时，小明发现，并给出下面的理由：
解：∵，，，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
根据小明的发现，解决下面的问题：
（1）如图2，当，都为邻补角的角平分线时，与的位置关系是什么？并给出理由．
（2）如图3，当是角平分线，是邻补角的角平分线时，请你探索与的位置关系，并给出理由．（提示：两直线平行，内错角相等）
【答案】（1）解：（或平行）．
理由：如图1，过点作．
∵在四边形中，，
∴，，
∴．
∵，都为邻补角的角平分线，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：（或垂直）．理由：如图2．
∵在四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∵，都为角平分线，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点作，先根据四边形的内角结合题意得到，，进而得到，再根据角平分线的定义得到，，进而结合题意根据平行线的性质得到，从而根据平行线的判定结合题意即可求解；
（2）先根据四边形的内角得到，进而结合题意根据角平分线的定义得到，，再进行角的运算即可求解。
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